在“关系”中建构模型-小学数学“和倍问题”思维训练教学设计

在“关系”中建构模型——小学数学“和倍问题”思维训练教学设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，“和倍问题”隶属于“数与代数”领域“数的运算”主题下的实际问题解决范畴。其知识图谱的核心在于深化对除法意义的理解，将“倍”的概念从两个量的单纯比较，拓展至两个量在“和”的约束下构成一个整体数量关系的复杂情境，是整数乘除法意义的综合与应用，为后续学习差倍、和差乃至分数、百分数应用题奠定了关键的思维模型基础。过程方法上，本课是渗透数学模型思想的绝佳载体，旨在引导学生经历从具体生活情境中抽象出数量关系、用符号（线段图）表征关系、建立数学模型（“和÷（倍数+1）=1倍数”）并应用解决问题的完整过程。其素养价值深远，不仅指向运算能力与推理意识的培养，更重要的是发展学生的模型意识与应用意识，使其初步感知数学建模的力量，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析事物间的依存关系，实现从解决“一道题”到掌握“一类题”的思维跃迁。

学情研判需立足三年级学生的思维特点。其已有基础是清晰理解乘除法的意义，具备初步的“倍”的概念和简单一步计算解决实际问题的能力。然而，潜在的认知障碍在于：面对同时存在“和”与“倍”两个条件的复合信息时，难以自主建立两者间的逻辑联系，常陷入“见倍就乘，见和就加”的机械操作误区，其思维难点在于从整体“和”中逆向分解出作为比较标准的“1份数”（1倍数）。因此，教学调适策略的核心是提供强有力的可视化思维“脚手架”——线段图，通过“形”的直观支撑“数”的抽象。课堂中，将通过“你说我画”、合作编题等形成性评价手段，动态诊断学生从“读题”到“画图”再到“找关系”的思维卡点，并为不同认知风格的学生提供多元表达路径：擅长逻辑的可侧重关系式推导，擅长形象的可依托线段图分析，通过差异化的支持，引导全体学生抵达模型建构的彼岸。二、教学目标

1.知识目标：学生能在具体情境中，理解“和倍问题”的基本结构，掌握“已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数”的数学模型。能清晰表述“1倍数”（较小数）与“几倍数”（较大数）在“和”中的构成关系，并运用“和÷（倍数+1）=1倍数”的公式进行正确计算。

2.能力目标：学生能够独立或通过合作，运用线段图直观表征“和”与“倍”的复杂数量关系，并能依据线段图分析、推导出解题步骤。发展从现实问题中提取数学信息、建立模型并求解的应用能力，以及有条理、有根据的数学表达能力。

3.情感态度与价值观目标：在探索解决问题的过程中，体验借助几何直观（线段图）化繁为简的智慧，感受数学建模的成功与乐趣。在小组交流中，乐于分享自己的解题思路，并认真倾听、借鉴同伴的多样化策略，培养协作学习的意识。

4.数学思维目标：重点发展模型建构思想与几何直观素养。通过将文字语言翻译成图形语言（线段图），再将图形语言转化为符号语言（算式），经历完整的数学抽象与建模过程。强化“归一”思想，即通过确定“1份数”来统揽全局的解题策略。

5.评价与元认知目标：引导学生建立使用线段图检验解题思路合理性的习惯。能够对照学习目标，反思自己的解题过程：“我画对线段图了吗？”“我找到的‘1份数’对吗？”“我的答案是否符合题目中的所有条件？”，初步形成自我监控与调整的学习策略。三、教学重点与难点

教学重点为掌握“和倍问题”的解题模型，即学会用线段图分析数量关系，并运用“和÷（倍数+1）=1倍数”的公式解决问题。确立依据源于课标对“问题解决”及“模型意识”的突出强调，该模型是解决一类复合数量关系问题的通用“钥匙”，在后续数学学习乃至中学的方程思想中均有延续性，是培养学生结构化思维的关键节点。从能力立意看，它综合考查了信息整合、关系分析与逻辑推理，是学生数学思维从单一向综合过渡的重要标志。

