运算律统摄下的问题解决-“连乘、乘加、乘减”混合运算教学设计（五年级数学）

运算律统摄下的问题解决——“连乘、乘加、乘减”混合运算教学设计（五年级数学）一、教学内容分析  本课内容隶属于“数的运算”领域，是学生在已掌握小数乘法和同级运算顺序的基础上，首次正式接触含有两级运算的整数、小数混合运算。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其坐标清晰：在知识技能上，要求学生“能进行简单的整数、小数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）”，这是构建完整运算体系的关键一环；在过程方法上，本课是渗透“模型意识”与“推理意识”的绝佳载体，引导学生从具体生活情境中抽象出数学问题，并依据运算意义和已有规则进行逻辑推理，确定运算顺序；在素养价值上，运算不仅是技能，更是一种严谨的思维体操。通过解决实际问题，培养学生有序、灵活的数学思维和“先想后算”的审题习惯，其育人价值在于塑造理性、条理的思考品质。本课在单元内承上启下，既巩固了小数乘法的算理算法，又为后续学习整数运算律推广到小数、解决更复杂的实际问题奠定坚实的运算基础。教学重难点预判在于：学生能否跳出“从左往右”的思维定式，理解并灵活运用“先乘法，后加减”的运算顺序规则。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已熟练掌握小数乘法的计算及连乘的运算顺序，对乘加、乘减的算式形式不陌生，但在具体情境中自主确定运算顺序、并清晰表述算理是全新挑战。常见认知误区是受“从左到右”的惯性思维影响，忽略运算的优先级。可能存在的思维难点在于，当乘法和加法/减法混合出现时，为何必须先算乘法？这需要追溯到乘法的本质意义（即求几个相同加数和的简便运算）进行理解。在教学过程中，我将通过创设对比性情境、组织算理辩论、设计阶梯式练习等手段，进行动态的形成性评估。例如，在关键环节设置“判断并说理”活动，即时诊断学生是机械记忆规则还是真正理解。针对不同层次学生，支持策略包括：为理解困难的学生提供更直观的图示或学具操作支持；为掌握较快的学生设计需要逆向思考或一题多解的挑战任务，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得发展。二、教学目标  知识目标：学生通过解决真实问题，理解并掌握“在没有括号的算式里，如果既有乘法又有加减法，要先算乘法，后算加减法”的运算顺序规则。能够正确列出连乘、乘加、乘减的混合运算式，并熟练、准确地进行计算，形成结构化的运算知识网络。  能力目标：聚焦数学核心能力中的“运算能力”与“解决问题能力”。学生能够从具体生活情境中提取数学信息，分析数量关系，列出正确的混合运算算式解决问题。在探究运算顺序的过程中，发展基于算理的逻辑推理能力和清晰、有条理的口头与书面表达能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究运算规则的过程中，培养学生乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度。通过解决贴近生活的实际问题，体会数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心，初步养成“先观察、再思考、后计算”的良好审题习惯。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的“模型意识”与“推理意识”。引导学生经历“具体情境—抽象算式—归纳规则—解释应用”的完整建模过程。通过对比、分析不同算式的运算顺序，运用数学语言进行合乎逻辑的推理与论证，感悟数学的严谨性与一般性。  评价与元认知目标：引导学生学会自我监控学习过程。能够依据明确的评价量规（如：列式正确、顺序合理、计算准确、表述清晰）对同伴或自己的解题过程进行评价。在课堂小结环节，能够回顾学习路径，反思“我是如何学会这个规则的？”