2025-2026学年山西省太原市阳曲县龙城双语中学九年级（上）期末数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages33页2025-2026学年山西省太原市阳曲县龙城双语中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.平面直角坐标系内一点P（-2，5）关于原点对称的点的坐标是（）A.（5，2） B.（-2，-5） C.（2，-5） D.（2，5）2.若一元二次方程x2+5x+m=0没有实数根，则m的值可以是（）A.4 B.5 C.6 D.73.已知二次函数y=-3（x-1）2-3，下列说法正确的是（）A.抛物线的对称轴为直线x=-1 B.抛物线的顶点坐标为（1，3）

C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-34.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于4，则k的值等于（）A.8

B.-8

C.4

D.-45.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（）A.

B.

C.

D.6.司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A～H代表八个方位，如图，BH与DG交于点P，则点P位于点D的（）A.南偏西75°方向 B.北偏东75°方向 C.南偏西67.5°方向 D.北偏东67.5°方向二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.设x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两个根，则x1+x2-x1x2=

.8.抛物线y=-（x+3）2+7与y轴的交点坐标是

.9.如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦AB的长为8cm,弧AB液体的深度CD=2cm,则球的半径为

cm.10.圆锥的底面半径为3cm,侧面积为12πcm2，则这个圆锥的母线长为______cm.11.如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm,为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可估计黑色部分的面积为

cm2.

12.已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为

.

三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题6分)

解下列方程：

（1）（2x-5）2=16；

（2）x（x+6）=-5（x+6）.14.(本小题6分)

为了振兴乡村经济，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品.八月份销售蜂蜜400瓶，九、十两月这种蜂蜜销售量持续增加，十月份的销售量达到576瓶.

（1）设九、十两月的销售量的月平均增长率x,九月份销售量为______，十月份销售量为______；（均用含x的式子表示）

（2）列方程求九、十两个月的销售量月平均增长率.15.(本小题6分)

如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.

（1）求证：AE=BD；

（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.16.(本小题6分)

为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．17.(本小题6分)

如图，在3×3的网格中，线段AB的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图.

（1）在图1中作点Q，使得AQ=BQ；

（2）在图2线段AB上作点P，使得AP：BP=2：1.18.(本小题8分)

笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知波长λ与频率f之间存在一定的关系，下面是它们的部分对应值：频率f/MHz101550波长λ/m30206（1）用式子表示波长λ与频率的关系，这两个量成什么比例关系？

（2）当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ.19.(本小题8分)

如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB=BC，∠DAC=30°，延长AC到E使得CE=CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G.

（1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若AO=2，求△FGD的周长.20.(本小题8分)

如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，.

（1）求证：DF∥BE；

（2）如果AF=3，EF=6，S△ADF=4.求△ABC的面积.21.(本小题9分)

综合与实践

近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境.图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米.

（1）求该抛物线的函数解析式.

（2）现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米.请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方.

（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在AB中点处取点D，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD，直接写出第二段钢架CD的长.22.(本小题9分)

如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D

（1）如图①，求证：∠B=∠C；

（2）如图②，点E在弧AC上，连接AE，CE，，求证：∠CAE=2∠ACE；

（3）如图②，在（2）的条件下，若AE=5，AB=13，求E到AC的距离.23.(本小题12分)

【问题背景】

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是BD上一点，连接CE，F为射线AB上一点（不与射线端点A重合），且∠AFE=∠BCE．求证：CE=EF且CE⊥EF；

【类比探究】

（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变，若BC=4，CD=3．探究线段CE与EF之间的关系，并说明理由；

【拓展延伸】

（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥BD交BC于点H，延长FE交AD边于点G，若△CDE是等腰三角形，直接写出的值．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】7

