2025-2026学年河北省张家口市宣化区2024−2025学年九年级上册期末考试数学试卷 （人教版） 附答案

/河北省张家口市宣化区2024−2025学年九年级上学期期末考试数学试题（人教版）一、单选题1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（

）A．手可摘星辰 B．黄河入海流 C．大漠孤烟直 D．鱼戏莲叶东2．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．34．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值可能为（

）A． B． C．1 D．25．下列关于二次函数的说法正确的是（

）A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（

）A． B．C． D．7．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（

）A．B．若点，在抛物线上，则C．D．对任意实数m，均成立9．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（

）A． B．C． D．10．如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是A．4 B． C． D．11．如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形．依此方式连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知点与点关于原点对称，则．14．已知，是关于x的方程的两个实数根，则．15．如图，是半圆的直径，，则的度数为．16．一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为个．17．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是．18．如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么扇形BAC的面积是．三、解答题19．解方程：．20．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．（2）y轴上有一点Q，使AQ+CQ的值最小，求点Q的坐标．21．我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________；（2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．22．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且．（1）求证：是的切线；（2）若A，，则的半径是__________．23．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为．（1）如图①，若，求的长；（2）如图②，若，求点的坐标．24．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，连接．（1）求此抛物线的解析式．（2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？

答案1．【正确答案】A【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意；B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意；C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意；D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意；故选A2．【正确答案】B【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选B．3．【正确答案】C【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为，∴，∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点，故选C．4．【正确答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键．根据一元二次方程的定义，得到，，即可得到答案．【详解】解：关于x的方程是一元二次方程，，，，故选B5．【正确答案】C【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项．【详解】解：∵二次函数中，，∴图象开口向上，故A错误；∵顶点形式为，其中，，∴顶点坐标为，故B错误；当时，，∴函数图象与y轴交于正半轴，故C正确；∵，开口向上，∴y有最小值，最小值为，故D错误．故选C．6．【正确答案】B【分析】本题考查三角形内心的定义，作图—基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．掌握三角形内心为三角形内角平分线的交点是解题关键．利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．故选B．7．【正确答案】D【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案．【详解】解：连接，如图：∵，∴，∵，∴，故选D．8．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解．【详解】解：抛物线与轴相交于点，，对称轴是直线．．．又图象可得，，，．，故A正确，不符合题意；抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又，，故B错误，符合题意；∵函数图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，故C正确，不符合题意；对称轴是直线，且抛物线开口向上，当时，取最小值为．对于任意的，当时，函数值．，故D正确，不符合题意；故选B．9．【正确答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：，故选D．10．【正确答案】D【分析】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出，再算出答案．点A经过的路线即以C为圆心，以的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得的长和的度数，从而求得，再根据弧长公式进行计算．【详解】解：在中，，，，∴，，∴，∴点A经过的路线的长度是＝，故选D．11．【正确答案】B【分析】如图，连接，证明，再根据阴影部分的面积即可求解．【详解】解：如图，连接，∵是圆的直径，∴，又∵，∴，∵是中点∴是的中位线，∴，，阴影部分的面积．故选B．12．【正确答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】∵四边形是正方形，且，，∵将正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，再依此方式连续旋转，，，，，，，，，，…故发现是次为一个循环，，∴刚好完成个循环，即点和相同，即坐标为，故选．13．【正确答案】【分析】由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案．【详解】解：点与点关于原点对称，14．【正确答案】【分析】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，，将其代入中即可求出结论．【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，∴，，∴.15．【正确答案】/125度【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补．根据题意得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可解答．【详解】解：∵是半圆的直径，∴，∵，∴，∴．16．【正确答案】12【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量．【详解】解：设白球有x个，则总球数为个．根据题意得：．，即，移项得，即，解得．检验：当时，分母，方程成立．故答案为12．17．【正确答案】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键．根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值．【详解】解：设窗框的长为，根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，即18．【正确答案】π【分析】利用垂径定理的内容得出BF=CF，进而得出AD与半径的关系，从而得出△ABC为等边三角形，利用扇形面积公式求出即可.【详解】做AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，做BD⊥AE，假设AE＝x，图象与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），∴OB＝DE＝1，AD＝x﹣1，∵AC＝AB，AF⊥BC，∴BF＝CF＝1，∴AD＝BF＝1＝x﹣1，解得：x＝2，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴扇形BAC的面积是：．19．【正确答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，先将方程进行整理，再根据因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．【详解】解：将方程整理可得：，∴，∴或，∴，．20．【正确答案】（1）见详解，A1（2，﹣2），B1（3，0），C1（1，1）；（2）Q（0，0）．【详解】试题分析：（1）根据直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标，纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形；（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C，A′C与y轴的交点即为点Q，求出直线A′C的解析式，令x=0即可得点Q坐标.试题解析：（1）如图，A1（2，﹣2），B1（3，0），C1（1，1）；（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C，A′C与y轴的交点即为点Q，设直线A′C的解析式为y=kx+b，根据A′（2，2），C（-1，-1），y=x，当x=0时，y=0，所以点Q的坐标为（0，0）.21．【正确答案】（1）；（2）见详解，（3）【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占比，即可得出答案；（2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案；（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案【详解】（1）解：本次被调查的学生有：（人），扇形统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为.（2）解：条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），补全条形统计图如图所示．（人）∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人.（3）解：画树状图如下：共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．22．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质．（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论；（2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可．【详解】（1）证明：过O点作于点E，∵与相切于点A，∴又∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴是的切线；（