第5章二次函数知识梳理与提升训练

第5章二次函数知识梳理与提升训练汇报人：xxxYOUR01二次函数基本概念定义与形式介绍二次函数定义二次函数是形如\(y=ax²+bx+c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，且\(a≠0\)）的函数。当\(b=0\)，\(c=0\)时，为\(y=ax²\)；\(b=0\)时，是\(y=ax²+c\)，它是重要的函数类型。表达式结构二次函数的表达式\(y=ax²+bx+c\)中，\(ax²\)是二次项，\(bx\)是一次项，\(c\)为常数项。各部分相互关联，共同决定函数的性质和图像特点，如二次项决定函数次数。参数含义在二次函数\(y=ax²+bx+c\)里，\(a\)决定抛物线开口方向和大小，\(a>0\)开口向上，反之向下；\(b\)与对称轴位置有关；\(c\)是抛物线与\(y\)轴交点的纵坐标，参数意义关键。基本性质二次函数图像是抛物线，具有对称性。当\(a>0\)，开口向上，有最小值；\(a<0\)，开口向下，有最大值。对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，在对称轴两侧单调性不同。标准形式解析01020304标准形式展示二次函数的标准形式为\(y=a(x-h)²+k\)（\(a≠0\)），其中\((h,k)\)为抛物线顶点坐标。这种形式能直观体现顶点和对称轴，便于分析函数性质和进行图像变换。系数影响在标准式\(y=a(x-h)²+k\)中，\(a\)影响开口方向和大小，\(a\)绝对值越大开口越小；\(h\)决定对称轴位置和左右平移，\(k\)决定上下平移，系数作用显著影响图像特征。计算示例已知二次函数顶点为\((2,3)\)且过点\((3,1)\)，设\(y=a(x-2)²+3\)，将点代入得\(1=a(3-2)²+3\)，解得\(a=-2\)，函数为\(y=-2(x-2)²+3\)。常见变式常见变式有\(y=ax²+h\)、\(y=a(x-h)²\)等。\(y=ax²+h\)是顶点在\(y\)轴上的抛物线；\(y=a(x-h)²\)顶点在\(x\)轴上，这些变式在解题和实际应用中较常见。顶点形式详解顶点式定义顶点式是二次函数的一种重要形式，即\(y=a(x-h)²+k\)（\(a≠0\)），它清晰展示了抛物线顶点坐标\((h,k)\)，方便研究函数的最值、对称轴等关键性质，利于解题和图像分析。顶点求法求二次函数顶点可采用公式法，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)；也能用配方法将解析式化为顶点式；还可利用抛物线对称性，对称轴与抛物线交点即顶点。应用优势顶点式能直接体现抛物线顶点坐标，方便确定函数最值及对称轴，在求解函数的增减性、平移等问题时，使用顶点式可使计算和分析过程更为简便高效。实例分析例如二次函数\(y=2(x-3)^2+4\)，其顶点坐标为\((3,4)\)，可快速得出当\(x=3\)时，函数有最小值\(4\)，还能据此分析函数的其他性质。一般形式转换二次函数一般式为\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其中\(a\)决定开口方向和大小，\(b\)与\(a\)共同决定对称轴位置，\(c\)决定抛物线与\(y\)轴交点位置。一般式结构一般式化为顶点式可通过配方法，如\(y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)；顶点式化为一般式则展开式子即可，交点式与其他形式互化也有相应规则。形式互化在二次函数中，\(a\)、\(b\)、\(c\)相互关联，\(a\)与\(b\)决定对称轴位置，\(a\)与\(c\)和判别式\(\Delta=b^2-4ac\)共同影响函数与坐标轴交点情况，它们的取值变化会使函数图像呈现不同特征。参数关系给出一些二次函数的不同形式，让学生将一般式化为顶点式和交点式，根据已知条件求函数解析式，以及通过函数解析式分析顶点、对称轴、最值等性质的题目。