素养导向·差异支持：“有理数的乘除法”单元起始课教学设计（北师大版七年级上册）

素养导向·差异支持：“有理数的乘除法”单元起始课教学设计（北师大版七年级上册）一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，在数与运算领域，学生需“掌握有理数的四则运算，感悟运算的一致性”。本节课作为有理数乘除运算的起始课，处于承上启下的枢纽位置。从知识图谱看，它上承有理数的加减法及绝对值的概念，下启乘方、混合运算乃至整个代数运算体系，是学生从算术运算思维迈向代数运算思维的关键一跃。其核心技能在于理解并运用“先定符号，再算绝对值”的运算法则，认知要求已从具体的数值计算上升至对一般性规则（符号法则）的抽象概括与应用。过程方法上，本节课是渗透“从特殊到一般”、“分类讨论”、“数学建模”等学科思想的绝佳载体。例如，通过创设“温度连续变化”、“水位匀速升降”等现实情境，引导学生在具体实例中归纳抽象出普适性法则，这正是数学建模的雏形。其素养价值深远，不仅在于训练学生准确、熟练的运算能力（运算素养），更在于通过法则的探究过程，发展学生的逻辑推理能力（推理素养）与抽象概括能力（抽象素养），并引导其体会数学规则的一致性与简洁美，养成严谨、有序的思维习惯。基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已掌握了有理数的意义、数轴表示及加减运算，具备了初步的符号意识与分类思想。然而，从加减法到乘除法，运算逻辑发生了质变——从“累积与抵消”转向“倍数与比例”，且符号规则更为抽象（“同号得正，异号得负”）。常见的认知障碍在于：难以将乘法视为“缩放的连续操作”，容易将加减法的符号处理经验错误迁移至乘除法，对“多个非零有理数相乘，负因数的个数决定积的符号”这一规律的理解存在困难。因此，教学前测将通过23道涉及符号判断的简单计算题，快速诊断学生的认知起点与误区。在教学过程中，将通过“小步快走、即时反馈”的随堂练习、小组讨论中的观点分享、以及有针对性的追问，动态把握学情。针对不同层次的学生，将提供差异化的支持：为理解吃力的学生准备“直观模型”（如温度计、数轴）和“思维脚手架”（如填空式法则推导单）；为学有余力的学生设计“法则的逆向应用”与“简单规律的探究”等挑战任务，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得成长。二、教学目标1.知识目标：学生能通过具体情境的探究，准确归纳有理数乘法与除法的运算法则（特别是符号规则），并理解除法是乘法的逆运算这一本质关系；能清晰表述法则，并运用其正确进行两个有理数的乘除运算，初步处理简单的乘除混合运算。2.能力目标：在探究法则的过程中，学生能经历观察、比较、归纳、验证的完整过程，发展从特殊到一般的归纳推理能力和数学抽象能力；在应用法则解决问题时，能进行有条理的思考与表达，提升运算的准确性与灵活性。3.情感态度与价值观目标：学生在小组合作探究中，能积极参与讨论，敢于发表见解并倾听他人意见，体验合作学习的价值；通过感受数学法则源于现实、服务现实的理性之美，增强学习数学的兴趣和应用意识。4.学科思维目标：重点发展学生的“模型思想”与“分类讨论思想”。通过将现实问题抽象为数学算式，初步建立乘法模型；在探究符号规则时，系统运用分类讨论（同号、异号、含零）的思维方法，养成严谨、全面的思维习惯。5.评价与元认知目标：引导学生利用教师提供的“运算步骤自查表”，对自己的计算过程进行监控与反思，能识别常见错误类型（如符号错误、顺序错误）；在课堂小结阶段，能尝试用自己的语言梳理知识脉络，评价自己在本节课的参与度与收获。三、教学重点与难点教学重点是有理数乘除法运算法则的探究与应用。确立此重点，源于课标对其基础性与枢纽性的定位：它不仅是本章的核心“大概念”，更是后续学习分式、根式、函数等知识的运算基石。从能力立意看，中考对有理数运算的考查，始终围绕法则的准确理解和灵活运用，是体现学生运算素养与逻辑素养的关键考点。教学难点在于对乘除法符号规则的深刻理解与灵活应用，尤其是多个有理数相乘时符号的确定。其成因在于：第一，抽象性强，学生需要从具体算例中剥离出纯粹的符号规律；第二，需克服“正负抵消”的加减法前概念干扰；第三，涉及“负因数的个数”这一逻辑判断，思维链条加长。