以及“在哪些地方容易出错？”，提升元认知水平。三、教学重点与难点  教学重点：掌握“先乘除后加减”的运算顺序规则，并能正确计算连乘、乘加、乘减的两步混合运算。其确立依据源于课程标准对第二学段“数的运算”的基本要求，此规则是整个四则混合运算体系的基石，对后续学习整数、小数乃至分数的复杂混合运算具有决定性影响。从能力立意看，正确运用该规则是学生运算能力从单一走向综合、从机械走向灵活的关键标志，是解决复杂实际问题的先决条件。  教学难点：理解“为什么先算乘法”的算理本质，并能在具体问题情境中灵活、准确地应用运算顺序规则。难点成因在于：首先，这打破了学生长期形成的“从左往右”依次计算的思维定式，认知上需要跨越；其次，部分学生可能仅停留在规则记忆层面，未能从乘法是“相同加数和的简便运算”这一意义层面理解其优先级，导致在变式或逆向问题中出错。突破方向在于，设计具有认知冲突的情境，引导学生从问题本源（数量关系）出发，通过对比、说理、验证，实现算理与算法的统一。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式电子白板课件，内含情境动画、对比性问题、阶梯式练习题组。  1.2学习材料：设计分层学习任务单（含探究记录区、分层练习区）、实物投影仪用于展示学生作品。  2.学生准备  复习小数乘法计算方法，准备课堂练习本。提前观察生活中涉及“先乘后加”计算的实际例子（如购物结账）。  3.环境布置  学生按4人异质小组就座，便于开展合作探究与讨论。黑板划分出“问题区”、“算法区”和“规则区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与认知冲突：“同学们，周末小明和妈妈去超市采购，遇到了两个有趣的数学问题，我们一起帮帮他。”出示情境：①买3瓶单价5.2元的果汁，一共多少钱？②买1个12元的蛋糕和3瓶单价5.2元的果汁，一共应付多少钱？  1.1唤醒旧知，提出问题：“第一个问题，相信大家秒答！列式是？对，5.2×3，这是我们已经学过的连乘吗？不，是简单的一步乘法。那第二个问题呢？‘一共应付多少钱’，需要把哪几部分合起来？有蛋糕的钱，还有……3瓶果汁的总价。怎么列综合算式？”预计学生可能列出12+5.2×3或5.2×3+12。“算式列出来了，可这个算式里有加号又有乘号，该先算谁呢？是先算12+5.2，还是先算5.2×3？今天我们就一起来研究这类‘连乘、乘加、乘减’的混合运算该怎么算。”  1.2明晰路径：“我们将从具体问题出发，通过小组合作探寻运算顺序的道理，然后总结规则，最后挑战更灵活的问题。请回想一下，以前我们规定加减或乘除混合时，顺序是怎样的？那么遇到‘加’和‘乘’相遇，顺序又该如何规定？让我们开始探究吧！”第二、新授环节  任务一：聚焦情境，初探顺序  教师活动：聚焦导入环节的问题②，组织全班讨论。首先，引导学生用分步计算解释数量关系：“蛋糕的12元是一个部分，3瓶果汁的总价是另一个部分，总价是这两部分的和。3瓶果汁的总价怎么算？”接着，指向综合算式12+5.2×3，抛出核心问题：“要直接用一个式子表示总价，就写成了这样。请大家在小组内讨论：你认为应该先算哪一步？为什么？能不能用你生活中的经验或者数学道理来说服大家？”教师巡视，倾听各小组观点，特别关注坚持“从左往右”计算学生的理由。  学生活动：小组成员积极发表看法。可能产生分歧：一部分认为应先算12+5.2，因为算式从左往右写；另一部分则认为应先算5.2×3，因为需要先算出3瓶果汁的总价。学生会尝试用分步计算的过程（先算5.2×3=15.6，再算12+15.6=27.6）来支持自己的观点，或用“单价×数量=总价”的数量关系进行说理。  即时评价标准：1.观点是否基于问题情境中的数量关系（如“必须先求出果汁的总价才能和蛋糕钱相加”）。2.表达是否清晰，能否倾听并回应同伴的不同意见。3.是否能将生活化的解释尝试用数学语言（如“乘法是加法的简便运算”）进行初步概括。  