2026年深圳中考数学拔尖培优特训试卷（附答案可下载）

2026年深圳中考数学拔尖培优特训试卷（附答案可下载）考试时间：90分钟满分：120分（核心目标：聚焦2026年深圳中考数学压轴模块与拔高考点，以“突破难点、强化策略、提升素养”为导向，设计具有综合性、思辨性、创新性的培优试题，精准对接中考拔尖题型，助力优等生夯实解题功底、拓展思维边界，冲刺高分甚至满分）培优设计说明：试卷严格遵循深圳中考培优导向，基础题（40%）侧重核心知识点的深度应用，规避常规易错点；中档题（40%）聚焦跨模块融合，强化分类讨论、数形结合等解题思想；压轴题（20%）深度挖掘函数综合、动态几何、几何存在性等难点，侧重创新思维与逻辑推理，每道题均配套培优思路解析，实现“以题悟法、以练拔高”的特训目标。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。基础拔高，规避易错，强化本质）1.下列说法正确的是（）A.√8与√2是同类二次根式B.无理数是无限小数C.3.1415926是无理数D.³√(-8)是无理数2.若(x+2)(x²+ax+b)的展开式中不含x²项和x项，则a、b的值分别为（）A.a=2，b=4B.a=-2，b=4C.a=2，b=-4D.a=-2，b=-43.已知点P(m,n)在反比例函数y=6/x的图象上，且m、n为正整数，则符合条件的点P共有（）A.2个B.3个C.4个D.无数个4.关于x的一元二次方程(k-1)x²+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<3/2B.k<3/2且k≠1C.k≤3/2且k≠1D.k>3/25.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE、BD交于点F，若AB=4，则△AFD的面积为（）A.8/3B.16/3C.4D.66.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(1,2)，且y随x的增大而减小，则下列说法正确的是（）A.k+b=2B.当x>1时，y>2C.图象必过第二象限D.若b=3，则k=17.如图，⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为（）A.1B.7C.1或7D.无法确定8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=3/4，AC=8，则△ABC的周长为（）A.24B.30C.40D.489.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②b²-4ac>0；③2a+b=0；④a+b+c<0，其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P是AB上一动点，连接CP，过点P作PD⊥CP交BC于点D，则BD的最大值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。融合创新，侧重思维，突破瓶颈）11.因式分解：(x²+4)²-16x²=____________；计算：(√3-2)²⁰²⁵·(√3+2)²⁰²⁶=____________。12.若关于x的方程x²-2mx+m²-1=0的两个根分别在区间(-1,0)和(1,2)内，则m的取值范围是____________。13.如图，在△ABC中，DE∥BC，BE平分∠ABC，若AD=2，DE=3，则BC的长为____________。14.一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，随机摸出2个球，恰好摸到1个红球1个白球的概率为____________；若摸到红球得2分，摸到白球得1分，随机摸出2个球，得分之和为3分的概率为____________。15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠BAC=120°，⊙O的半径为2，则BC的长为____________，阴影部分（弓形BC）的面积为____________。三、解答题（本大题共7小题，共75分。压轴突破，强化策略，提升素养）16.（8分）（1）计算：(-1/2)⁻²+√24-|√6-3|-2sin60°；（2）先化简，再求值：[(x²-4)/(x²-4x+4)-2/(x-2)]÷(x+2)/(x-2)，其中x=√3+2。17.（10分）（1）解关于x的一元二次方程：mx²-(3m+2)x+2m+2=0（m≠0）；（2）解不等式组：{x-3(x-2)≥4，(2x-1)/5<(x+1)/2}，并写出所有整数解。18.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE。（1）求证：AE=CE；（2）若AB=5，AD=8，AC=6，求CE的长；（3）在（2）的条件下，求△CDE的面积。19.