预设依据是日常作业与测验中的典型错误，如“(2)×(3)=6”或计算“(1)×2×(3)”时符号判断失误。突破方向在于强化情境支撑，让符号意义“看得见”，并通过有层次的变式训练，促进规则内化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含温度变化动画、数轴动态演示）、实物温度计模型、板书设计预案（左侧保留法则探究区，右侧为例题讲解与小结区）。1.2学习材料：分层学习任务单（含前测题、探究记录表、分层巩固练习）、运算步骤自查表（印有“符号判对了吗？”“绝对值乘/除了吗？”等提示）。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数的意义、绝对值概念及加减法法则。2.2学具：铅笔、直尺、练习本。3.环境准备将课桌调整为46人小组式布局，便于开展合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：同学们，想象一下，现在是冬天，某地气温是零下3度，并且预计未来几个小时内，气温将以每小时下降2度的速度持续变冷。我们如何用数学来刻画3小时后的气温呢？有同学说用加法，没错，(3)+(2)+(2)+(2)。但大家想想，如果我们要预判10小时后、甚至n小时后的气温，每次都这样加下去，是不是有点麻烦？有没有更简洁有力的数学工具呢？对，这就是我们今天要探索的新武器——有理数的乘法。2.明确学习路径：今天，我们就从“温度连续变化”这个老朋友出发，一起发现有理数乘法的秘密，进而揭开它的逆运算——除法的面纱。我们的探索路线是：从实际例子中找规律>大胆猜想法则>严谨验证>熟练应用。准备好开启这场发现之旅了吗？第二、新授环节任务一：同号两数相乘的规律初探教师活动：首先，我们把“气温下降”情境数学化。如果当前气温为0℃，每小时下降2℃，记为2℃/时。那么，1小时后气温是0+(2)=2℃，我们可以把它看作(2)×1；2小时后呢？气温在1小时的基础上再降2℃，是(2)+(2)=4℃，这其实就是(2)×2。那么，3小时后的(2)×3等于多少？对，6。好，现在请大家看黑板上的这一组算式：(2)×3=6；(2)×2=4；(2)×1=2。大家先别急着说答案，仔细观察，因数“2”不变，另一个因数逐渐减少1，积有什么变化规律？当另一个因数变成0时，积是多少？（引导学生得出(2)×0=0）。接下来，我们把视角转向另一个方向：如果气温是每小时上升3℃（记为+3），那么2小时前（即2小时）的气温比现在低多少？这可以引出3×(2)如何理解？让我们借助数轴，从原点向右表示正，向左表示负，3×2表示向右3个2单位，那么3×(2)可以理解为向左3个2单位，结果是6。现在，我们来看另一组算式：(3)×(2)=？(3)×(1)=？这又代表了什么现实意义？（比如，水位每小时下降3米，2小时前的水位情况？）大家小组内讨论一下，尝试算出结果，并看看这些同号相乘、异号相乘的算式，结果符号和绝对值与因数有什么关系。学生活动：学生聆听教师讲解，观察课件动画，理解情境向算式的转化。在教师引导下，观察第一组算式，发现“一个负数乘以一个正数，积为负，绝对值等于两数绝对值相乘”的初步规律。对于3×(2)，结合数轴演示进行理解。对于(3)×(2)等算式，小组展开热烈讨论，尝试赋予其实际意义并进行计算。学生可能提出不同猜想，并在组内进行初步验证。即时评价标准：1.能否将教师提供的情境顺利转化为数学算式。2.在小组讨论中，是否能主动参与，并尝试用语言描述自己发现的规律。3.提出的猜想是否基于对算例的观察，而非随意臆测。形成知识、思维、方法清单：★核心概念启动：有理数乘法不再仅仅是“重复相加”，它可以表示“匀速变化”的过程与结果。例如，(2)×3既可视为3个2相加，更可理解为以2的速度变化3个单位时间后的状态。这种理解是后续学习向量、函数变化率的基础。▲分类讨论思想渗透：探究伊始，我们就不自觉地开始了分类：先研究“负数×正数”，再触碰“正数×负数”，最后挑战“负数×负数”。这种有序、全面的思考方式，是解决复杂数学问题的金钥匙。易错点预警：在从“负数×正数”过渡到“负数×负数”时，学生最容易在符号上卡壳。