2025-2026学年重庆市大渡口区第九十四中学上册九年级数册中试卷 附答案

/重庆市大渡口区第九十四中学2025−2026学年上学期九年级数学期中试题一、单选题1．下列方程属于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．下列图形中是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（

）A．个 B．个 C．个 D．个4．下列说法中正确的是（

）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是正方形C．邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形5．若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（

）A．3 B． C．9 D．6．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（

）根．A．8080 B．6066 C．6061 D．60607．如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（

）A．1 B．2 C．4 D．88．新年将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（

）A． B．C． D．9．如图，正方形的边长是6，点是线段上一动点，过点作于点，连接，若，则的面积是（

）A． B． C．6 D．1810．已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法：①若，则；②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个；③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．一元二次方程的根是．12．如果，那么．13．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是．14．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为．15．如图，在菱形中，，，点E是的中点，连接交于点G，若点F是的中点，则的长为．16．若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“精善数”．设“精善数”，记，．若是15的整数倍，且是4的整数倍，则；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为．三、解答题17．解方程：（1）；（2）．18．在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程：（1）如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）（2）在（1）的条件下，求证：．证明：，，___________①，，，为底边的中点，___________②在和中（___________④）．19．先化简，再求值：，其中．20．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：（；；；），下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61．八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，81，82，85，87，88，89．年级平均数中位数众数方差七年级86八年级95八年级所抽取学生的成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中___________，___________，___________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共有学生2000人，如果七、八年级的学生全部参与问卷调查，请估计七、八年级共有多少名学生的问卷调查成绩不低于90分？21．某水果批发商场以每千克40元的价格购进一种高档水果，如果按每千克50元销售，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克的定价应为多少元？（2）在（1）的条件下，若商场购进该种水果5000千克，为了扩大销售，拿出一部分水果按定价的8折进行批发销售．商场在这批水果全部售出后，为了确保这批商品总的利润率不低于，则商场用于批发的水果最多为多少千克？22．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接、、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，，求的长．23．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止运动，时间为于点，设的长为．（1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围．24．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）．（1）求点D坐标；（2）若，请求出符合条件的在第一象限的点P的坐标；（3）点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．25．在中，为上一点，连接．（1）如图1，若，作交于，交于，，求的度数；（2）如图2，若，作交于，交于，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，求证：；（3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接为直线上一点，连接，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积．

答案1．【正确答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断，即可解答．【详解】解：A、，有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；B、，等号左边不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意；C、，是一元二次方程，故符合题意；D、，是一元一次方程，故不符合题意；故选C．2．【正确答案】B【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；B、该图形是轴对称图形，符合题意；C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；故选B．3．【正确答案】D【分析】本题考查利用频率估计概率．利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可．【详解】解：设袋子中黄球有个，根据题意，得：，解得：，即布袋中黄球可能有个．故选D．4．【正确答案】D【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的判定定理，解题的关键是熟练掌握这些特殊四边形的判定条件．根据矩形、正方形、菱形的判定定理，对每个选项进行分析判断．【详解】A、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，仅一个角是直角的四边形不一定是矩形，该选项错误；B、对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，该选项错误；C、邻边相等的平行四边形才是菱形，仅邻边相等的四边形不一定是菱形，该选项错误；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线再互相垂直的平行四边形是菱形，所以对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，该选项正确．故选D．5．【正确答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解．将代入方程，得到关于a和b的等式，简化后直接求解的值．【详解】解：∵是方程的解，∴，即，两边同时除以3：，∴．故选B．6．【正确答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．7．【正确答案】A【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】∵与位似，点O为位似中心，且，∴，∵的面积为16，∴的面积是1，故选A．8．【正确答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，弄清楚每一名学生要赠送张贺卡，总共有名学生，是解题的关键．九年级一班共有名学生，每一名学生都需要给剩下的名学生赠贺卡，因此共赠贺卡张，由题意可知，共赠贺卡张，即可列方程．【详解】解：根据题意得：每一名学生要赠送张贺卡，总共有名学生，所以全班共赠贺卡：．故答案选：C．9．【正确答案】A【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出的值．根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到和全等，然后即可得到和的关系，根据等腰三角形的性质可以得到和的关系，再根据勾股定理可以得到的值，然后即可计算出的面积．【详解】解：作于点，如图所示，