教学难点在于从问题情境中准确抽象出数量关系，并学会借助线段图确定作为解题关键的“1份数”（1倍数）。预设难点成因在于，学生思维需完成两次飞跃：一是从文字叙述到图形表征的转换，对空间想象力有一定要求；二是在“和”与“倍”的交织信息中，逆向思考“将和对应多少份”，这与顺向思维为主的先前经验形成跨度。常见错误表现为线段图画错倍数关系，或无法将“和”与线段图中的总份数正确对应。突破方向在于教师示范与学生动手画图相结合，通过反复追问“谁是标准？”“我们把它看作几份？”“它们的和对应着这样的几份？”，强化认知锚点。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态线段图生成演示）；磁性黑板贴（不同长度的线段条、数字卡片）；实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（“探索坊”、“练兵场”、“挑战营”）；小组合作记录卡；课堂后测小卷。2.学生准备2.1预习与学具：复习“倍”的概念；准备直尺、铅笔、彩笔（用于画线段图）。3.环境布置3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究与交流。五、教学过程第一、导入环节

1.情境激趣，制造冲突：“同学们，老师最近遇到一个小难题。我有一些糖果，如果全部分给我们班的一些同学。已知老师手里的糖果总数是某位同学得到的糖果数的2倍，而且我们俩的糖果数加起来一共是12颗。猜猜看，老师和这位同学各有多少颗糖？”（学生可能直觉猜测或尝试分割）

1.1暴露原认知，提出核心问题：短暂自由发言后，教师追问：“好像不能一下子猜准。这里同时告诉了我们‘和’是12，还有‘倍数关系’是2倍。像这种已知两个数的‘和’与它们的‘倍数关系’，分别求这两个数的问题，就是我们今天要挑战的‘和倍问题’。（板书课题）面对这种复杂关系，我们有什么好办法能理清思路，准确求解呢？”

1.2明确路径，唤醒旧知：“为了攻克它，老师请来一位神秘的‘图形助手’。它能把看不见的‘关系’，变成看得见的‘图形’。同时，我们要用好一个老朋友——‘1份数’的思想。这节课，我们就一起学着画图、找关系、建模型。”第二、新授环节

任务一：你说我画——初次表征关系

教师活动：聚焦导入问题，教师引导：“我们先来把题目中的信息‘翻译’一下。谁是较少的那个？（同学的糖数）我们把它看作标准，也就是‘1份数’，可以用一条短线段表示。”教师在黑板上画出一条标准线段，标上“？颗”和“1份”。“老师的糖数是同学的2倍，该怎么画？”请学生口述，教师同步画出另一条相当于2份长的线段，标上“？颗”和“2份”。然后提问：“现在，‘老师和同学的糖数一共是12颗’，这个‘和’在线段图上应该标在哪里呢？”引导学生说出“用一个大括号将两条线段的总长括起来，标上‘12颗’”。

学生活动：学生跟随教师的引导，口述画图步骤，同步在任务单上画出线段图。观察整体图示，初步感知“和”与“总份数”的对应关系。

即时评价标准：1.能否正确识别并将较小量确定为“1份数”。2.能否根据倍数关系，准确画出较大量对应的线段长度。3.能否将“和”与线段图的总长度正确关联。

形成知识、思维、方法清单：★1.线段图是分析数量关系的利器。它能将抽象的文字条件转化为直观的图形，帮助我们一眼看清谁多谁少，以及“和”与“份”的对应关系。▲2.确定“1份数”是画图的第一步。通常将较小数或作为比较标准的量看作“1份”，这是分析所有倍数问题的起点，孩子们，这叫“定标”。