（10分）如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=k/x（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，其中点A的横坐标为1。（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P是反比例函数图象上一点，且△PCD的面积与△ACD的面积相等，求点P的坐标；（3）连接OA、OB，求△AOB的面积。20.（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，连接AB、OP交于点C，延长BO交PA的延长线于点D。（1）求证：OP垂直平分AB；（2）若⊙O的半径为3，PD=4，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求tan∠D的value。21.（12分）某科技公司销售一款智能设备，进价为每台400元，售价为每台x元，每月的销售量y（台）与售价x（元）之间满足函数关系y=-10x+10000。（1）求每月的利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式；（2）若该公司每月的固定成本为10000元，且售价不低于500元且不高于700元，求每月的最大利润与最小利润；（3）为提升品牌影响力，公司决定每月投入m元（m>0）进行广告宣传，此时每月的销售量可增加2m台，若想每月仍获得300000元的利润，求m的取值范围。22.（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F。（1）求点A、B、C的坐标及直线BC的解析式；（2）当点P在第一象限抛物线上时，求线段PF的最大值及此时点P的坐标；（3）是否存在点P，使△PCF为等腰直角三角形，且直角顶点为C？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接AC，求tan∠ACB的值。参考答案与培优思路解析（聚焦解题策略，突破思维瓶颈）一、选择题（每小题3分，共30分）1.A解析：√8=2√2，与√2是同类二次根式；B项无限小数包含无限循环小数（有理数），表述不严谨；C是有限小数（有理数）；D化简为-2（有理数）。（培优思路：紧扣无理数、同类二次根式本质，规避“无限小数即无理数”的易错认知）2.B解析：展开式为x³+(a+2)x²+(b+2a)x+2b，由题意得a+2=0、b+2a=0，解得a=-2、b=4。（培优思路：利用多项式乘法法则展开，结合“不含某一项则系数为0”构建方程组，强化代数运算精准度）3.C解析：mn=6，正整数解为(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)，共4个点。（培优思路：结合反比例函数k值特性，枚举正整数解，强化数形结合意识）4.B解析：Δ=(2k)²-4(k-1)(k+3)=-8k+12>0，解得k<3/2；二次项系数k-1≠0，故k≠1。（培优思路：兼顾根的判别式与一元二次方程定义，规避“忽略二次项系数不为0”的高频易错点）5.B解析：AD∥BC，△AFD∽△EFB，相似比为AD:BE=2:1；S△ABD=1/2×4×4=8，S△AFD=2/3S△ABD=16/3。（培优思路：利用正方形性质构建相似三角形，通过面积比例求解，强化几何面积转化技巧）6.A解析：代入(1,2)得k+b=2；B项y随x增大而减小，x>1时y<2；C项k<0、b不确定，可能过第三、四象限；D项b=3时k=-1。（培优思路：紧扣一次函数图象与性质，逐一验证选项，强化逻辑推理能力）7.C解析：过O作OE⊥AB、OF⊥CD，OE=4、OF=3；AB与CD在圆心同侧时距离为4-3=1，异侧时为4+3=7。（培优思路：分类讨论弦与圆心的位置关系，避免漏解，强化分类讨论思想）8.A解析：tanA=BC/AC=3/4，AC=8则BC=6，AB=10，周长=8+6+10=24。（培优思路：结合三角函数定义与勾股定理，快速求解直角三角形边长，强化边角转化能力）9.C解析：由图象得a<0、b>0、c>0，abc<0（①错误）；与x轴有两个交点，Δ>0（②正确）；对称轴x=1=-b/(2a)，2a+b=0（③正确）；x=1时y>0（a+b+c>0，④错误），正确个数为2个。（培优思路：利用二次函数图象特征，结合对称轴、判别式等性质推理，强化数形结合能力）10.B解析：以C为原点构建坐标系，设P(t,4-t)，D(4,s)，由CP⊥PD得t(4-t)+(4-t)(s-4)=0，化简得s=4-t，BD=4-s=t，t最大值为2（当P为AB中点时）。（培优思路：构建平面直角坐标系，利用坐标法转化垂直关系，强化代数几何融合技巧）二、填空题（每小题3分，共15分）11.(x+2)²(x-2)²；-√3-2解析：用平方差公式因式分解，再用完全平方公式；原式=[(√3-2)(√3+2)]²⁰²⁵·(√3+2)=(-1)²⁰²⁵·(√3+2)=-√3-2。（培优思路：巧用因式分解公式与积的乘方逆运算，简化运算过程，强化技巧性运算能力）0<m<1解析：设f(x)=x²-2mx+m²-1，由题意得f(-1)>0、f(0)<0、f(1)<0、f(2)>0，解得0<m<1。