2025-2026学年河北省石家庄市第四十中学九年级上册第二阶考试数学试卷 附答案

/河北省石家庄市第四十中学2025−2026学年九年级上学期第二阶考试数学试卷一、单选题1．若是一元二次方程的根，则代数式的值是（

）A．6 B． C．3 D．2．若α为锐角，且，则（

）A． B． C． D．3．某班为了解学生“上海一日游”出行的交通方式情况，对学生进行问卷调查，学生只选择一种交通方式作为出行方式，把调查结果分为“私家车”、“出租车”、“公交车”、“轨道交通”四类，绘制成如图所示的不完整的条形统计图．如果选择“公交车”出行的学生数是全部学生数的，那么选择“私家车”出行的学生人数是该班学生人数的（

）A． B． C． D．4．如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（

）A． B．C． D．5．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（）A．x2+2x﹣3=0 B．﹣2x2﹣4x+6=0C．3x2﹣6x﹣9=0 D．x2﹣2x+3=06．若点M是等腰的底边的中点，则点M与以为直径的圆的位置关系是（

）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定7．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（

）A． B．2cm C． D．3cm8．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．9．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（

）A．甲与丙 B．甲与乙C．乙与丙 D．三个矩形都不相似10．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（

）A． B． C． D．11．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定12．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（

