2025-2026学年江苏省苏州市立达中学校九年级上册11月期中数学试卷 附答案

/江苏省苏州市立达中学校2025−2026学年九年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．（）A． B． C． D．2．把抛物线向上平移1个单位，所得抛物线为（）A． B． C． D．3．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（）A． B．0 C． D．34．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（）A． B． C． D．5．关于的二次函数的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（）A． B． C． D．7．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；其中正确的结论有（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②8．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（）A． B． C． D．二、填空题9．二次函数图象的顶点坐标是．10．比较大小：．（填“”，“”或“”）11．若点，是二次函数图象上的两点，则（填）．12．二次函数的最小值为．13．在中，，则锐角的度数为．14．如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C的仰角为，斜坡长10米，坡度，长12米，则古塔的高度为米．15．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为．16．如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为．三、解答题17．计算：．18．已知二次函数的顶点坐标为，且图象经过点．（1）求函数解析式；（2）求函数图象与轴交点坐标．19．已知在直角中，，，，求的大小和边的长度．20．如图，在中，，，，求边的长．21．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点．（1）求的值；（2）求点的坐标；（3）根据图象，直接写出当时的取值范围．22．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）如图所示，（1）求抛物线的解析式：（2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？23．2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）．（1）求的度数；（2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，）24．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接，求的面积；（3）线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标．25．新定义：若二次函数为（是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数．（1）写出的“关联”二次函数的表达式：___________．（2）若（）中的互为“关联”二次函数的两个图象与正比例函数的图象有且只有两个交点，求的值；（3）如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，点是的图象与轴正半轴的交点，连接，若点为，且为直角三角形，求点的坐标．26．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．（1）求点和点的坐标；（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求当取最大值时点的坐标．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：，故选B．2．【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：上加下减，左加右减即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．【详解】∵原抛物线为，向上平移1个单位，∴新抛物线为，故选A．3．【正确答案】D【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答．【详解】解：∵函数是关于的二次函数，∴，，∴，，解得，故选D．4．【正确答案】C【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，取格点，连接，由网格可得，，，，∵，∴是直角三角形，且，∴，故选．5．【正确答案】C【分析】本题考查二次函数图象与性质．根据抛物线与轴交点的个数分三种情况进行讨论即可．【详解】解：当时，，当时，即时，，∵，∴开口向上，∵对称轴为直线，∴对称轴直线在原点的右边，当时，，∴抛物线与轴的交点在原点的上方，∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限．当时，，当时，即或时，与轴没有交点，∵，∴开口向上，∵对称轴为直线，∴对称轴直线在原点的右边，当时，，∴抛物线与轴的交点在原点的上方，∴抛物线的图象过第一、二象限，不过第三象限．当时，，当时，即或时，与轴只有一个交点，∵，∴开口向上，∵对称轴为直线，∴对称轴直线在原点的右边，当时，，∴抛物线与轴的交点在原点的上方，∴抛物线的图象过第一、二象限且顶点在轴上，不过第三象限．综上可知，关于的二次函数的图象一定不经过第三象限．故选C．6．【正确答案】A【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴∴，故C选项错误；，故B选项错误；，故A选项正确；，故D选项错误；故选A．7．【正确答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而得出，，由二次函数的对称轴得出，即可判断①；由图象可得，抛物线与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，当时，，结合以及即可判断③；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，∴，，∵二次函数图象的对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确；由图象可得，抛物线与轴有两个交点，令，则，即此方程有两个不相等的实数根，∴，故②正确；由图象可得，当时，，∴，∵，∴，∵，∴，故③错误；综上所述，正确的有①②，故选D．8．【正确答案】B【分析】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离．【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，∵在图3中，，∴．过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的．∵点O是的中点，∴．∴，同理可知：图1液面的右端点是根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴，设这个抛物线的解析式为：，则由图1可知，抛物线经过点和点，∴解得：，∴抛物线的解析式是：．令，解得∴，，又∵，∴，∴在中，，解得：，∴，∴，设直线的解析式是：，∵直线经过点，，∴解得：，∴直线的解析式是：，将抛物线与直线的解析式联立得：，解得：或，∴，又∵，∴故选B．9．【正确答案】【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点式为：，其顶点坐标为，即可作答．