练习题目02二次函数图像分析图像基本特征抛物线形状二次函数图像是抛物线，其形状由二次项系数\(a\)决定，\(\verta\vert\)越大，抛物线开口越小；\(\verta\vert\)越小，抛物线开口越大，相同\(\verta\vert\)的抛物线形状相同。对称轴确定对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)；也可根据抛物线的对称性，利用抛物线上对称点的横坐标来确定对称轴。顶点位置对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)），其顶点坐标是\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。顶点是抛物线的关键位置，决定了函数的最值情况，可通过配方或公式求得。开口方向二次函数开口方向由二次项系数\(a\)的正负决定。当\(a>0\)时，抛物线开口向上；当\(a<0\)时，抛物线开口向下。开口方向影响函数的增减性和最值性质。图像变换规律二次函数的平移变换遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”原则。如将\(y=ax^2\)向上平移\(k\)个单位得\(y=ax^2+k\)，向左平移\(h\)个单位得\(y=a(x+h)^2\)。平移变换伸缩变换主要由二次项系数\(a\)的绝对值大小来决定的。\(\verta\vert\)越大，抛物线开口越小，函数图像在纵向上被拉伸；\(\verta\vert\)越小，抛物线开口越大，图像在纵向上被压缩。伸缩变换反射变换分为关于\(x\)轴和\(y\)轴的反射。关于\(x\)轴对称，函数变为\(y=-ax^2-bx-c\)；关于\(y\)轴对称，函数变为\(y=ax^2-bx+c\)，改变了函数的开口和位置。反射变换组合变化是平移、伸缩和反射变换的综合运用。先确定变换顺序，再根据相应规则逐步变换。如先伸缩再平移，要依次进行系数和常数项、自变量的调整。组合变化最值问题分析最大值求解当二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a<0\)）时，函数有最大值。可通过配方法将其化为顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)，此时最大值为\(k\)；也可用公式\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)计算。最小值求解对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a>0\)），函数存在最小值。同样可通过配方法得到顶点式，或利用公式\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)来求出最小值。应用场景二次函数的最值在生活中有广泛应用，如求面积最大、利润最高等问题。通过建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，进而求解最值以获得最优方案。典型例题通过具体的例题，如求解利润最大化问题、求抛物线最大值等，讲解如何运用二次函数性质，让学生掌握最值问题的解题思路。图像与坐标轴01020304x轴交点二次函数图像与x轴交点的横坐标即对应一元二次方程的根，可通过求解方程得出，交点情况由判别式决定，讲解其求解方法与实际意义。y轴截距二次函数与y轴的截距，也就是当x=0时y的值，即常数项c。分析截距对函数图像位置的影响及相关应用。判别式应用判别式能判断二次函数图像与x轴交点个数，当判别式大于、等于或小于0时，分别对应两个、一个或无交点的情况，讲解其在解题中的具体运用。图像绘制需先确定开口方向、对称轴、顶点坐标等基本要素，再选取若干关键点，通过描点法可完成图像绘制，展示其绘制的具体步骤与技巧。03二次函数解析式求解已知点求解析式两点求法若已知二次函数图像上的两个点，通常需根据点的特征设合适解析式，如两点纵坐标相同，可利用对称性简化求解，然后通过代入求解参数。三点求法已知图像上三点时，一般设二次函数的一般式，将三点坐标代入一般式得到方程组，求解方程组得出系数，以此确定函数解析式。顶点求法当已知二次函数的顶点坐标时，设顶点式求解析式较为简便。