《机械设计基础》-第７章

７.１平面弯曲变形的基本知识７.１.１平面弯曲的概念弯曲变形是杆件常见的一种变形形式，如桥梁，火车轮轴、车刀等，在外力的作用下其轴线发生了弯曲。这种形式的变形称为弯曲变形。其受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力（即横向力）作用。其变形特点是：杆的轴线被弯成一条平面曲线。在外力作用下弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁，如图７－１所示。７.１.２常见梁的力学模型在力学模型简化中，通常以梁的轴线表示梁，根据梁所受支座约束的不同，梁平面弯曲时的力学模型可以分为以下３种形式。下一页返回７.１平面弯曲变形的基本知识简支梁：如图７－１（ｆ）所示，一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座外伸梁：如图７－１（ｄ）所示，一端或两端伸出支座外的简支梁悬臂梁：如图７－１（ｅ）所示，一端为固定端，另一端为自由端的梁。作用在梁上的载荷，一般可以简化为３种形式，如图７－２所示。（１）集中力。当力的作用范围相对梁的长度很小时，可简化为作用于一点的集中力。（２）集中力偶。当力偶作用的范围远小于梁的长度时，可简化为作用在某一横截面上的集中力偶。上一页下一页返回７.１平面弯曲变形的基本知识（３）分布载荷。当载荷连续分布在梁的全长或部分长度上时，形成分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度ｑ表示，单位为Ｎ／ｍ。沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。均布载荷的载荷集度ｑ为常数，如均质等截面梁的自重属均布载荷。上一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC当作用在梁上全部的外力（包括载荷和支座反力）确定后，应用截面法可以求出任一横截面上的内力。７.２.１用截面法求剪力和弯矩由于外力ｑｘ有使左段梁沿铅垂方向移动的趋势，根据左段梁的平衡可知，截面ｍ－ｍ上必有一个切于截面的内力ＦＱ，这种内力称为剪力。由静力平衡方程得ＦＱ＝－ｑｘ（０≤ｘ≤ｌ）（此式称为剪力方程）下一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC显然，外力ｑｘ还有使梁绕截面ｍ－ｍ的形心Ｃ逆时针转动的趋势（剪力ＦＱ对Ｃ点的矩为０），可见截面上必然还有一个内力偶矩Ｍ，这个内力偶矩称为弯矩。由静力平衡方程由上述所得的剪力方程和弯矩方程，代入相应数据可以求得梁各横截面上的内力———剪力和弯矩。由此可见，梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力———作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内的剪力ＦＱ和位于纵向对称面内的弯矩Ｍ。上一页下一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC计算ｍ－ｍ截面上的剪力和弯矩时，也可取右段为研究对象（这时应首先由静力平衡条件求出约束反力ＦＡ和约束反力偶ＭＡ），其求得的剪力和弯矩的大小与取左段为研究对象求得的剪力和弯矩大小相等、方向相反，它们是作用与反作用关系。横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲称为剪切弯曲（或横力弯曲）。有些情况下，梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，则称为纯弯曲。工程上一般梁（跨度ｌ与横截面高度ｈ之比ｌ／ｈ＞５），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。因此，下面仅讨论有关弯矩的问题。上一页下一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC为了使以两段梁分别为研究对象求得的同一截面上的弯矩不仅大小相等，而且正、负号一致，特作如下规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负，如图７－４所示。根据上述弯矩正、负号的规定及例题７－１中弯矩方程可以看出，弯矩的计算有以下规律：若取梁的左段为研究对象，横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，外力矩为顺时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。上一页下一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC若取梁的右段为研究对象，横截面上的弯矩的大小等于此截面右边梁上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，外力矩为逆时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。熟悉上述规律后，在实际运算中就不必用假想截面将梁截开，再用平衡方程去求弯矩，而可以直接利用上述规律求出任意截面上弯矩的值及其转向。７.２.２用剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随横截面位置的变化而变化的，若取梁的轴线为ｘ轴，以坐标ｘ表示截面的位置，则剪力和弯矩可以表示为ｘ的连续函数，即上一页下一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC此两式分别称为剪力方程和弯矩方程。为了能够直观地表明梁上各截面上的剪力和弯矩的大小及正负，通常把剪力方程和弯矩方程用图像表示，称为剪力图和弯矩图。７.２.３剪力、弯矩与外力间的关系（简易作图法）由以上计算结果可得弯矩图的规律：上一页下一页返回７.２弯曲内力、剪力FQ、弯矩MC（１）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。（２）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。（３）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为０；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。我们可以利用上面规律绘制弯矩图。