关键引导语可以是：“看看绝对值部分，规律是否还在？符号的变化，是不是和因数的‘性质’有关？”任务二：异号两数相乘及法则归纳教师活动：根据刚才的讨论，我们请几个小组来分享一下他们对(3)×(2)这类算式的理解和计算结果。哦，这个小组认为结果是+6，理由是“负负得正”；那个小组还在犹豫。我们不急于评判，一起来检验。如果(3)×(2)=+6，那么根据乘法和除法的关系，+6÷(3)应该等于多少？对，是2，这与我们除法的意义吻合。这是一种验证思路。我们再回头看数轴：从原点出发，表示3×(2)，可以理解为什么？有同学想到，可以看作朝反方向（因为乘的是负数）移动，每次移动3个单位（即向左3单位），移动2次（即朝相反方向移动2次），最终效果是向右移动了6单位，得到+6。漂亮！这个解释非常直观。现在，请同学们将刚才研究的所有类型的乘法算式（正乘正、负乘正、正乘负、负乘负、任何数乘0）放在一起，以小组为单位，尝试用最简洁、最完整的语言，概括有理数乘法的运算法则。给大家5分钟时间，形成你们组的“法则宣言”。学生活动：各小组汇报对(3)×(2)的探究结果，并倾听不同的解释（如逆运算验证、数轴模型）。在教师引导下，理解“负负得正”的直观几何意义。随后，小组合作，系统梳理各类情况，热烈讨论如何概括法则。学生可能会先分别描述符号规则和绝对值规则，再尝试整合。最终，各小组推选代表准备汇报。即时评价标准：1.小组概括的法则是否涵盖了所有情况（同号、异号、含零）。2.语言表述是否准确、简洁。3.小组内部是否有明确的分工与合作（如记录员、发言人）。形成知识、思维、方法清单：★运算法则定型：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。记忆口诀可辅助，但理解其“为何如此”更为重要。强调步骤：一定符号，二算绝对值。学科方法凝练：归纳推理的完整过程在此展现：从大量具体实例（特殊）>观察规律、提出猜想>通过不同方式（逆运算、几何模型）进行验证与解释>概括出一般性法则。这是我们发现数学真理的基本路径。任务三：除法法则的推导与理解教师活动：掌握了乘法的利器，除法这个“孪生兄弟”就好对付了。我们知道，除法是乘法的逆运算。那么，请思考：因为(2)×(3)=+6，所以(+6)÷(3)=？因为(4)×(+5)=20，所以(20)÷(+5)=？请大家快速计算几个这样的例子。然后，聚焦到符号和绝对值上，你们能直接从这些算式中，发现有理数除法的运算规律吗？它和乘法法则有没有什么“亲戚关系”？给大家2分钟独立思考，然后同桌之间交换一下看法。学生活动：学生利用逆运算关系，快速计算教师给出的例子。如：(+6)÷(3)=2，(20)÷(+5)=4等。通过观察算式左右两边的符号与绝对值，学生尝试独立归纳除法法则。随后与同桌交流，比较发现的一致性。即时评价标准：1.能否准确运用“逆运算”关系进行除法计算。2.归纳除法法则时，是否建立了与乘法法则的明确联系。形成知识、思维、方法清单：★除法法则生成：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。亦可从符号和绝对值角度直接描述：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。两种表述本质相同，前者将除法统一为乘法，体现了“转化与化归”的思想，是更通用的方法。▲概念联系强化：深刻理解“除法是乘法的逆运算”。这意味着乘除可以互相检验，也意味着除法的法则可以从乘法法则自然衍生出来。这体现了数学知识网络的内在一致性与和谐美。任务四：法则的初步应用与步骤内化教师活动：法则到手，小试牛刀！现在我们来进行“计算大闯关”第一关：口答判断下列运算结果的符号（不计算具体值）：(1)(5)×(+6)；(2)(7)×(8)；(3)(+10)÷(2)；(4)(9)÷(3)。很好，符号关大家过得很快！第二关：请四位同学上台板演，计算：(1)(3)×(9)；(2)6×(1/2)；(3)(12)÷4；(4)(3/4)÷(6/5)。其他同学在练习本上完成。完成后的同学，请使用手中的“运算步骤自查表”检查自己的过程。台上的同学做完后，请大家做小老师，从“步骤是否清晰”、“符号是否正确”、“计算是否准确”三个方面进行点评。