将顶点坐标代入顶点式，再利用其他点坐标求出参数a，进而确定函数。参数代入在求二次函数解析式时，可根据已知条件确定一些参数的值，然后代入对应的函数表达式，通过解方程组等方式求出其他参数。对称性应用利用二次函数对称轴可判断函数单调性、最值及点的对称关系。如已知对称轴与某点坐标，可求对称点坐标；结合单调性比较函数值大小。对称轴利用掌握顶点对称性质，能根据一个二次函数顶点及对称原则求对称后的函数顶点。通过分析顶点坐标变化，进而确定对称后函数的大致走向与特征。顶点对称明确二次函数与坐标轴交点的对称规律。依据交点对称特点，可快速确定对称情况下的交点坐标，为后续解决函数问题提供关键信息。交点对称剖析具体二次函数实例，展现如何在实际问题里利用对称轴、顶点对称、交点对称等性质解决问题，让学生更深入理解理论知识的应用。实例解析实际问题建模建模步骤构建二次函数模型，首先要明确问题核心，再提取关键信息，接着合理选择函数形式，最后将实际问题转化为数学语言，确定函数模型。变量定义精准定义实际问题中的变量，明确自变量与因变量。正确区分和设定变量，能准确反映问题中的数量关系，为后续建立方程奠定基础。方程建立结合变量间的逻辑联系与实际条件，依据数学原理建立二次函数方程。确保方程能准确描述问题情境，为求解问题提供有效途径。求解过程运用合适的方法求解建立的二次函数方程，如配方法、公式法等。求解过程中需注意计算准确性与根的合理性，得出符合实际的结果。解析式验证检查二次函数解析式求解过程中的错误，包括计算失误、概念混淆等。通过对比条件、验证结果等方式，确保解析式的正确性与合理性。错误检查将二次函数解析式所对应的图像与实际绘制或已知的图像进行细致对照，查看开口方向、对称轴、顶点位置等关键特征是否相符，以此检验解析式正确性。图像对照把已求出的二次函数解析式中的参数，代入相关条件进行验证，如代入顶点坐标、与坐标轴交点坐标等，确保参数准确无误，使解析式符合题目要求。参数验证通过做一系列针对性练习题，涵盖不同类型和难度的二次函数题目，进一步巩固所学的求解析式方法和验证技巧，加深对知识的理解和运用能力。练习巩固04二次函数与方程关系一元二次方程方程定义一元二次方程是整式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数，它描述了未知数的二次关系，在数学中有广泛应用。根的性质一元二次方程的根有三种情况，当判别式大于0时，有两个不相等的实数根；等于0时，有两个相等的实数根；小于0时，没有实数根，根的性质与函数图像和方程解相关。求根公式对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其求根公式为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)，通过该公式可在已知方程系数时求出方程的根。应用实例在实际生活中，一元二次方程可用于解决如面积计算、利润问题等。例如，已知矩形面积和边长关系，可列方程求解边长。函数与方程转换01020304方程解意义一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，从函数角度看，它对应二次函数图像与x轴交点的横坐标，反映了函数的零点情况。零点求法求二次函数的零点，可令函数值为0，得到对应的一元二次方程，然后用求根公式或因式分解等方法求解方程的根，这些根即为函数的零点。判别式分析判别式是判断二次函数与x轴交点情况的关键。当判别式大于0时，函数与x轴有两个不同交点；等于0时，有一个交点；小于0时，无交点。图解对应二次函数的图像能直观呈现其性质。与x轴交点对应方程的根，顶点坐标体现最值，通过图像可清晰分析函数的增减性与对称轴。根与系数关系韦达定理韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系。对于方程\(ax²+bx+c=0\)，两根之和为\(-\frac{b}{a}\)，两根之积为\(\frac{c}{a}\)，方便解题。根的和差根据韦达定理可计算根的和差。已知两根之和与两根之积，能通过公式求出两根之差，为解决二次函数相关问题提供便利。根积关系根积关系即两根之积等于\(\frac{c}{a}\)。