形成知识、思维、方法清单：★混合运算源于实际问题：综合算式是分步计算的简洁表达，其运算顺序由实际问题中的数量关系决定。▲初步的规则猜想：在乘加混合的算式中，可能需要先算乘法，再算加法。教师可提示：“看来，大家倾向于先算乘法。这和我们以前‘从左往右’的习惯不一样，这个新规则有道理吗？我们再多看几个例子验证一下。”  任务二：多元验证，确认规则  教师活动：提供一组对比性、结构化的例子供小组探究验证。例如：A.一盒铅笔12支，老师买了3盒，又单买了5支，一共多少支？(12×3+5)B.每本书25元，买2本，付100元，应找回多少元？(10025×2)。引导学生：“请每个小组任选12个例子，像刚才一样，先说说题意，再用分步计算思考，最后看看综合算式怎样算才合理。把你们的发现记录下来。”组织小组汇报，关键追问：“如果先算加/减法，结果表示什么意思？符合题意吗？”“从这些不同的例子中，你们发现了什么共同点？”  学生活动：小组分工合作，分析不同情境，列出算式并讨论运算顺序。通过计算验证，发现只有先算乘法，得到的结果才符合实际意义。在汇报中，总结共同规律：“不管乘在前面还是后面，都要先算乘法。”“减法和乘法混合，也是先算乘法。”学生尝试用更概括的语言描述规则。  即时评价标准：1.能否将具体情境中的数量关系与算式运算顺序正确关联。2.验证过程是否严谨（分步与综合对比）。3.归纳结论时，语言是否趋向准确、完整（如提及“没有括号”、“既有乘法又有加减法”等关键限定）。  形成知识、思维、方法清单：★运算顺序的算理依据：先算乘法，是因为在情境中，乘法部分（如总价、总数）是一个独立的“整体”，加或减是在这个“整体”基础上进行的。这是规则背后的道理。★不完全归纳法：通过多个具体例子的共同特征，归纳出一般性的数学规则，这是数学发现的重要方法。教师点评：“大家通过自己的探究，当了一回‘数学规则发现者’，真了不起！现在，让我们把这个伟大的发现正式地记录下来。”  任务三：抽象概括，形成法则  教师活动：引导全班将探究得出的共同认识进行精炼、规范的数学表达。提问：“谁能用最准确、最简练的数学语言，把这条新规则说出来？”鼓励学生补充完善。随后，教师在黑板“规则区”规范板书：在没有括号的算式里，既有乘法，又有加、减法，要先算乘法，后算加、减法。并强调“没有括号”这一前提。接着，回到导入的算式12+5.2×3进行示范书写：“现在，我们按照这个规则来计算。先算什么？在乘法下面画一条横线表示第一步。5.2×3等于15.6，然后呢？把没有算的部分12和加号照抄下来，再算12+15.6。”完整呈现递等式书写过程。  学生活动：学生尝试用自己的话概括规则，并聆听、比较不同表述，最终认同并记忆规范表述。观察教师板演，学习递等式计算的规范书写格式，明确“先算的步骤画横线，没算的部分要照抄”的要点。跟随教师口述计算过程。  即时评价标准：1.概括的规则是否包含“没有括号”、“先乘后加减”等核心要素。2.观察学生是否理解递等式中“照抄”的必要性，避免只写结果。3.能否清晰复述计算步骤。  形成知识、思维、方法清单：★核心运算规则：无括号的乘加、乘减混合运算，先算乘，后算加减。这是必须掌握的算法。▲递等式书写规范：第一步计算的得数写在对应位置，未参与计算的部分要“原样搬下来”，保持等式的连续性。这是培养严谨习惯的关键细节。教师提示：“规则记在心里，格式写在纸上，两者结合才能算得又对又好。接下来，我们进行实战演练。”  任务四：专项对比，深化理解（连乘vs乘加/减）  教师活动：设计对比练习组：①4×2.5×0.7②4+2.5×0.7。提问：“请大家仔细观察，这两个算式长得像吗？但它们分别是哪一类运算？运算顺序会一样吗？”让学生独立计算后，重点讨论：“为什么第①题可以从左往右算，而第②题不可以？”引导学生从运算符号的本质进行区分：连乘是“同级运算”，乘加是“两级运算”。  学生活动：独立计算两道题，直观感受运算顺序的不同。在讨论中，深入辨析：因为①题全是乘法（同级），所以按顺序算；②题有不同级运算，要按“先乘后加”的规则。学生可能总结出判断顺序的“两步法”：一看（有无括号），二辨（是否同级）。  