（培优思路：利用二次函数图象与区间根的关系，构建不等式组，强化数形结合与逻辑推理）6解析：DE∥BC，∠DEB=∠EBC，BE平分∠ABC则∠ABE=∠EBC，故DB=DE=3，AB=AD+DB=5；△ADE∽△ABC，相似比=AD:AB=2:5，BC=3×(5/2)=7.5？修正：AB=AD+DB=2+3=5，相似比2:5，BC=3÷(2/5)=7.5，修正为DE=3，DB=DE=3，AB=5，BC=7.5（或15/2）。（培优思路：结合平行线性质与角平分线定义得等腰三角形，再用相似三角形求解，强化几何性质综合应用）3/5；3/5解析：总情况数C(5,2)=10，1红1白情况数3×2=6，概率=6/10=3/5；得分之和为3分即1红1白，概率相同为3/5。（培优思路：区分“得分之和”与“球的颜色组合”的对应关系，强化概率计算与逻辑关联能力）2√3；(4π/3)-√3解析：连接OB、OC，△OAB≌△OAC，∠BOC=120°，BC=2×2×sin60°=2√3；扇形面积=120π×2²/360=4π/3，△BOC面积=√3，弓形面积=4π/3-√3。（培优思路：利用圆周角与圆心角关系、扇形面积公式，强化几何面积转化与计算能力）三、解答题（共75分，培优思路解析）16.（8分）（1）解：原式=4+2√6-(3-√6)-2×(√3/2)（2分）=4+2√6-3+√6-√3（1分）=1+3√6-√3（1分）。（培优思路：熟练掌握负整数指数幂、根式化简、特殊角三角函数值，规范绝对值化简步骤，提升精准运算能力）（2）解：原式=[(x+2)(x-2)/(x-2)²-2/(x-2)]×(x-2)/(x+2)（2分）=[(x+2)/(x-2)-2/(x-2)]×(x-2)/(x+2)=x/(x-2)×(x-2)/(x+2)=x/(x+2)（1分）；当x=√3+2时，原式=(√3+2)/(√3+4)=(√3+2)(4-√3)/[(√3+4)(4-√3)]=(4√3-3+8-2√3)/13=(2√3+5)/13（1分）。（培优思路：强化分式化简的因式分解、通分技巧，结合无理数分母有理化，提升代数运算综合能力）17.（10分）（1）解：因式分解得(x-1)(mx-2m-2)=0（3分），解得x₁=1，x₂=(2m+2)/m=2+2/m（2分）。（培优思路：针对含参数一元二次方程，采用因式分解法求解，规避求根公式的繁琐运算，强化参数处理能力）（2）解：解不等式x-3(x-2)≥4，得x≤1（2分）；解不等式2(2x-1)<5(x+1)，得x>-7（2分）；解集为-7<x≤1，整数解为-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1（1分）。（培优思路：规范不等式组求解步骤，注意去分母、去括号符号变化，强化整数解筛选能力）18.（10分）（1）证明：OE⊥AC，OA=OC，OE是AC的垂直平分线，故AE=CE（2分）。（2）解：设CE=AE=x，则DE=8-x，OC=3，在Rt△CDE中，CD=AB=5，由勾股定理得x²=3²+(8-x)²，解得x=73/16（4分）。（3）解：S△ACD=1/2×6×4=12，S△CDE=S△ACD-S△ACE=12-1/2×6×(4)=12-12=0？修正：过C作CF⊥AD于F，CF=4，S△CDE=1/2×(8-73/16)×4=(55/16)×2=55/8（4分）。（培优思路：利用垂直平分线性质得等腰三角形，结合勾股定理求解边长，通过面积转化计算，强化几何性质综合应用与辅助线构建能力）19.（10分）（1）解：A(1,3)，代入反比例函数得k=3，解析式y=3/x；联立方程得-x+4=3/x，解得B(3,1)（3分）。（2）解：C(4,0)，D(0,4)，S△ACD=1/2×4×3=6；设P(x,3/x)，S△PCD=1/2×√(4²+4²)×|x+3/x-4|/√2=6，解得x=1（舍去）或x=3（舍去）或x=(3±√3)/2，P((3+√3)/2,2√3-2)、((3-√3)/2,-2√3-2)（4分）。（3）解：S△AOB=S△COD-S△AOD-S△BOC=1/2×4×4-1/2×4×1-1/2×4×1=8-2-2=4（3分）。（培优思路：联立函数解析式求交点，利用面积公式与数形结合思想求解，强化函数与几何面积融合能力）20.（10分）（1）证明：PA=PB，OA=OB，OP是AB的垂直平分线（2分）。（2）解：设AD=x，OD=√(AD²+OA²)=√(x²+9)，由△DAB∽△DPO，得AD/PD=OA/OP，OP=√(PD²-OD²)？修正：PA=PD-AD=4-x，由切线长定理PA=PB，OP⊥AB，△OAP∽△ODA，得OA/OD=AD/OA，即3/OD=x/3，OD=9/x，OD=√(OA²+AD²)=√(9+x²)，9/x=√(9+x²)，解得x=(3√3)/3=√3（4分）。（3）解：tan∠D=OA/AD=3/√3=√3（4分）。（培优思路：利用切线性质、相似三角形判定与性质，强化几何推理与边角转化能力）21.（12分）（1）解：w=(x-400)(-10x+10000)=-10x²+1