它在已知方程系数时可快速得到两根之积，也能在已知两根之积时确定方程的系数关系。应用题目在实际解题中，韦达定理及根的和差、积关系常被运用。如已知两根关系求方程系数，或根据方程系数判断根的情况等。综合问题处理确定二次函数中参数的范围，需结合函数性质、方程根的情况等。通过判别式、韦达定理等工具，建立关于参数的不等式求解。参数范围二次函数与不等式紧密相关。函数图像在x轴上方或下方的部分对应不等式的解集，可通过分析函数性质求解不等式。不等式关联在实际生活中，二次函数与方程的关系有诸多应用。如物体运动轨迹、利润最大化等问题，可通过建立二次函数模型解决。实际案例在处理二次函数综合问题时，可利用数形结合思想，将抽象的函数问题转化为直观的图形问题。同时，借助韦达定理可简化计算。面对复杂问题，要善于分解成小问题逐个击破。解题技巧05二次函数应用问题几何应用面积优化求解二次函数面积优化问题，先求出函数解析式和自变量取值范围。可通过配方或用公式求最值，再判断自变量是否在取值范围内，以此找到最大或最小面积。路径问题二次函数路径问题常涉及动点轨迹，需要根据已知条件找到动点运动规律，构建函数关系。可结合几何图形性质和函数特点，分析路径的最值或特定条件下的情况。图形性质运用二次函数研究图形性质时，要考虑抛物线的开口方向、对称轴、顶点等因素对图形的影响。通过函数与图形的结合，可深入理解图形的对称性、面积等性质。实例解答通过实际的二次函数几何应用实例，分析解题思路和步骤。如固定面积存在性问题，通过方程求解变量；有关面积比问题，转化为线段比列出方程求解。物理应用二次函数描述运动轨迹，关键是根据物体运动的实际情况建立合适的函数模型。需确定初始位置、速度等条件，再结合函数性质分析运动轨迹的特点和变化。运动轨迹在弹道问题中，利用二次函数可模拟子弹或炮弹的飞行轨迹。要考虑重力、初速度等因素，通过函数求解弹道的最高点、射程等关键参数。弹道问题借助二次函数建立能量模型时，先明确能量与相关变量的关系。通过分析函数的最值，可找到能量最优化的条件，为实际应用提供理论依据。能量模型进行二次函数物理应用的计算练习，能加深对知识的理解和掌握。练习中要注重解题思路和方法的运用，提高解决实际问题的能力。计算练习经济应用利润优化利润优化是二次函数在经济领域的重要应用。解决此类问题需先明确相关公式，如单位利润=售价-进价，总利润=单件利润×销量，再将销量转化为售价的一次函数，进而得到总利润关于售价的二次函数，最后利用二次函数性质求出在自变量取值范围内的最大利润，像网络玩具店通过合理定价获取最大月利润。成本分析成本分析在二次函数应用中至关重要。要先设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价、销售量及销售收入，再表示出销售商品成本，根据利润关系得到函数表达式。在实际问题里，要结合成本因素确定自变量取值范围，通过分析函数性质来控制成本，实现效益最优。需求模型需求模型可借助二次函数构建。通常要把销量转化为与价格等因素相关的一次函数，再根据总利润与单件利润、销量的关系，得到总利润关于价格等自变量的二次函数。通过研究这个二次函数，可分析不同价格下的市场需求，为企业制定合理的生产和销售策略提供依据。案例解析以某网络玩具店为例，其进价为20元/件，单价30元时月售180件，单价每涨1元月销量减10件。设单价上涨x元，总利润y=（10+x）（180-10x）=-10x²+80x+1800（x≤18），配方得y=-10（x-4）²+1960，当x=4即单价34元时，月利润最大为1960元。生活场景应用01020304建筑问题在建筑领域，二次函数可解决诸多问题。如抛物线形的隧道、大桥和拱门等，需恰当建立平面直角坐标系，将实际问题数据落实到抛物线上确定解析式，进而解决测量等问题，像计算隧道的高度、跨度等，为建筑设计和施工提供精确数据。资源分配资源分配问题可用二次函数建模。先确定自变量，如资源分配的比例等，再用含自变量的式子表示相关收益或成本等。通过建立函数关系，分析函数在自变量取值范围内的最值，从而实现资源的最优分配，提高整体效益，如合理分配生产材料以获取最大产量。时间优化时间优化问题可借助二次函数解决。设时间为自变量，用含时间的代数式表示任务进度、效率等。