5.4 角平分线的性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第5章直角三角形5.4角平分线的性质导入新课问题1：角平分线的定义是怎样的？请在练习本上画出一个角，并作出它的角平分线.角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角.OBAMNC问题2：什么是点到直线的距离？请通过作图说明.PlABCOPCABODEPD2E2P2D3E3P3D4E4P4PD=PE，P2D2=P2E2，P3D3=P3E3······活动一：探究角平分线的性质如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，在△PDO和△PEO中，所以△PDO≌△PEO(AAS).所以PD＝PE.所以∠PDO＝∠PEO＝90°.角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线性质定理：几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE.CABODEP推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.针对训练1.如图，AM是∠BAC的平分线，点

P在

AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是

D、E，PD=4，则

PE=______.4MBCADEP2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC交

BC于点

P，若

PC=8，则点

P到

AB的距离为______.8ACPB针对训练角平分线上的点到角两边的距离相等条件：结论：点在这个角的角平分线上这个点到角的两边的距离相等逆命题：如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？CABODEP如图，点P

在∠AOB

的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且

PD=PE.求证：点

P

在∠AOB

的平分线上.可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.ABODEPCOP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌

Rt△PEO（HL）因此OC是∠AOB

的平分线，ABODEPC证明：如图，过点O，P

作射线

OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在

Rt△PDO和

Rt△PEO中，∴∠AOC=∠BOC即点

P

在∠AOB

的平分线OC上.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.角的平分线的判定定理：CABODEP几何语言：

∵PD⊥OA

，PE⊥OB

，且

PD=PE，∴OC是∠AOB

的平分线即点

P

在∠AOB

的平分线OC上.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.在

S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？0200m答：集贸市场应建在

S

区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点

P

所示.P针对训练例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.证明：（1）在△ABC中，因为∠1=∠2，又BA⊥AD，

BC⊥CD，所以点B在∠ADC的平分线上.所以BA=BC.例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，所以Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）因此∠ABD=∠CBD，从而

BD平分∠ABC.

BD=BD，BA=BC，活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPN