2023年高一上学期数学知识点总结含答案

高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1.集合元素具有拟定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，特别要注意元素的互异性，如（1）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_____个（答：7）2.碰届时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘掉的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，，且，则实数＝______.（答：）3.对于具有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足集合M有______个。（答：7）4.集合的运算性质：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.如设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.（答：，）5.研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如设集合，集合N＝，则__（答：）；6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合自身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。如已知关于的不等式的解集为，若且求实数的取值范围。（答：）7.四种命题及其互相关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若则”；逆否命题为“若则”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个具有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否认”：否命题要对命题的条件和结论都否认，而命题的否认仅对命题的结论否认；（4）对于条件或结论是不等关系或否认式的命题，一般运用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根。8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充足条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充足条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如设命题p：；命题q:。若是的必要而不充足的条件，则实数a的取值范围是（答：）二、不等式1.不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。其中对的的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）（2）已知，，则的取值范围是______（答：）（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过度解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）运用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如设，，，试比较的大小（答：）3.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等环节化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______（答：）4.一元二次不等式的解集（联系图象）。特别当和时的解集你会对的表达吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）5.对于方程有实数解的问题。一方面要讨论最高次项系数是否为0，另一方面若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中具有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)6.一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？（、、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先运用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．如在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。（答：）7.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（1）不等式的解集是，则=__________（答：）；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________（答：）；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______（答：）。8.简朴的一元高次不等式的解法：标根法：其环节是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如：（1）解不等式。（答：）（2）不等式的解集是____（答：）（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：）（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是.（答：）9.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思绪是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如：（1）解不等式（答：）（2）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（答：）10.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）（2）运用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式（答：）（4）两边平方：如若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围。（答：）11.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.（见4中例题）12.含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有.如设，实数满足，求证：13.运用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如：（1）下列命题中对的的是A.的最小值是2B.的最小值是2C.的最大值是D.的最小值是（2）若，则的最小值是______（答：）（3）正数满足，则的最小值为______（答：）14.常用不等式有：（1）(当且仅当时，取等号)，根据目的不等式左右的结构选用；（2），（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。假如正数、满足，则的取值范围是_________（答：）15.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的环节是：作差（商）后通过度解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。常用的放缩技巧有：如（1）已知，求证：；(2)已知，求证：；（3）已知，且，求证：；(4)若，求证：；(5)已知，求证：；16.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规解决方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特性，运用数形结合法）（1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围（2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围（3）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（2）能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围____（3）恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.三、函数1.函数的定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点也许没有，也也许有任意个。如（1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有个（答：0或1）；（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝（答：2）2.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和相应法则。而值域可由定义域和相应法则唯一拟定，因此当两个函数的定义域和相应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）3.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式规定如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数的定义域是____(答：)；（2）若函数的定义域为R，则_______(答：)；（3）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________(答：)；（2）根据实际问题的规定拟定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相称于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）．4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（答：[4,8]）；（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；特别说明：二次函数在区间上最值的求法，一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。假如是选择、填空可以不久写答案:先看看是否在内，假如在的话，算三个数,三数中谁最大谁就是最大值，谁最小谁就是最小值。假如不在的话，只要算两个数，大的就最大值，小的就最小值。（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简朴易求值域的函数，其函数特性是函数解析式具有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以运用已学过函数的有界性，来拟定所求函数的值域，（4）单调性法――运用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求的值域为______（答：）；（5）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再运用均值不等式：①型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）②型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：）③型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为R，值域为，求常数的值（答：）④型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）（6）不等式法――运用基本不等式求函数的最值，其题型特性解析式是和式时规定积为定值，解析式是积时规定和为定值，但是有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按规定写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？5.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表达相应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定一方面要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是__________（答：）；（2）已知，则不等式的解集是________（答：）6.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式。（答：）（2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如（1）若，则函数=_____（答：）；（2）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。（3）方程的思想――已知条件是具有及此外一个函数的等式，可抓住等式的特性对等式的进行赋值，从而得到关于及此外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+=,则=__（答：）。7.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特性：定义域必须关于原点对称！为此拟定函数的奇偶性时，务必先鉴定函数定义域是否关于原点对称。（2）拟定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：如判断函数的奇偶性____（答：奇函数）。②运用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性___.（答：偶函数）③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②假如奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若为偶函数，则.④若奇函数定义域中具有0，则必有.故是为奇函数的既不充足也不必要条件。如若为奇函数，则实数＝____（答：1）.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表达成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数，，。①判断与的奇偶性；②若将函数，表达成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____（答：①为偶函数，为奇函数；②＝）⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.8.函数的单调性。（1）拟定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.（例如函数递增区间；单调递减区间是）如（1）若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如求函数的单调递增区间；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应当用区间表达，不能用集合或不等式表达．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）9.常见的图象变换①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像由的图像向左平移1个单位得到，则为__________(答：)②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如（1）若，则函数的最小值为____(答：2)；（2）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；特别提醒：上面两种是左右平移，可以间记为“左加右减”③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象假如与原图象关于直线对称,那么(答：C)特别提醒：上面两种是上下平移，可以间记为“上加下减”10.函数的对称性。①满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；⑤形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零拟定)和直线(由分子、分母中的系数拟定)，对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）⑥的图象先保存本来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保存在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称（答：轴）提醒：（1）