学生活动：学生快速进行符号判断口答。随后，部分学生上台板演，其余学生独立练习。完成后，学生利用自查表进行自我检查。板演结束后，全体学生观摩板演过程，并依据教师提出的三个维度进行同伴互评，指出优点或可能存在的错误。即时评价标准：1.口答判断的准确性与速度。2.板演和练习中，是否遵循“先定符号，后算绝对值”的规范步骤。3.在互评环节，能否指出关键步骤，评价有理有据。形成知识、思维、方法清单：★运算程序固化：规范步骤是运算准确率的保障。第一步：定性（定符号）。明确是同号还是异号。第二步：定量（算绝对值）。进行绝对值相乘或相除（或转化为乘倒数）。对于除法，推荐统一为乘法进行计算，可减少出错。易错点聚焦：符号错误始终是首敌。倒数求错是除法转乘法时的常见陷阱，特别是分数与整数的倒数。强调：除以一个数，等于乘它的倒数，求倒数时仅分子分母颠倒，符号不变。任务五：综合辨析与灵活运用教师活动：看来基本运算已经难不倒大家了。现在我们提升一点难度，考考大家的理解是否透彻。请看这个问题：已知两个有理数的积为负数，和为负数，那么这两个数可能是什么情况？（是都是负数吗？）请大家先独立思考一分钟，然后小组讨论，用我们今天学的法则作为推理的依据。第二个问题：计算(8)×(0.125)÷(1/4)。观察这个算式，有没有更巧妙的算法？可以调整运算顺序吗？在有理数乘除混合运算中，我们可以像加减混合运算那样灵活调整吗？学生活动：学生独立思考第一个推理问题，调动符号法则进行分析（积为负说明两数异号，和为负说明负数的绝对值大）。随后在小组内交流，形成统一结论并准备分享。对于第二个计算题，学生观察数字特征，发现(8)×(0.125)=1，从而使计算简化。在教师引导下，探讨乘除混合运算中，可以依据“同级运算，从左到右”的顺序进行，但根据数字特点，灵活运用“乘法交换律和结合律”进行简便计算也是允许且鼓励的。即时评价标准：1.能否运用符号法则进行逻辑推理，解决条件判断问题。2.是否具备观察算式特征、寻求简便运算的策略意识。3.对乘除混合运算顺序和运算律适用性的理解是否清晰。形成知识、思维、方法清单：▲法则的逆向与综合应用：运算法则不仅可以用于正向计算，还可以用于逆向推理，根据运算结果反推数的特征。这体现了法则的双向性。策略意识提升：简便运算意识是运算素养的高阶表现。遇到计算，先观察数字特点（如互为倒数、可约分、可凑整），再动手，往往事半功倍。强调：乘除混合运算中，将除法统一为乘法后，可以方便地运用运算律。第三、当堂巩固训练现在进入实战演练场，题目分为三个梯度，请大家量力而行，挑战自我。基础层（必做）：1.计算：(1)(7)×6；(2)(48)÷(8)；(3)0×(2024)；(4)(3/4)÷(9)。2.填空：一个数与1相乘，得它的______；一个数与它的倒数相乘，积为______。综合层（选做）：3.某水库水位每天下降2厘米，记作2厘米/天。请求出3天前的水位比现在高多少厘米？（列式计算）4.计算：(5)×(6)÷(3)。挑战层（供学有余力同学探究）：5.现有四个互不相等的整数a,b,c,d，它们的积abcd=9。请问这四个数的和a+b+c+d可能是多少？（提示：考虑9可以拆成哪几个整数的乘积？注意“互不相等”和“整数”条件）反馈机制：学生独立完成约8分钟。教师巡视，个别辅导。随后，采用“小组交换批改”的方式核对基础层答案。综合层第3题请学生讲解列式思路，第4题强调运算顺序。挑战层第5题作为思维拓展，请有思路的学生分享其枚举和推理过程，感受数学的趣味性与严密性。第四、课堂小结同学们，旅程接近尾声，让我们一起来盘点收获。知识整合：请大家拿出笔，尝试用关键词（如“乘法法则”、“除法转化”、“符号”、“绝对值”）画一个简单的思维导图，梳理本节课的知识结构。可以同桌互相补充。方法提炼：回顾一下，我们是如何发现乘方法则的？（从实际例子，分类讨论，归纳概括）在遇到新问题（除法）时，我们是如何处理的？（转化为已知的乘法）这些都是非常重要的数学思想方法。作业布置与延伸：今天的作业是：必做部分：课本PXX页随堂练习1，2题；选做部分：课本PXX页知识技能第5题；探究部分（自愿）：思考“多个有理数相乘，积的符号如何确定？”，可以尝试举例总结规律。下节课，我们将深入探讨多个数的乘除运算及运算律的应用。