【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是.10．【正确答案】【分析】本题考查了锐角三角形的性质，根据锐角三角函数的性质，正弦函数在到范围内是单调递增的，即可得解，熟练掌握锐角三角形函数的性质是解此题的关键．【详解】解：因为正弦函数在区间到上单调递增，且，所以.11．【正确答案】【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．【详解】解：，，对称轴为：，∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴.12．【正确答案】1【分析】本题考查了二次函数的最值问题．通过配方将二次函数化为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，从而确定函数的最小值，据此进行分析，即可作答．【详解】解：，∵中的二次项系数，∴函数的开口向上，顶点坐标为，∴二次函数的最小值为.13．【正确答案】80【分析】本题考查了正弦，熟练掌握特殊角的正弦值是解题关键．先判断出也是锐角，再根据可得，由此即可得．【详解】解：∵是锐角，∴也是锐角，由得：，∴，∴.14．【正确答案】26【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作，，由，可设，，结合，利用勾股定理可求得x的值，再根据等腰三角形的性质可得出，进一步即可得出．【详解】解：如图，过点A作于点E，过点A作，交延长线于点F，由，可设，，∵，∴，解得：（负值舍去），则，，∴，∵，∴∴，则.15．【正确答案】【分析】本题考查了几何变换，根据图与图的拼图结果得出线段间的相等关系，求得与，进而即可求解，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系．【详解】解：如图，∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角，∴线段线段，∴，由图可知，∴，，∴.16．【正确答案】【分析】本题考查等腰三角形的判定与相似三角形的应用，掌握通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例关系求解线段比值是解题的关键．通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和线段关系求出的值．【详解】解：如图所示，延长与的延长线相交于点F，，平分，则是等腰三角形，，，，，和是对顶角，，，则，设．．，，，则，，得，则．17．【正确答案】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式．18．【正确答案】（1）（2），【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．（）设二次函数的解析式为，将点代入求出，即得答案；（）令，得，求解方程得，即得函数图象与轴交点坐标．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将点代入得，解得，∴函数解析式为；（2）解：令，则，得，∴函数图象与轴交点坐标为．19．【正确答案】，4【分析】本题考查了解直角三角形，由特殊角的三角形函数值即可得出的大小，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图：∵在直角中，，，∴，∴．20．【正确答案】【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得，，进而可求解．【详解】解：如图，过A作于D，在中，，，∴，在中，，∴，∴．21．【正确答案】（1）（2）（3）或【分析】（）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；（）联立两函数解析式，求出方程组的解即可；（）根据函数图象解答即可；本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】（1）解：把代入二次函数，得，解得，，∴，把代入一次函数，得，∴；（2）解：∵，∴一次函数，由，解得或，∴点的坐标为；（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或．22．【正确答案】（1）抛物线的解析式为（2）最大水深减少了米【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键．（1）由图象可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解；（2）分别求出和时的函数值，再相减即可求解．【详解】（1）解：由图可知，抛物线的顶点坐标为，∴可设抛物线的解析式为，把代入，，解得：，∴抛物线的解析式为，（2）解：原水面宽度为米，减少为原来的一半后宽度为12米，当时，，当时，，∴水面下降的高度为米，即最大水深减少了米．23．【正确答案】（1）（2）在规定范围内，理由见详解【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，正确添加辅助线构造直角三角形是解此题的关键．（1）解直角三角形得出，再由同角的余角相等即可得解；（2）作于，则，由（1）可得：，解直角三角形得出，，从而即可得出此时手绢端点与舞者距离，结合题意判断即可．【详解】（1）解：由题意可得：，，∴,∴，∵与手臂保持垂直，∴，∴；（2）解：在规定范围内，理由如下：如图，作于，则，，由（1）可得：，∴，∵，，∴，∴此时手绢端点与舞者距离为，∵安全距离范围为，∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内．24．【正确答案】（1）（2）3（3）【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）求出，得到，，根据三角形面积公式即可求出答案；（3）求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．【详解】（1）解：二次函数的图象与y轴交于，与x轴交于点，∴解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：当时，，解得，∴，∵点，点、∴，，∴的面积；（3）解：，，如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，点沿轴向下平移个单位得到点，，，，抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，，四边形是平行四边形，，抛物线是轴对称图形，，，当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，，∴由平移的性质可得：点的纵坐标，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，在抛物线中，其对称轴为直线，要使的值最小，则点的坐标应满足，解得：，，25．【正确答案】（1）（2）或（3）或【分析】（）根据“关联”二次函数的定义即可求解；（）由“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象都关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，可得的图象与的图象只有一个交点，即得关于的方程有两个相等的实数根，据此解答即可求解；（）根据“关联”二次函数的对称性求得点坐标，再分和本题考查了二次函数的几何应用，二次函数与一元二次方程，直角三角形的定义及性质等，理解题意是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，的“关联”二次函数的表达式为.（2）解：由“关联”二次函数的定义可知，互为“