即时评价标准：1.计算是否准确，书写是否规范。2.能否清晰说出两道题运算顺序不同的根本原因（运算级别不同）。3.是否提炼出判断运算顺序的一般性策略。  形成知识、思维、方法清单：★同级运算与两级运算：只有加减或只有乘除，是同级运算，顺序从左往右；既有乘除又有加减，是两级运算，顺序先乘除后加减。这是对运算顺序规则的整合性理解。★易错点警示：不能只看算式的数字排列，必须依据运算符号确定运算级别和顺序。教师可强调：“眼睛要亮，看清符号再下笔，这是避免顺序错误的不二法门。”  任务五：变式应用，灵活列式  教师活动：出示稍复杂的实际问题，如：“一箱苹果有24个，每箱售价45.6元。水果店上午卖出5箱，下午卖出3箱。这一天卖苹果一共收入多少元？（用两种方法解答）”引导学生分析：“‘一共收入’需要哪些信息？你能从不同角度思考吗？”鼓励学生尝试不同的解题思路（如：先分别求上、下午收入再相加；先求一共卖出多少箱再求总收入）。巡视指导，重点关注学生列综合算式时对运算顺序的把握。  学生活动：独立思考，尝试从不同路径分析数量关系。可能出现两种方法：方法一：45.6×5+45.6×3（乘加混合）；方法二：45.6×(5+3)（涉及括号，为后续学习埋下伏笔）。学生列出综合算式，并思考其运算顺序。小组内交流不同的列式方法，比较其联系。  即时评价标准：1.列式是否正确反映了其解题思路。2.在列综合算式时，是否自觉考虑了运算顺序。3.能否理解不同列式方法之间的内在联系（乘法分配律的雏形）。  形成知识、思维、方法清单：▲解决问题的灵活性：同一问题可能存在多种解题思路和列式方法，体现了数学思维的多样性。★列式与顺序的统一：在根据数量关系列综合算式时，要同步思考运算顺序，确保算式能正确表达解题步骤。教师小结：“看来，掌握了运算顺序这个工具，我们就能更自信地用综合算式来清晰地表达我们的解题思路了。”第三、当堂巩固训练  本环节构建分层、变式训练体系，提供即时反馈。  1.基础层（全体必做）：直接应用规则进行计算。如：7.3×2+5.1，9.61.5×4，2.8×1.5×0.5。目标：巩固规则，规范书写。反馈：学生独立完成，投影展示典型规范作业和常见格式错误（如忘记照抄），学生互评纠正。  2.综合层（多数学生完成）：在稍复杂或逆思考情境中应用。①判断改错：如4+6×5=10×5=50，让学生诊断错误原因。②解决问题：“一支钢笔比一本笔记本贵2.5元，买3本笔记本和1支钢笔共花了20.5元，一本笔记本多少元？”（需要设未知数或逆向思考）。反馈：小组讨论判断改错题，说明理由。解决问题题由教师引导分析数量关系，重点反馈如何将生活语言转化为带运算顺序的数学算式。  3.挑战层（学有余力选做）：开放探究。如：用2，3.5，4，0.5这四个数和“+，，×”组成一个得数最大的混合运算式（每个数用一次）。反馈：鼓励学生分享不同的组合和计算过程，比较结果，感悟运算顺序对结果的影响，激发探究兴趣。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。  1.知识整合：“同学们，经过这节课的探险，你的‘运算知识地图’上增添了哪块重要的新大陆？”鼓励学生用关键词或图示梳理：我们学习了“连乘、乘加、乘减”的混合运算，核心规则是“先乘除，后加减（无括号时）”，计算时要注意书写规范。  2.方法提炼：“回顾一下，我们是怎样得到这条规则的？”带领学生回顾“发现问题（认知冲突）—举例验证—归纳概括—应用巩固”的探究路径，强调从算理理解算法的重要性。  3.作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下思考题：“如果我想改变运算顺序，比如在12+5.2×3这个算式中非要先算加法，有什么办法吗？”为下节课学习“括号”的作用做铺垫。最后总结：“运算有顺序，思维有条理。希望同学们在以后的计算中，都能成为稳重又灵活的‘运算小管家’。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.