带着今天的收获和新的疑问，我们下次课再见！六、作业设计基础性作业（全体必做）：1.计算巩固：完成教材本节后“随堂练习”部分的全部计算题。要求步骤完整，书写规范。2.法则复述：用你自己的话，分别向家人或同学解释有理数乘法和除法的运算法则，并各举一个例子说明。拓展性作业（建议大部分学生完成）：3.情境应用：设计一个可以用“(4)×(5)=20”这个算式来解决的实际问题情境（不同于课堂所讲的气温变化）。4.错题分析：收集或自编一道在有理数乘除运算中容易出错的题目，并详细写出错误原因和正确解法。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.规律探究：计算下列各式，并总结规律：(2)×1，(2)×1×1，(2)×1×1×1，…(2)×(1)，(2)×(1)×(1)，(2)×(1)×(1)×(1)，…你能发现“多个有理数相乘，当负因数个数为奇数或偶数时，积的符号规律”吗？尝试用文字或字母表示这一规律。6.数学小论文（雏形）：以“为什么‘负负得正’？”为题，结合课堂上的数轴解释或逆运算解释，写一段300字左右的说明文，阐述你对这一规则的理解。七、本节知识清单及拓展★1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。教学提示：这是运算的根基，理解的关键在于接受“符号规则”的约定合理性，它保证了运算体系的完备与自洽。★2.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。亦可简述为：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非零数得0。教学提示：强烈建议将除法统一转化为乘法运算，可简化思维过程，避免混淆。★3.倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数。数a(a≠0)的倒数是1/a。易错点：求倒数时，只对分子分母颠倒（整数看作分母为1的分数），其符号保持不变。★4.运算步骤规范：先确定结果的符号，再进行绝对值运算。对于乘除混合，通常先将除法化为乘法，再按顺序计算或运用运算律简化。认知说明：规范的步骤是程序性知识自动化的前提，能有效减少错误。▲5.法则的几何直观（数轴模型）：乘法可以理解为在数轴上的缩放与反向运动。例如，a×b(b>0)表示从原点出发，沿a的方向移动|a|个单位，重复b次；若b<0，则表示朝a的反方向移动。这为理解“负负得正”提供了直观图景。▲6.分类讨论思想的应用：在探究乘法符号规则时，系统地分为：正×正、负×正、正×负、负×负、含零五类情况。这是解决复杂符号问题的通用思维框架。★7.“负负得正”的理解层次：第一层（操作记忆）：规则如此。第二层（算理理解）：为保持运算律（如分配律）在有理数范围内依然成立，必须这样规定。第三层（直观建模）：如数轴上的连续反向运动。▲8.乘法与除法的互逆关系：已知a×b=c，则b=c÷a(a≠0)。这一关系是推导除法法则的基础，也是检验计算结果的重要方法。★9.运算中的特殊数“0”和“1”：0乘任何数得0；0除以非零数得0（0不能作除数）。1乘任何数得原数；1乘任何数得其相反数。一个数乘以其倒数得1。▲10.简便运算策略：计算前先观察，寻找互为倒数的数、可约分的数、能凑整的数，合理运用乘法交换律和结合律优先计算，提高效率与准确性。八、教学反思（一）目标达成度证据分析：从课堂巩固练习的完成情况看，约85%的学生能独立、准确地完成基础层运算，表明知识目标基本达成。在小组探究“法则归纳”和“综合辨析”任务中，多数小组能有效合作，产出完整结论，并运用符号法则进行推理，体现了能力与思维目标的初步落实。情感目标通过情境导入和合作学习得以渗透，课堂氛围积极。然而，通过巡视和个别提问发现，仍有少数学生对“负负得正”的理解停留在机械记忆层面，对除法转化为乘法的操作不够熟练，这是后续需个别辅导的重点。（二）教学环节有效性评估：导入环节的“温度变化”情境有效引发了认知冲突，成功将学生的思维从加法引向乘法，驱动性较强。新授环节的五个任务，遵循了“感知归纳验证应用深化”的认知逻辑，梯度设计合理。特别是任务二的小组“法则宣言”和任