根据实际情况建立二次函数模型，通过分析函数的最值来确定完成任务的最佳时间安排，提高工作效率，如规划工程建设各阶段的时间以缩短工期。综合实践综合实践中，二次函数的应用广泛。可能会遇到结合几何图形、经济问题和时间因素的复杂情况。要先准确识别问题中的变量关系，建立合适的二次函数模型，再根据实际条件确定自变量取值范围，最后通过求解函数最值等方法，找到解决问题的最佳方案。0611大考点详解图像性质考点开口方向二次函数图象的开口方向由二次项系数决定。当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，函数有最大值。开口方向影响着函数的增减性和最值情况，在分析函数性质和解决实际问题中具有关键作用。顶点坐标顶点坐标是二次函数图像的关键特征，对于一般式\(y=ax²+bx+c\)，可通过公式\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})\)求得，能反映函数的最值情况。对称轴对称轴决定了二次函数图像的对称性质，一般式中对称轴为直线\(x=-\frac{b}{2a}\)，它将抛物线分为对称的两部分，对研究函数单调性很重要。最值求解二次函数的最值与开口方向和顶点坐标相关，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值，可根据顶点纵坐标确定最值大小。解析式考点二次函数有一般式、顶点式和交点式等形式。已知三点用一般式；已知顶点用顶点式；已知与\(x\)轴交点用交点式，需根据条件灵活选择。形式求法确定二次函数参数，通常利用已知点坐标代入解析式构建方程或方程组求解，不同形式的解析式参数确定方法有所差异。参数确定一般式可通过配方法化为顶点式，交点式可展开为一般式。转换有助于从不同角度分析函数性质，如利用顶点式求顶点和对称轴。转换技巧可将已知点代入解析式检查是否成立，还可对比函数图像的特征，如开口方向、顶点坐标等，或验证参数关系来确保解析式正确。验证方法方程关系考点根判别通过判别式\(\Delta=b²-4ac\)判断一元二次方程根的情况，进而确定二次函数与\(x\)轴交点个数，\(\Delta>0\)有两个交点，\(\Delta=0\)有一个交点，\(\Delta<0\)无交点。零点应用二次函数的零点即其图像与\(x\)轴交点的横坐标，也就是对应一元二次方程的根，可用于解决实际问题中变量取值范围等问题。韦达定理韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，即对于方程\(ax²+bx+c=0\)（\(a≠0\)），两根\(x_1\)、\(x_2\)有\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)，可用于简化计算和推导。综合问题二次函数与方程的综合问题常涉及参数范围确定、不等式关联等。需结合函数图象与性质、方程根的判别等知识，灵活运用方法，全面分析条件来解决问题。应用综合考点二次函数在几何中可用于面积优化、路径问题等。通过建立函数模型，利用函数性质求出最大值或最小值，以解决几何图形相关的最值和运动问题。几何应用在物理中，可用二次函数描述运动轨迹、弹道问题等。根据物理规律建立函数关系，进而分析物体在不同时刻的状态和位置变化。物理模型二次函数在经济领域可用于利润优化、成本分析等。通过构建函数模型，分析价格、销量、成本等因素的关系以实现经济利益最大化。经济优化对二次函数错题进行分析，能找出知识漏洞和思维偏差。总结错误类型、原因和解决方法，可避免再次出错，提高解题的准确性和技巧。错题分析07提升训练题集基础训练题定义题二次函数定义题考查对形如\(y=ax²+bx+c\)（\(a≠0\)）的理解和应用。通过判断函数形式、确定参数取值等题型，巩固对定义的掌握。图像题二次函数图像题主要围绕抛物线形状、对称轴、顶点、开口方向等特征展开。需根据函数表达式准确分析图像特点，并能通过图像得出相关信息。解析题解析二次函数解析式时，常根据已知点坐标、顶点等信息，选择合适的表达式形式，如一般式、顶点式等，运用待定系数法来求解参数。方程题方程题主要围绕二次函数与一元二次方程的关系展开。通过函数图像与\(x\)轴