四边形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，即，解得，∴，故选A．10．【正确答案】C【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键．①由的结构分析的系数，判断是否成立；②根据到互不相等且次数相同，推导的唯一性；③枚举为二次三项式且为二次式时，恒正的情况，验证个数．【详解】解：①当时，由和两个项组成，即．只有对应的系数需满足（对应项）、（另一项）、（对应项）时．时，故①正确．②若到互不相等且与次数相同，则的次数．由于是正整数且互不相等，唯一可能的结构是为的排列，此时，唯一确定．故②正确．③为二次三项式，即且．为二次式要求．需恒正：时，，；时，，（恒正）；时，，．共3种情况，但题目称有2个，故③错误．综上，①和②正确，但③错误．故选C．11．【正确答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法求解一元二次方程即可．【详解】解：，，∴或，即，．12．【正确答案】【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴.13．【正确答案】【分析】本题考查了概率公式，根据从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，∴恰好选中《算学启蒙》的概率是.14．【正确答案】【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，求一元一次方程的解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．分、两种情况讨论，分别求得的取值范围．【详解】解：当时，原方程为，有实数根，符合题意；当时，原方程为一元二次方程，∵关于x的方程有实数根，∴，解得：，综上所述，的取值范围是.15．【正确答案】【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，连接，由菱形的性质得，，证明是等边三角形，求出，，，，证明，得到，由勾股定理可得出的长．【详解】解：连接，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴是等边三角形，，∵点E是的中点，∴，∴，，∴，∵点F为的中点，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴.16．【正确答案】5；8442【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，解题的关键是正确理解新定义．根据“精善数”的定义得到，则，且是15的整数倍，结合的取值范围为1到9，可得，进而，则，由是4的整数倍，结合，可得是4的倍数，从而确定a和d的取值，b和c满足，有6种可能，即可得到所有满足条件的M的最大值为9501，最小值为1059，则差值为8442．【详解】解：，，为正整数，∵，，∴，只能等于，则，∴，∵和20均为4的倍数，是4的整数倍，∴是4的倍数，∵，∴；或；或；或；或；∵，b和c为数字（b从0到9，c从0到9），∴或或或或或∵∴，则为最大值；取，则为最小值，∴差值为17．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．（1）使用因式分解法求解即可；（2）使用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴或，∴．18．【正确答案】（1）见详解（2）①；②；③；④【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据垂线的作图方法作图即可；（2）根据全等三角形的判定与性质填空即可．【详解】（1）解：如图，，（2）证明：，①，，，为底边的中点，②在和中，．19．【正确答案】化简得：；解得：【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．掌握分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则是解题的关键．首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果．【详解】解：原式，，；当时，原式，，．20．【正确答案】（1），92，40（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见详解（3）750名【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平样本估计整体等知识点，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数的定义是解题的关键．（1）根据表格以及众数、中位数的定义可确定a、b的值，先求出C、D的人数，然后结果B组数据求得A组数据的个数，最后再求其所占的百分比即可；（2）根据平均分、中位数，众数进行分析即可解答；（3）用学生总数乘以卷调查成绩不低于90分的百分比即可解答．【详解】（1）解：由八年级C组占，人数为（人），八年级D组占，人数为（人），∴八年级中位数为C组的第5、6个同学竞赛成绩的平均数即；∵七年级20名学生的竞赛成绩中92出现次数最多，∴七年级的众数；八年级A组人数为（人），∴，即．（2）解：八年级学生竞赛成绩较好，理由如下：（3）解：∵七年级问卷调查成绩不低于90分的学生有7人，八年级问卷调查成绩不低于90分的学生有8人，∴两个年级学生的问卷调查成绩不低于90分共人．答：七、八年级共有750名学生的问卷调查成绩不低于90分．21．【正确答案】（1）55元（2）3000千克【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际最值问题，解题的关键是准确找出等量关系和不等关系．（1）设每千克定价为元，根据利润列出方程求解即可；（2）设商场用于批发的水果为a千克，根据利润列出不等式，并求解即可．【详解】（1）解：设每千克定价为元，根据题意得，，解得，，，∵要顾客得到实惠，∴，答：每千克的定价为55元；（2）解：设商场用于批发的水果为a千克，根据题意得，，解得，答：商场用于批发的水果最多为3000千克．22．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据得，由此可判定四边形为平行四边形，然后再根据可得出结论；（2）根据矩形性质得，再根据勾股定理的逆定理证明，然后根据三角形的面积公式即可求出的长．【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，即，∴，∵，即，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∴平行四边形为矩形；（2）∵四边形是矩形，∴，在中，，，，∵，，∴，∴为直角三角形，即，由三角形的面积公式得：，∴．23．【正确答案】（1）（2）见详解，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（3）【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、求函数解析式等知识，掌握数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．（1）先求得，再分当时，P在上运动；当时，P在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）根据（1）中解析式描点画图即可，再根据图象写出可性质即可；（3）根据（2）中图象即可解答．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，如图，当时，P在上运动，则，∵，∴，即．如图，当时，P在上运动，则，∴，即．综上，y关于t的函数表达式为．（2）解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，则函数图象如图所示：由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（3）解：由必过，如图：当过时，，解得：；当过时，，解得：，所以如果与该函数图象有两个不同的交点，的取值范围．24．【正确答案】（1）（2）（3）或．【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．（1）将点的坐标代入直线得出其解析式，点的坐标代入直线的解析式，然后联立两条直线的解析式即可求解；（2）过点作于点，过点作于点，证明∽，进而得到，即可解题；（3）连接，求出，根据勾股定理得到，根据勾股定理逆定理得到，证明是等腰直角三角形，即，当M在下方时，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，即，可知此时M与E重合，求出，即可求出点M的坐标；当M在上方时，连接，证明，得到．根据勾股定理求出相关数据，得到，即，作轴，则，即，根据勾股定理求出相关数据，得到，，即可求出点M的坐标．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得：，解得：，∴，∵点在轴上点的右边，，∴，即，∵经过点的直线与正比例函数的图象平行，设直线的解析式为：，代入，有：，解得：，∴直线的解析式为：，由直线与直线相交于点，联立得：，解得：，∴；（2）解：如图，过点作于点