上一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件７.３.１梁纯弯曲的概念在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲为纯弯曲。７.３.２梁纯弯曲时横截面上的正应力１.变形特点横向线仍为直线，只是相对变形前转过了一个角度，但仍与纵向线正交。纵向线弯曲成弧线，且靠近凹边的线缩短了，靠近凸边的线伸长了，而位于中间的一条纵向线既不缩短，也不伸长。下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，其中必定有一个既不缩短也不伸长的中性层（不受压又不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层与横截面的交线，称为中性轴，如图７－９所示。变形时横截面是绕中性轴旋转的。２.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。分布如图７－１０所示。３.梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件最大正应力为σｍａｘ（ＭＰａ）即Ｍ和ｙ均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处是受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。４.惯性矩和抗弯截面模量上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件截面对中性轴的惯性矩，表示截面的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，不同的截面相对于不同的中性轴有不同的惯性矩值。截面对中性轴的抗弯截面模量，是衡量截面抗弯能力的几何量，不同的截面相对于不同的中性轴有不同的抗弯截面模量。各种截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算公式可查阅设计手册，表７－１给出３种常用简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式。７.３.３梁纯弯曲时的强度条件强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件应用此条件可以进行３种运算：校核强度，设计截面，确定许可载荷。７.３.４提高梁强度的主要措施从梁的弯曲正应力公式σｍａｘ＝Ｍ/Ｗｚ可知，梁的最大弯曲正应力与梁上最大弯矩Ｍ成正比，与抗弯截面系数Ｗｚ成反比，依据它们之间的关系，可以采用以下措施提高梁的强度，从而在满足梁的抗弯能力前提下，尽量减少材料的消耗。上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件１.降低最大弯矩数值的措施（１）合理安排梁的支承。在梁的尺寸和截面形状已经设定的条件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大弯矩的作用，同时也可缩小梁的跨度，从而提高了梁的强度。以如图７－１３（ａ）所示均布载荷作用下的简支梁为例，若将两端支座各向内移动０.２ｌ［如图７－１３（ｂ）所示］，梁上的最大弯矩只有原来的１／５。（２）合理布置载荷。当梁上的载荷大小一定时，合理布置载荷，可以减少梁上的最大弯矩，提高梁的强度。上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件以简支梁承受集中力Ｆ为例［如图７－１４（ａ）所示］，集中力Ｆ的布置形式和位置不同，梁的最大弯矩明显减少。传动轴上齿轮靠近轴承安装［如图７－１４（ｂ）所示］；运输大型设备的多轮板车［如图７－１４（ｃ）所示］；吊车增加副梁［如图７－１４（ｄ）所示］，均可为简支梁上合理布置载荷，提高抗弯能力的实例。２.选择梁的合理截面梁的合理截面应该使用较小的截面面积获得较大的弯曲截面系数。上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件从表７－２可以看出，圆截面Ｗｚ／Ａ值最小，矩形次之，因此它们的经济性不够好。从梁的弯曲正应力分布规律来看，在梁截面的上、下边缘处，正应力最大，而靠近中性轴附近正应力很小。因此尽可能使截面面积分布距中性轴较远才能发挥材料的作用，而圆截面恰恰相反，使很大一部分材料没有得到充分利用。为充分利用材料，使截面各点处的材料尽可能地发挥其作用，将实心圆截面改成面积相同的空心圆截面，其抗弯强度可以大大提高。同样，对于矩形截面，将其中性轴附近的面积挖掉，放在离中性轴较远处［图７－１５（ａ）］就变成了工字形截面。这样，材料的使用就趋于合理，提高了经济性。上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件根据材料性能选择截面，截面形状应与材料特性相适应。对抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。ｙ１和ｙ２之比接近于下列关系，最大拉应力和最大压应力便可同时接近许用应力。３.采用等强度梁上一页下一页返回７.３梁纯弯曲时的强度条件等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等，这种梁称为等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如摇臂钻的摇臂ＡＢ做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念［图７－１６（ａ）］、汽车板簧［图７－１６（ｂ）］、圆轴则制成了变截面的阶梯轴［图７－１６（ｃ）］等。上一页返回７.４梁的刚度概念梁在载荷作用下，除应满足强度条件以防止发生破坏外，还应满足刚度条件，即弹性变形不得超过一定的限度，以保证机器和结构的正常工作。设梁ＡＢ在平面内受Ｆ作用发生弯曲变形，如图７－１７所示，梁轴线则由原来的直线变成一条连续的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线。由图可见，梁的各横截面将在该平面内同时发生线位移和角位移。梁上任一横截面的形心在垂直于原来梁轴线方向的位移，称为梁在该截面的挠度，以ｙ表示。同时横截面绕其中性轴转过一个角度，称为该截面的转角，以θ表示。挠度ｙ和转角θ是量度梁弯曲变形的两个基本量。下一页返回７.４梁的刚度概念梁的挠度和转角一般是随着截面的位置的变化而变化的。在工程上，根据工作要求，常对挠度和