任务二：看图寻策——自主发现模型

教师活动：指着完整的线段图，启发思考：“图形画好了，答案好像就藏在这幅图里。看着图，谁能发现，这12颗糖一共对应着这样的几份？”（等待学生回答：1份加2份，一共3份）。教师强化：“太棒了！12颗是总数，它对应的是（1+2）份，也就是3份。那我们能不能求出1份是多少呢？怎么求？”（12÷3=4颗）。教师继续追问：“这求出的‘1份’4颗，对应的是题目中谁的糖数？（同学）那老师的糖数呢？”（4×2=8颗）。

学生活动：学生观察线段图，尝试回答教师的系列问题。经历“看图→发现总份数→计算1份数→求几份数”的完整思维过程，并尝试用自己的语言描述解题步骤。

即时评价标准：1.能否从线段图中准确找出“和”对应的总份数（倍数和）。2.能否清晰表达“用和除以总份数得到1份数”的逻辑。3.计算过程是否准确。

形成知识、思维、方法清单：★3.核心数量关系：和÷(倍数+1)=1倍数（较小数）。这是解决和倍问题的基本模型。理解“倍数+1”就是总份数，是打通思维的关键。★4.解题步骤：一画（线段图）、二找（和对应总份数）、三算（求1份，再求几份）、四验（将答案代回原题检查）。步骤化是规范思考的框架。

任务三：举一反三——提炼与固化模型

教师活动：改变导入题条件：“如果老师的糖数是同学的3倍，总和还是12颗，线段图该怎么变？又该怎么解？”请一名学生上台尝试修改黑板上的线段图并讲解。教师再进一步：“如果是4倍、5倍呢？你们发现了什么不变的规律吗？”引导学生总结：无论倍数怎么变，关键是找到“和”对应的“总份数”，即（倍数+1）。

学生活动：学生参与变式练习，修改线段图并讲解。通过多个例子的类比，与同伴讨论，尝试总结出“求较小数就是用和除以（倍数加1）”的口诀或规律。

即时评价标准：1.能否根据新的倍数关系正确调整图形。2.在变式中能否抓住“总份数=倍数+1”的本质。3.总结的表述是否准确、简洁。

形成知识、思维、方法清单：★5.模型的普适性。无论倍数关系如何变化，只要符合“和倍”结构，都可以用“和÷（倍数+1）=1倍数”的模型解决，这就是数学概括的力量。▲6.“口诀”是理解的辅助。可以记忆“和除以（倍加一），得出一份是小数”，但务必建立在理解线段图的基础上，避免机械套用。

任务四：小试牛刀——基础应用与辨析

教师活动：出示基础题：“公园里杨树和柳树共36棵，杨树的棵数是柳树的5倍。杨树、柳树各多少棵？”巡视学生独立完成情况，重点观察画图是否规范、算式是否依据图形。收集典型做法（正确与错误）准备投影点评。

学生活动：学生独立审题，在任务单上完成画图、列式解答。完成后可与同桌轻声交流做法。

即时评价标准：1.线段图中是否明确将柳树（较小数）设为1份。2.算式“36÷（5+1）”是否清晰对应图中的总份数关系。3.答案是否完整（求出两个量）。

形成知识、思维、方法清单：▲7.易错点提醒。容易只求出较小数就结束答题，忘记题目要求的是“两个数”。务必养成求完“1份数”后，立即用“乘倍数”求另一个数的习惯。▲8.单位问题。在分步计算时，1份数的单位通常与问题所求量的单位一致。

任务五：对比沟通——深化模型理解

教师活动：展示一道学生的可能错误解法（如用36÷5）。组织讨论：“这种做法对吗？为什么？它错在哪儿了？”引导学生对比正确线段图，指出错误在于误把“和”直接除以“倍数”，而没有对应“总份数”。教师小结：“看，线段图就像一座桥，帮我们安全地从‘问题’通往‘算式’。离开了这座桥，就容易掉进‘想当然’的陷阱里。”

