陕西省西安市工业大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题（原卷版+解析版）

陕西省西安市工业大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.下列实数，是无理数的是（）A. B.﹣π C. D.2.若，那么下列各式中正确的是（）A. B.C. D.3.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，4.如图，在中，边的垂直平分线交边于点，，则=（）A50° B.100° C.120° D.130°5.在平面直角坐标系中，若点P(m,m+2)在第二象限且m为负整数，，则点P坐标为()A.(-1,3) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-2,0)6.如图，，，垂足分别为，，若，，则的度数为（）A. B. C. D.7.如图，已知函数y＝kx和y＝ax+b的图像交于点P（﹣2，﹣6），则根据图像可得不等式ax+b＜kx＜0的解集是（）A.x＞﹣2 B.x＜﹣2 C.﹣2＜x＜3 D.﹣2＜x＜08.已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A3 B.4 C.5 D.6二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.的平方根是________．10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，CE=3cm，则BE的长为_____cm．11.若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为____________．12.把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是_________________.13.如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为____________．三、解答题（共9小题，计61分．解答题应写出过程）14.（1）计算：（2）解方程组：15.解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上．（1）．（2）16.已知，如图，．用尺规作图在三角形内部求作点，使得，且点到，的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．17.如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且．（1）求证：为直角三角形；（2）若，，求的长．18.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图：选手测试成绩／分总评成绩／分采访写作摄影小悦小涵▲▲（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数加下：，，，，，，．这组数据的中位数是___________分，下四分位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分；（2）请你计算小涵的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．19.某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件．（1）若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解）（2）若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润．20.甲、乙两人从同一地点出发，沿着跑道训练400米速度跑，乙比甲先出发，并且匀速跑完全程，甲出发一段时间后速度提高为原来的3倍．设乙跑步的时间为，甲，乙跑步的路程分别为（米）、（米），与之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求m，n值；（2）在甲提速后到甲停止运动的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过30米时，请求出的取值范围．21.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点．（1）求一次函数解析式；（2）在x轴上寻找点P，使得为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标；（3）在直线AB上寻找点Q，使得，求点Q的坐标．22.如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．问题发现（1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________．问题探究（2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值．问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．陕西省西安市工业大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.下列实数，是无理数的是（）A. B.﹣π C. D.【答案】B【解析】【详解】∵实数，而A.是无限循环小数，为有理数，B.﹣π为无限不循环小数，C.=-2为整数，D.为分数，为有理数.∴故选B.点睛：常常错选答案D，认为这个分数除不尽，为无限不循环小数，实际上所有的分数都可化为有限小数或无限循环小数，所以分数必然是有理数.2.若，那么下列各式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查不等式的基本性质．根据不等式两边同时乘以负数时不等号方向改变，可判断选项A正确，根据不等式两边同时减去同一数时不等号方向不变，可判断选项B错误，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项C错误，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项D错误．【详解】解：∵，∴，A正确；∵，∴，B错误；∵，∴，C错误；∵，∴，D错误；故选：A．3.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A选项：，以、、为边长的线段能构成直角三角形，故A选项符合题意；B选项：，，，以、、为边长的线段不能构成直角三角形，故B选项不符合题意；C选项：，，，以、、为边长的线段不能构成直角三角形，故C选项不符合题意；D选项：，，，以、、为边长的线段不能构成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．