2026届江苏省苏州十中高二上数学期末综合测试试题含解析

2026届江苏省苏州十中高二上数学期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A. B.C. D.2．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．若两条直线与互相垂直，则的值为（）A.4 B.-4C.1 D.-14．椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A. B.C. D.5．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A.4 B.C.2 D.不确定6．设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A.28 B.39C.56 D.1177．设，向量，，，且，，则（）A. B.C.3 D.48．在等差数列{}中，，，则的值为（）A.18 B.20C.22 D.249．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.9810．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.111．已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A.4 B.2C.1 D.12．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最小值为______.14．在数列中，，，则数列的前6项和为___________.15．函数，其导函数为函数，则__________16．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段BC上动点，则（1）的最小值为______；（2）点F到直线DE距离的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在对某老旧小区污水分流改造时，需要给该小区重新建造一座底面为矩形且容积为324立方米的三级污水处理池（平面图如图所示）.已知池的深度为2米，如果池四周围墙的建造单价为400元/平方米，中间两道隔墙的建造单价为248元/平方米，池底的建造单价为80元/平方米，池盖的建造单价为100元/平方米，建造此污水处理池相关人员的劳务费以及其他费用是9000元.（水池所有墙的厚度以及池底池盖的厚度按相关规定执行，计算时忽略不计）（1）现有财政拨款9万元，如果将污水处理池的宽建成9米，那么9万元的拨款是否够用？（2）能否通过合理的设计污水处理池的长和宽，使总费用最低？最低费用为多少万元？18．（12分）在数列中，，且成等比数列（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：19．（12分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.（1）证明：；（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.20．（12分）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点E为棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值.21．（12分）已知圆C经过、两点，且圆心在直线上（1）求圆C的方程；（2）若直线经过点且与圆C相切，求直线的方程22．（10分）设函数，且存在两个极值点、，其中.（1）求实数的取值范围；（2）若恒成立，求最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.【详解】由知，，，，即，故选：B2、A【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项【详解】解：当时，表示双曲线，当表示双曲线时，则，所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.故选A3、A【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.【详解】由两直线垂直，可知：，即.故选：A4、A【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选：A5、A【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A6、B【解析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解.【详解】因为等差数列中，，则.故选：B.7、C【解析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.【详解】由题意，向量，，，因为，可得，解得，即，又因为，可得，解得，即，可得，所以.故选：C.8、B【解析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以.故选：B9、D【解析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D10、B【解析】计算后，根据判断框直接判断即可得解.【详解】输入，计算，判断为否，计算，输出.故选：B.11、D【解析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出【详解】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故选：D12、B【解析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中，，所以，所以，所以圆锥的侧面积.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.14、129【解析】依次写出前6项，即可求得数列的前6项和.【详解】数列中，，则，，，则数列的前6项和为故答案为：12915、【解析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.详解】∵，∴，∴.故答案为：.16、①.；②..【解析】建立空间直角坐标系.空一：利用空间两点间距离公式，结合平面两点间距离公式进行求解即可；空二：根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有.空一：，代数式表示横轴上一点到点和点的距离之和，如下图所示：设关于横轴的对称点为，当线段与横轴的交点为点时，有最小值，最小值为；空二：设，为垂足，则有，，，因为，所以，因此，化简得：，当时，即时，此时，有最小值，即最小值为，故答案为：；【点睛】关键点睛：利用空间向量垂直的性质进行求解是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）不够；（2）将污水处理池建成长为16.2米，宽为10米时，建造总费用最低，最低费用为90000元.【解析】（1）根据题意结合单价直接计算即可得出；（2）设污水处理池的宽为米，表示出总费用，利用基本不等式可求.【小问1详解】如果将污水处理池的宽建成9米，则长为（米），建造总费用为：（元）因为，所以如果污水处理池的宽建成9米，那么9万元的拨款是不够用的.【小问2详解】设污水处理池的宽为米，建造总费用为元，则污水处理池的长为米.则因为，等号仅当，即时成立，所以时建造总费用取最小值90000，所以将污水处理池建成长为16.2米，宽为10米时，建造总费用最低，最低费用为90000元.18、（1）证明见解析；；（2）证明见解析【解析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可【详解】证明：（1）由，得，即，所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，因此，，，由成等比数列，得，即，解得或（舍去），故（2）因为，所以因为，所以【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.【小问1详解】在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，因E为棱上的动点，则设，，而，，即，所以.【小问2详解】由(1)知，点，，，，设平面的一个法向量，则，令，得，显然有，则，而平面，因此，平面，于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，所以直线BE到平面的距离是.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据矩形及勾股定理的逆定理可得线面垂直的条件，再由平面，即可证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标后，求出相关法向量，再用夹角公式即可.【小问1详解】证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形又∵∴为等边三角形∴，又∵，∴，∴又∵四边形为矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.【小问2详解】以B为原点BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设平面的法向量为.则即∴，又∵平面ABE的法向量为，∴，∴平面ABE与平面夹角的余弦值为.21、（１）；（２）【解析】（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出的值.试题解析：（1）依题意知线段的中点坐标是，直线的斜率为，故线段的中垂线方程是即，解方程组得，即圆心的坐标为，圆的半径，故圆的方程是（2）若直线斜率不存在，则直线方程是，与圆相离，不合题意；若直线斜率存在，可设直线方程是，即，因为直线与圆相切，所以有，解得或所以直线的方程是或.22、（1）（2）【解析】（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（2）适当构造函数，并注意与关系，转化为函数求最大值问题，即可求得的范围.【小问1详解】（），，