学生活动：参与辨析讨论，指出错误原因。通过正误对比，进一步巩固“和对应总份数”这一核心联系，体会线段图的校验价值。

即时评价标准：1.能否识别常见错误类型。2.能否利用线段图作为论据，有理有据地指出错误根源。3.是否加深了对模型关键点的认识。

形成知识、思维、方法清单：★9.线段图的校验功能。画图不仅是解题的起点，也是检验算式是否合理的工具。算式必须能从线段图中得到合理解释，做到“图式对应”。▲10.克服思维定势。见到“倍”不一定是乘，见到“和”不一定是加，必须综合分析条件间的结构关系。第三、当堂巩固训练

本环节设计分层练习，学生可根据自身情况选择完成至少两个层次。

基础层（全体必做）：“果园里有桃树和梨树共120棵，桃树是梨树的3倍。两种树各有多少棵？”（直接应用模型，巩固基本技能）。

综合层（鼓励完成）：“一个小长方形的周长是24厘米，长是宽的2倍。这个长方形的长和宽分别是多少厘米？”（情境变式，需将周长概念“长+宽的和”与和倍模型结合，考查知识迁移能力）。教师巡视时提示：“想想，长方形的周长公式里，藏着我们需要的‘和’吗？”

挑战层（学有余力选做）：“甲乙两数之和是99，若甲数末尾添上一个0，则正好等于乙数。求甲乙两数。”（条件隐蔽，需要将“添0”转化为“扩大10倍”的倍数关系，考查信息转化与深度建模能力）。可提示：“甲数末尾添一个0，这个新数和原来的甲数是什么关系？它又和乙数是什么关系？”

反馈机制：完成基础层后，同桌依据“画图规范、算式对应、答案完整”的标准互评。教师利用实物投影展示综合层与挑战层的不同解法，尤其请做对的学生讲解“你是怎么想到的？”，突出思考过程。对共性疑难进行集中精讲。第四、课堂小结

教师引导学生回顾：“今天这节课，我们征服了‘和倍问题’这座小山。现在闭上眼睛回想一下，你手里最重要的‘登山工具’是什么？（线段图）最核心的‘登山口诀’是什么？（和÷（倍数+1）=1倍数）”请学生用思维导图或关键词的形式，在笔记本上自主梳理本节课的知识要点、解题步骤和心得体会。

“谁来分享你的收获？或者你还有什么疑惑？”通过学生发言，教师进行补充和升华，强调模型思想与几何直观的重要性：“我们不仅学会解一道题，更掌握了一种‘以不变应万变’的数学思维方法——遇到复杂关系，尝试画图来化繁为简；遇到多个条件，寻找它们之间隐藏的‘结构’。这就是数学的魅力！”

作业布置：1.必做：完成练习册基础题，并任选一题，用线段图向家人讲解你的解题思路。2.选做：寻找一个生活中的“和倍问题”实例，编成题目并解答（可以配上示意图）。六、作业设计

1.基础性作业（必做）：(1)教材配套练习中关于“和倍问题”的基础题型3道。要求规范使用线段图辅助分析。(2)“讲题小达人”任务：从完成的题目中任选一题，用手机录制一段不超过2分钟的讲解视频，重点说明如何画线段图以及如何根据图列出算式。

2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：情境应用题：“班级图书角的故事书和科技书一共借出45本，借出的故事书本数是科技书的4倍。两种书各借出多少本？如果已知故事书每本厚2厘米，科技书每本厚1.5厘米，那么借出的这些书叠在一起，总厚度是多少厘米？”（在应用和倍模型基础上，融入两步计算和单位知识，培养综合应用能力）。

3.探究性/创造性作业（选做）：(1)探究题：“‘和倍问题’中，如果已知的是两个数的‘差’与它们的倍数关系（即‘差倍问题’），你能试着模仿今天的学习方法，通过画线段图，发现它的解题模型吗？请写出你的猜想并举例验证。”(2)数学日记：以“我的好帮手——线段图”为题，写一篇简短的数学日记，记录你用它解决和倍问题的过程与感悟。七、本节知识清单及拓展