4.如图，在中，边的垂直平分线交边于点，，则=（）A.50° B.100° C.120° D.130°【答案】B【解析】【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：∵线段的垂直平分线交边于，∴，∴，∴，故选：B．5.在平面直角坐标系中，若点P(m,m+2)在第二象限且m为负整数，，则点P坐标为()A.(-1,3) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-2,0)【答案】B【解析】【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可得．【详解】解：根据题意，得：，解得-2＜m＜0，∵m为负整数，∴m=-1，∴点P坐标为(-1,1)，故选：B．【点睛】本题考查了根据各象限内点的坐标的特点，确定点的坐标，掌握各象限内点的坐标特点是解决本题的关键．6.如图，，，垂足分别为，，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，首先利用证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求出．【详解】解：，，，，，，在和中，，，，，．故选：D．7.如图，已知函数y＝kx和y＝ax+b的图像交于点P（﹣2，﹣6），则根据图像可得不等式ax+b＜kx＜0的解集是（）A.x＞﹣2 B.x＜﹣2 C.﹣2＜x＜3 D.﹣2＜x＜0【答案】D【解析】【分析】直接根据两函数图像的交点即可得出结论．【详解】解：ax＋b＜kx＜0的几何意义是，正比例函数的图像要在一次函数的图像上，且都在x轴以下，由图像可知，此时的x满足－2＜x＜0，故选：D．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用函数图像直接得出不等式的取值范围是解题的关键．8.已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，以4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．【详解】如图所示：当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质.以4作为腰或底边作图是解题的关键.二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.的平方根是________．【答案】【解析】【分析】本题考查平方根和立方根定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．先求得，根据平方根的定义即可求得答案．【详解】解：，∴的平方根是，故答案：．10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，CE=3cm，则BE的长为_____cm．【答案】6【解析】【分析】由在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可求得∠BAC的度数，由的垂直平分线d的性质可得AE=BE，即可得∠CAE=30°，由含30°角的直角三角形的性质可求得答案．【详解】解：连接AE，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=30°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=30°，∵CE=3cm，∴AE=2CE=6cm，∴BE=6（cm）．故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11.若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为____________．【答案】17【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解．由题意可知，方程组的解也是二元一次方程的解，说明这三个方程有公共解，因此可先联立方程求出公共解，再将解代入方程中求的值．【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解，∴这三个方程有公共解，∴，解得：，将代入得，解得：．故答案为：17．12.把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是_________________.【答案】m>1【解析】【详解】试题分析：直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，求出直线y=-x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．试题解析：直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），∵交点在第一象限，∴，解得：m＞1．考点：一次函数图象与几何变换．13.如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为____________．【答案】或或【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论求出点的坐标．【详解】解：点是直线上的动点，设点的坐标为，则，，如下图所示，当，时，，可得：或，由，可得：，即点的坐标为，由，可得：，，即点的坐标为；如下图所示，当，时，过点作，则，，，整理可得：或(无解，舍去)，由，可得，，点的坐标是；综上所述，点的坐标是或或．三、解答题（共9小题，计61分．解答题应写出过程）14.（1）计算：（2）解方程组：【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，解二元一次方程组．（1）先计算乘方，二次根式的乘法，零指数幂，绝对值，再计算加减即可；（2）根据加减消元法求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：得，即，解得；将代入得，解得；．15.解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上．（1）．（2）【答案】（1），数轴见解析（2），数轴见解析【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；（2）分别求出各不等式解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．【小问1详解】解：两边同乘3，得