8.【答案】（0，-2）

9.【答案】5

10.【答案】4

11.【答案】65

12.【答案】5或或

13.【答案】，

x1=-6，x2=-5

14.【答案】400（1+x），400（1+x）2；

20%．

15.【答案】（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE=BD．

（2）连接DE，

由（1）的结论知AE=BD，

∵BD=5，

∴AE=5，

由旋转可知∠DCE=60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠CDE=60°，

∵∠ADC=30°

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，

在Rt△ADE中，，

∵△CDE是等边三角形，

∴CD=DE=4

16.【答案】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：

由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有6种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，

∴三袋垃圾都投对的概率为．

17.【答案】解：（1）如图1，点Q'，Q''均满足题意．

（2）如图2，取格点M，N，使AN：BM=2：1，且AN∥BM，连接MN，交AB于点P，

则△APN∽△BPM，

可得AP：BP=AN：BM=2：1，

则点P即为所求．

18.【答案】fλ=300，这两个量成反比例关系；

此电磁波的波长λ为4m

19.【答案】（1）证明：如图，连接OD，

∵OC=OD，∠OCD=60°，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=90°，

又∵OD是半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=BC，AO=CO，

∴BO⊥AC，

∴∠AOG=∠EOF=90°，

∵∠DAC=∠E=30°，

∴∠AGO=∠F=60°，

∴∠F=∠FGD=60°，

∴△FGD是等边三角形，

∴FD=DG=FG，

∵AO=2，∠DAC=30°，∠ADC=∠AOG=90°，

∴AC=4，DC=AC=2，AD=DC=2，AG=2OG，AO=OG，

∴OG=，AG=，

∴DG=，

∴△FGD的周长=3×DG=2．

20.【答案】∵，

∴，

∴，即；∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ADF∽△ABE，

∴∠ADF=∠ABE，

∴DF∥BE

108

21.【答案】（1）

（2）不可以；设点P（x，2.36），

，

解得x1=1.2，x2=10.8，

∴1.2+5＞6，

所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方

（3）

22.【答案】∵AO延长交BC于点D，AD⊥BC于点D，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C

如图②，点E在弧AC上，，连接BE，设∠ACE=α，则∠ACB=3α，

∴∠ABC=∠ACB=3α，

∵∠ABE=∠ACE=α，

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=3α-α=2α，

∴∠CAE=∠CBE=2α=2∠ACE

3

23.【答案】（1）证明：如下图，过点E作EH⊥BC于点H，作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠CBE=45°，

∴EQ=EH，

在△FQE和△CHE中，

，

∴△FQE≌△CHE（AAS），

∴EF=EC，∠QEF=∠CEH，

∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90°，

∴CE⊥EF；

（2）解：EF：EC=4：3且CE⊥EF，理由如下：

如图，过点E作EH⊥BC于点H，作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，∠BCD=90°，

∴四边形BHEQ为矩形，

∴∠QEH=90°，QE=BH，

∵∠FQE=∠CHE=90°，∠AFE=∠BCE，

∴△QEF∽△HEC，

∴∠QEF=∠HEC，，

∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90°，

∴CE⊥EF，

∵EH∥CD，

∴，

∵CD=3，BC=4，

∴，

∴，

∴EF：EC=4：3；

（3）解：若△CDE是等腰三角形，则分以下三种情况：

①当CD=DE=3时，

∵BD===5，

∴BE=BD-DE=5-3=2，

∵EH⊥BD，

∴∠BEH=∠CEF=90°，

∴∠BEF=∠CEH，

∵∠AFE=∠BCE，

∴△BEF∽△HEC，

∴，

∴EH===，

∴BH===，

∴CH=BC-BH=4-=，

∴BF===2，

设BC与FG交于点M，

∵BC∥AD，AB=CD=3，AD=BC=4，

∴，，

∴，

∴GD=AD=×4=，

∴CG===，

∴；

②当CE=CD=3时，过点C作CP⊥BD于点P，

∴DP=EP，

∵sin∠BDC==，

∴，

∴CP=，

∴DP=EP==，

∴BE=BD-DP-EP=5--=，

同①可得，

∴EH===，

∴BP==，

∴CP=4-=，

∴BF===3，=，

∴=，

∴DG==，

∴CG==，

∴=