）甲：；乙：；丙：的外接圆半径为4A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙二、填空题13．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是．14．若点、、都在二次函数图象上，则．（用“<”号表示、、的关系）15．如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为．16．如图，线段，，，的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是．三、解答题17．解方程时，小海同学解答如下：解：原方程中，，，．第一步．第二步，第三步即或．第四步所以，原方程的根是，．第五步（1）上述解题过程从第_____步开始出现错误？（2）请写出完整的正确解题过程．18．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中部：．高中部：．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：平均数中位数众数方差初中部8ab0.8高中部88.591.8根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：_______，_______．（2）求m的值．（3）综合表中数据，你认为是初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致还是高中部的学生？请说明理由．（4）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”．已知该中学初中部有800名学生，高中部有600学生，请估计该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”．19．☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．（1）图（2）中，．（2）靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（3），杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)．①°；②求乘客水杯的最大高度．(参考数据：)20．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E．（1）求证：点D为的中点；（2）若，求．21．如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，，斜边与反比例函数，交于点．（1）求、的值；（2）若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标．22．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）求出的面积．（3）当时，的取值范围是_______；（4）若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______．23．苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：“在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？”课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．（1）请你计算出上述方案中绿地的宽；（2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答）24．物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线为水平桌面，线段为支架，虚线为铅锤P的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题．（1）若点到和的距离相等，则称此时点P的位置为“黄金位置”．过点P作的切线交于点D，如图（2），若，证明此时点P处于“黄金位置”．（2）已知，，在射线上有一点E，且，连接，如图（3），在点P运动的过程中，当与相切时，求点P到的距离．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，利用整体的思想代入计算是解题的关键．先将代入方程得到，再将其整体代入计算即可．【详解】解：将代入方程得到，，，故选B．2．【正确答案】C【分析】根据α为锐角，且，得到，求即可.本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.【详解】解：∵α为锐角，且，∴，∴，故选C.3．【正确答案】C【分析】本题考查了条形统计图，理解题意，由统计图获得所需信息是解题关键．先求出总人数，然后计算出“私家车”的学生人数，除以总人数即可得解．【详解】解：全部学生数为（人），选择“私家车”出行的学生人数是该班学生人数的．故选C．4．【正确答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理判断即可．【详解】解：∵，若P点为圆心，则．故选C．5．【正确答案】C【分析】根据根与系数的关系逐个判断即可．【详解】解：A、∵3+（﹣1）=2≠﹣，∴方程x2+2x﹣3=0的两根不是3和﹣1，故本选项不符合题意；B、∵3+（﹣1）=2≠﹣，∴方程﹣2x2﹣4x+6=0的两根不是3和﹣1，故本选项不符合题意；C、∵3+（﹣1）=2=﹣，3×（﹣1）=﹣3=，∴方程3x2﹣6x﹣9=0的两根是3和﹣1，故本选项符合题意；D、∵3+（﹣1）=2≠﹣，3×（﹣1）=﹣3，∴方程x2﹣2x+3=0的两根不是3和﹣1，故本选项不符合题意；故选C．6．【正确答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和中位线定理，计算点M到圆心O的距离，与半径比较即可判断位置关系．【详解】解∶连接，设O为的中点，则的半径．∵是等腰三角形，，且M是的中点，∴（三线合一）．∵O是的中点，M是的中点，∴是的中位线，∴，且．∵，∴．∴点M到圆心O的距离等于半径，∴点M在上，故选B．7．【正确答案】A【分析】根据图示可知装满了液体的高脚杯中的液体可以看作是三角形（图示见详解），用去部分液体后剩下的液体看作是三角形，因为容器一样，则对应边相等，根据平行线分线段成比例，三角形相似的性质即可求解．【详解】解：如图所示，，，，根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点，∴根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，垂直平分，在，中，，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即液面距离杯口的距离h，故选．8．【正确答案】C【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出．【详解】解：由网格可知：，，，∴，∵，∴∴，故选C9．【正确答案】A【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3，∴甲和丙相似，故选A．10．【正确答案】B【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案．【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为，∵最高车速为，∴在最高车速下的行驶时间，同理可得，在最低车速下的行驶时间为，∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间．，∴选项符合题意．故选B．11．【正确答案】A【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解，掌握扇形的面积计算方法是解题的关键．【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，则，，∵，，∴，故选．12．【正确答案】B【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键．根据题意画出图形，使，，点在射线上，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的长，再由和的长作比较即可判断甲乙；由和的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙．【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点，，，不存在的，故甲不符合题意；，，，而，存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意；，，当的外接圆半径为4时，如图，，，，，存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意；综上所述，只有乙符合题意．故选B．13．【正确答案】【分析】本题考查了已知反比例函数图象的分布，求参数范围．根据反比例函数的图象经过二、四象限，则，即可求解．【详解】解：根据题意得，解得．14．【正确答案】【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先通过计算二次函数在各点的函数值，再比较大小关系，从而得出结论．【详解】解：对于二次函数，当时，；当时，；当时，．比较得，即．15．【正确答案】/【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，其他问题（解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离．【详解】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于．由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为，∴．对于的光线：根据反射定律，入射角等于反射角，∴是等腰直角三角形（），在中，，即，解得：．又∵垂直平分（反射对称性），∴，对于的光线：在中，，即，∴，同理，垂直平分，∴．∴．16．【正确答案】【分析】根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式，分别求了各部分的长，再相加即可．【详解】解：如图所示，图中的圆与、、都相切，连接结相关线段，图中的圆都是等圆，∴，，∴，，是等边三角形，∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，，∴，，，∵，，∴，∴的长为∵，∴，∵、是的切线，∴，在与中，∴，∴，，在中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴，，∴，∴圆心O经过的路径长是：．17．【正确答案】（1）一（2）见详解【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键；（1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断；（2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可．【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，∴上述解题过程从第一步开始出现错误.（2）解：原方程可变形为：，方程中，，，，，∴，∴方程的解为,．18．【正确答案】（1），（2）（3）初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见详解（4）估计该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据众数、中位数的定义求解即可；（2）根据高中部平均数即可求解；（3）根据方差的意义求解即可；（4）用初中部和高中部的学生数分别乘以样本中8分及以上人数所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答．【详解】（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数，打分出现次数最多的是8，则众数；（2）解：高中部打分的平均分为8分，则，即，∴；（3）解：初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下：∵，∴初中部的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于高中部的学生对“校园餐”的满意度的打分，∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致；（4）解：根据题意：（人）（人）∵，∴估计该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．19．【正确答案】（1）125（2）①55；②【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识．（1）过点B作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出．（2）①根据题意可知代入计算即可．②过点E作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案．【详解】（1）解：过点B作，∴，∵，∴，∴（2）解：①当靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，由（1）知，∴.②如图，过点E作的垂线交于点F，在中，．答：乘客水杯的最大高度约为．20．【正确答案】（1）见详解（2）2【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键．（1）由垂径定理可得，据此可证明结论；（2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，即点D为的中点；（2）解：∵是的直径，，∴，∴，∵是的直径，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．21．【正确答案】（1），（2）【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先求出直线的解析式，可得到n的值，进而得到k的值；（2）设点，则点，点，根据，关于s的方程，即可求解．【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，，∴，，∴点，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，把点代入得：，∴点，把点代入，得：；（2）解：设点，则点，点，∵，∴，解得：（舍去），∴，∴点的坐标为．22．【正确答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解；（2）先求出，再求得点到的距离为5，从而可求得的面积；（3）先得出抛物线的开口方向向下，最大值为5，再分别求出当、时的函数值，从而可确定的取值范围；（4）先得出平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1，从而可得平移后的二次函数的解析式．【详解】（1）解：∵，∴二次函数的顶点坐标是.（2）∵令，