展开，得

移项，得

合并，得

两边同除以，不等号方向改变，得

将其解集表示在数轴上，如图，【小问2详解】解：解①得解②得∴不等式组的解集为

，将其解集表示在数轴上，如图，16.已知，如图，．用尺规作图在三角形内部求作点，使得，且点到，的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图作一条线段的垂直平分线、尺规作图作过一点作已知直线的垂线，利用尺规作图作的平分线，过点作交射线于点，根据直角三角形的两个锐角互余可知，点即为所求．【详解】解：如下图所示，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，画射线，则是的平分线，射线上任意一点到、的距离相等，以点为圆心任意长度为半径画弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于，则，，，，，，射线与射线交于点，点即为所求．17.如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且．（1）求证：为直角三角形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．(1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立；(2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度．【小问1详解】证明：，，，在和中，，，在中，，，，为直角三角形；【小问2详解】解：，，，，，.18.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图：选手测试成绩／分总评成绩／分采访写作摄影小悦小涵▲▲（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数加下：，，，，，，．这组数据的中位数是___________分，下四分位数是___________分，众数是___________分，平均数是___________分；（2）请你计算小涵的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．【答案】（1），，，（2）（3）小涵能入选，小悦不一定能入选【解析】【分析】本题主要考查了统计表、条形统计图、下四分位数、众数、中位数、平均数，解决本题的关键是根据定义求出各项数据．(1)根据下四分位数、众数、中位数、平均数的定义求出各项数据；(2)根据将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算小涵的总评成绩；(3)由条形统计图可知，分以上的共有人，所以小涵能入选，小悦不一定能入选．【小问1详解】解：把，，，，，，按照从小到大排列可得：、，，，、，，这组数据中共有个数据，中间的一个数据是，这组数据的中位数是；，这组数据的下四分位数是；这组数据中出现次数最多是，这组数据的众数是；这组数据的平均数是；故答案为：，，，；【小问2详解】解：由(1)知小涵的摄影成绩为分，小涵的总评成绩为(分)，【小问3详解】解：由条形统计图可知，分以上的共有人，学校要选名小记者，小涵一定能入选，小悦的成绩是分，小悦不一定能入选．19.某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件．（1）若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解）（2）若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润．【答案】（1）有件学习用品（2）利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出方程组及根据数量关系列出函数表达式是解题的关键．（1）设学习用品有件，文娱玩具有件，根据“购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件”和“营业额为3600元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设学习用品有件，则文娱玩具有件，利润为元，根据数量关系得，再根据购进的商品总价不高于1335元求出，然后根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设学习用品有件，文娱玩具有件，依题意得：化简得：，解得，答：有件学习用品；【小问2详解】解：设学习用品有件，则文娱玩具有件，利润为元依题意得：，∵购进的商品总价不高于1335元，∴，解得．∵，，∴随的增大而减小，∵，∴当时，最大，，文娱玩具数量件．答：利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元．20.甲、乙两人从同一地点出发，沿着跑道训练400米速度跑，乙比甲先出发，并且匀速跑完全程，甲出发一段时间后速度提高为原来的3倍．设乙跑步的时间为，甲，乙跑步的路程分别为（米）、（米），与之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求m，n的值；（2）在甲提速后到甲停止运动的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过30米时，请求出的取值范围．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练识别函数图象，能理解图象中特殊点的意义．（1）由图象直接可得甲比乙晚出发，根据甲提速前用（秒）跑了米，得甲提速前的速度是每秒米秒，，而乙用秒跑了米，即乙速度是米秒，故；（2）分两种情况：，可解得或，当时，解得，即可得到的取值范围．【小问1详解】解：由图象可知甲比乙晚出发，甲提速前用（秒）跑了米，甲提速前的速度是每秒（米/秒），由已知得：，，乙用秒跑了米，即乙速度是米秒，；【小问2详解】解：由题意可得：①，解得或，时，甲、乙之间的距离不超过30米；当时，解得时，甲、乙之间的距离不超过30米；综上所述，当甲、乙之间的距离不超过30米时，的取值范围是或．21.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点．（1）求一次函数的解析式；（2）在x轴上寻找点P，使得为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标；（3）在直线AB上寻找点Q，使得，求点Q的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为；（2）点P的坐标为或或或；（3）点Q的坐标为或．【解析】【分析】（1）可先求得C点坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的表达式；

（2）可设P（x，0），则可表示出CP、OP和OC，分CP=OP、CP=OC和OP=OC三种情况，分别得到关于x的方程，可求得P点的坐标；

（3）可设出Q点的坐标，从而可表示出CQ的长，由三角形的面积可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点的坐标．【详解】(1)∵正比例函数的图象过点，∴，∴点C的坐标为．设直线AB的解析式为，把A，C两点的坐标代入可得，解得，∴一次函数的解析式为．(2)设P点坐标为，C点坐标为，∴，，．∵为等腰三角形，∴有，和三种情况：①当时，即，解得：，此时点P坐标为；②当时，即，解得：(舍去)或，此时点P的坐标为；③当时，即，解得或，此时点P的坐标为或．综上所述，点P的坐标为或或或．(3)∵点Q在直线AB上，∴设点Q的坐标为．∵点C的坐标为，∴．∵在中，令可得，∴点B的坐标为，∴，∴，且．如图，过点O作于点D，∴，即，解得：，．,∴，解得或．当时，，当时，．故点Q的坐标为或．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、勾股定理、等腰三角形