★1.和倍问题定义：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的实际问题。

★2.核心思维工具——线段图：用于直观表示数量关系。通常将较小的数（1倍数）用一条标准线段表示，较大的数（几倍数）则用几条同等长度的线段表示。所有线段的总长度代表两数之和。

★3.基本数量关系式：两数和÷(倍数+1)=较小数（1倍数）；较小数×倍数=较大数（几倍数）。关键理解“倍数+1”代表两数总和所对应的“总份数”。

★4.标准解题四步骤：一画（线段图，定1份）；二找（看“和”对应几份）；三算（求1份，再求几份）；四验（代入原题检查是否符合“和”与“倍”的条件）。

▲5.“1份数”（1倍数）的重要性：它是整个问题的“度量衡”或“标准单位”，所有其他量都通过它与这个标准建立联系。找到它是解题的突破口。

▲6.常见易错点：(1)画图时倍数关系错误，线段长度比例不对。(2)误将“和”直接除以“倍数”，而非“(倍数+1)”。(3)只求出较小数，遗漏求较大数。(4)单位使用不当或答案不完整。

★7.模型思想的体现：“和÷（倍数+1）=1倍数”是一个数学模型。它从具体问题中抽象出来，可以应用于所有符合该结构的问题，体现了数学的概括性和普适性。

▲8.与已学知识的联系：本质是除法意义“等分除”和“包含除”的综合应用。“求1份数”是等分，“求几份数”是乘法的应用。它是“倍的认识”单元的深化与拓展。

▲9.几何直观素养：线段图是几何直观在解决问题中的具体应用。它把抽象的数学关系变得形象，有助于理解和发现规律，是小学阶段至关重要的数学思想方法。

▲10.变式与拓展初步：如果已知条件变为两数之差与倍数关系（差倍问题），线段图依然有效，数量关系式则变为：两数差÷(倍数1)=较小数。鼓励学有余力的学生进行对比探究。八、教学反思

一、目标达成度分析。本课预设的核心目标——通过线段图建立和倍问题模型，在课堂后测中显示，约85%的学生能独立规范作图并正确解答基础题型，表明模型建构过程基本有效。能力目标方面，学生展示讲解时，多数能清晰表达“先找1份数”的思路，推理意识得到显现。情感目标在小组合作编题环节表现突出，学生参与度高，体验了创造的乐趣。然而，元认知目标中“自我校验”习惯的养成，仅靠一节课难以巩固，需在后续练习中持续强化。

二、教学环节有效性评估。导入环节的“猜糖”情境迅速聚焦了“和”与“倍”的矛盾，成功激发了探究欲。新授环节五个任务构成了逻辑紧密的脚手架：任务一“你说我画”降低了画图门槛，任务二“看图寻策”实现了关键点的自主发现，这个由“扶”到“放”的过渡是成功的。心里默想：“让学生自己从图中‘看’出算法，比直接告知公式，留下的印记深刻十倍。”任务四的独立练习与任务五的错例辨析形成了“建构应用反思”的闭环，巩固了学习效果。当堂巩固的分层设计照顾了差异，但巡视中发现，部分选择基础层的学生在面对综合层题目时表现出畏难情绪，如何更有效地鼓励他们“跳一跳”，是需要改进的引导策略。

（一）学生表现的深度剖析。在画图环节，视觉空间智能较强的学生表现优异，能迅速抓住比例关系；而偏向抽象思维的学生起初对画图有些抵触，认为“直接想就行”，但在后续解决复杂问题时，他们逐渐体会到图形的优势，实现了思维方式的互补。小组讨论中，“小老师”的涌现令人惊喜，他们用同伴的语言讲解，有时比教师示范更能打通思路。但也需关注“沉默的少数”，个别基础薄弱的学生在整个建模过程中处于被动跟随状态，仅模仿了画图步骤，对“为什么用和除以（倍数+1）”的理解仍显模糊。这提醒我，差异化支持的颗粒度需更细，