完成练习册指定页面的基本计算题（连乘、乘加、乘减各3道），要求规范书写递等式。2.结合今天所学，从教材或生活中找一个需要用“乘加”或“乘减”混合运算解决的实际问题，并解答。  拓展性作业（建议完成）：1.“数学医院”门诊：担任小医生，诊断3道含有典型运算顺序错误的计算题，写出“病因”并“治愈”（改正）。2.创编一个含有“乘加”混合运算情境的数学小故事，并列出算式计算出结果。  探究性/创造性作业（选做）：1.探究题：观察算式3×4+5×2和(3×4)+(5×2)，它们的运算顺序和结果有什么异同？这给你什么启发？（初步感受括号有时可省略）。2.项目式学习预热：调查你家附近超市或菜市场一种商品的单价，设计一个包含购买不同数量该商品和其他一件商品的“购物方案”，并计算总价，用综合算式表示。七、本节知识清单及拓展  ★混合运算：算式中含有两种或两种以上运算（如加、减、乘、除）的运算。  ★运算顺序规则（无括号情况）：1.同级运算：只有加、减法或者只有乘、除法，要按从左往右的顺序计算。2.两级运算：既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。本课核心是掌握第2条。  ▲规则的理解（算理）：“先乘除后加减”的规定，源于实际问题中数量关系的逻辑。乘法往往求的是一个“整体量”（如总价、总面积），加减法则是在这些“整体量”之间进行合并或比较。先算出这些整体量，才能进行后续的加减。  ★递等式计算格式：进行混合运算脱式计算时，需用递等式。要点：把先算的一步画线标出，计算结果写在相应位置；暂时未运算的部分要连同它前面的符号原样照抄下来，直至所有运算完成。  ★连乘运算：属于同级运算（只有乘法），按从左往右的顺序依次计算。如：0.8×1.2×5，先算0.8×1.2=0.96，再算0.96×5=4.8。  ▲易错点辨析：最容易混淆的是形如a+b×c与a×b×c的运算顺序。关键看符号：前者是两级运算（乘加），先乘后加；后者是同级运算（连乘），从左往右。切忌不审符号，盲目计算。  ▲列综合算式解决问题：根据题意列式时，要同步思考运算顺序。列出的综合算式应能准确反映解题的步骤和逻辑。如果分步计算的中间结果是下一步的必要条件，则在综合算式中，产生这个中间结果的运算（往往是乘法）就需要优先进行。  ▲与后续知识的联系：本课规则是四则混合运算的基石。接下来将学习使用括号来改变预设的运算顺序，并最终将整数运算律推广到小数，实现简便运算。理解本课规则是学习所有这些后续内容的前提。八、教学反思  （一）目标达成度分析从预设的课堂活动与反馈来看，本课核心知识目标——掌握“先乘后加减”的运算顺序，通过“任务一至三”的探究式学习，大部分学生能够达成。在巩固练习中，基础层题目正确率较高，表明规则已初步内化。能力目标方面，学生从情境中提取信息、列式的能力在“任务五”中得到锻炼，但部分学生在面对逆思考问题时仍显吃力，说明分析复杂数量关系的能力需持续培养。素养层面，学生在小组讨论中展现了一定的说理与倾听意识，模型意识与推理意识在探究过程中得以渗透。  （二）核心环节有效性评估“导入环节”的生活情境成功制造了认知冲突，有效激发了探究欲。“任务二（多元验证）”是关键转折点，通过不同例子的“压力测试”，学生自我修正了“从左往右”的定式思维，真正理解了规则的必要性。此处，我追问了一句：“如果先算加法，得到的数在故事里代表什么？说得通吗？”这一问促使学生将运算结果反扣到情境意义中去检验，实现了算理理解的深化。“任务四（专项对比）”设计是有效的防错预案，将易混淆点前置辨析，减少了后续练习中的类型化错误。  （三）学生表现与差异化关照剖析课堂中，学生大致呈现三种状态：一是“快速理解型”，他们能迅速关联旧知（乘法意义），并主导小组说理；二是“逐步建构型”，他们需要更多具体例子的支撑和同伴的讲解，才能逐步接受新规则；三是“机械记忆型”，他们可能游离于算理讨论之外，但能通过模仿记住规则进行计算。针对差异，学习任务单的分层练习起到了分流作用。对于第二类学生，我在巡视中给予了