2026年数学建模与问题求解实践题

2026年数学建模与问题求解实践题一、线性规划问题（共3题，每题12分，合计36分）题目1（12分）：某城市公共交通优化问题某中等城市现有三条公交线路（A、B、C）覆盖主要通勤区域，每日客流量分别为8000、6000、7000人次。为提升运营效率，市政府计划通过调整发车频率和站点设置优化线路，具体约束条件如下：1.每条线路每日发车班次不少于40次，总运营成本不超过200万元/日；2.线路A需覆盖火车站，线路B需覆盖商业区，线路C需覆盖大学城；3.每条线路每班次运行成本为0.8万元，但增加站点会额外增加成本（每增加1个站点增加0.2万元）；4.各线路需满足乘客等待时间不超过15分钟，即发车间隔需在4-8班次/小时之间。要求：1.建立线性规划模型，确定各线路的最优发车班次和站点设置方案；2.若增加一条新线路D需额外投入50万元/日，是否应纳入运营？题目2（12分）：农产品供应链优化问题某农业合作社种植三种农产品（粮食、蔬菜、水果），需通过三条物流渠道（冷链、常温、铁路）销往三个销售区（甲、乙、丙）。已知数据如下表：|物流渠道|粮食运输成本(元/吨)|蔬菜运输成本(元/吨)|水果运输成本(元/吨)|日运输能力(吨)||-|-|-|-|-||冷链|60|80|100|200||常温|40|50|70|300||铁路|30|45|60|400|约束条件：1.各销售区需求量：甲区粮食200吨、蔬菜150吨、水果100吨；乙区各100吨；丙区粮食150吨、蔬菜200吨、水果150吨；2.水果需通过冷链运输，蔬菜不超过50%通过冷链运输；3.为保证食品安全，粮食和蔬菜在常温运输时需使用专用渠道。要求：1.建立线性规划模型，确定最优运输方案；2.若冷链运输能力可临时提升20%，最优方案是否改变？题目3（12分）：电力资源调度问题某区域电网包含三个主力电厂（火电、水电、风电），需满足日均用电量3000万度，运行成本及特性如下表：|电厂类型|运行成本(元/度)|最低负荷(%)|可发容量(万度/日)||-|-|-|||火电|0.4|30|2000||水电|0.25|20|1500||风电|0.3|0|1000|约束条件：1.总用电量需完全覆盖；2.火电占比不超过60%；3.水电需优先满足基荷需求（最低负荷）；4.风电出力受天气影响波动，但日均可用率不低于80%。要求：1.建立线性规划模型，确定各电厂最优发电量；2.若火电成本降低10%，重新求解并分析效益变化。二、整数规划与动态规划问题（共2题，每题14分，合计28分）题目4（14分）：医院资源调度问题某三甲医院需安排次日三类医护人员（医生、护士、护工）的工作班次，满足以下条件：1.医生需满足各科室需求：内科需15人、外科需12人、儿科需8人；2.每位医生每天工作8小时，连续工作不超过3天；3.护士需满足床位需求：普通病房需30人、重症监护室需20人；每位护士每天工作12小时，连续工作不超过4天；4.护工需按患者数量分配，比例1:2（患者数×护工系数）；5.人员成本：医生500元/天、护士400元/天、护工300元/天。要求：1.建立混合整数规划模型，确定最优排班方案；2.若儿科医生紧缺，需临时外聘，每人成本800元/天，是否可行？题目5（14分）：多阶段设备投资决策问题某制造企业需连续5年采购生产线设备，面临三种选择：-新设备：初始投资100万元，年收益30万元，需在第3年更换；-改造设备：初始投资50万元，年收益20万元，第4年需大修；-租赁设备：年租金10万元，年收益15万元，无后续投入。约束条件：1.五年末设备残值需不低于30万元；2.单一类型设备采购量不超过2台；3.第5年必须使用新设备。要求：1.建立动态规划模型，确定最优采购方案；2.若改造设备年收益增加5%，最优方案是否改变？三、图论与网络流问题（共2题，每题15分，合计30分）题目6（15分）：城市交通枢纽设计问题某新城区规划交通网络，需连接五个主要区域（A-E），设计道路方案。已知数据：|起点-终点|需求量(车/日)|建设成本(万元/公里)||-|--|||A-B|300|500||A-C|200|600||B-D|400|400||C-D|250|700||C-E|150|550||D-E|300|300|约束条件：1.每条道路承载能力上限为500车/日；2.必须连接A-E区域；3.总建设成本不超过6000万元。要求：1.建立最小费用最大流模型，确定最优道路建设方案；2.若D-E道路成本降低50%，重新求解并分析变化。题目7（15分）：物流配送中心选址问题某电商企业需在华北、华东、华南设立配送中心，服务三地市场。已知数据：|区域|市场需求(万件/年)|距离配送中心(公里)|建设成本(万元)||--|-||--||北方客户|100|华北=300,华东=500,华南=700|2000||南方客户|150|华北=700,华东=400,华南=200|2500||东方客户|200|华北=500,华东=300,华南=600|1800|约束条件：1.每个区域至少设1个配送中心；2.总建设成本不超过6000万元；3.配送中心服务半径不超过500公里。要求：1.建立整数规划模型，确定最优选址方案；2.若南方客户需求增加50%，最优方案是否改变？四、概率统计与随机规划问题（共2题，每题16分，合计32分）题目8（16分）：商业银行信贷风险评估问题某银行需审批三类贷款（房贷、车贷、经营贷），历史数据如下：|贷款类型|申请人数|逾期率(%)|期望收益(元/人)||--|||-||房贷|1000|2|5000||车贷|800|5|3000||经营贷|600|8|4000|约束条件：1.总贷款金额不超过1亿元；2.房贷占比不低于50%；3.总逾期金额不超过200万元。要求：1.建立随机规划模型，确定最优审批方案；2.若车贷逾期率降低至3%，重新求解并分析变化。题目9（16分）：旅游景点游客流量预测问题某景区需预测未来三天游客流量，已知历史数据：|日期|平均游客量(人/天)|波动系数(%)|||-|--||周一|3000|20||周五|5000|30||周日|8000|40|约束条件：1.游客接待能力上限5000人/天；2.需准备应急物资（每100人需1件）；3.物资成本：食品每件50元，药品每件30元。要求：1.建立概率规划模型，确定物资储备方案；2.若周日游客量增加20%，重新求解并分析变化。答案与解析一、线性规划问题题目1答案模型：设x_A为线路A发车班次，x_B为线路B发车班次，x_C为线路C发车班次，y_A、y_B、y_C为站点数量。目标函数：MinZ=0.8x_A+0.2y_A+0.8x_B+0.2y_B+0.8x_C+0.2y_C约束：1.40≤x_A≤200,40≤x_B≤200,40≤x_C≤2002.0.8x_A+0.8x_B+0.8x_C≤2003.y_A≥1（覆盖火车站）,y_B≥1（覆盖商业区）,y_C≥1（覆盖大学城）4.4≤x_A≤8,4≤x_B≤8,4≤x_C≤85.y_A≤3（增加站点限制）题目2答案模型：设a_i,j为物流渠道i运输农产品j的数量。目标函数：MinZ=60a_1,1+80a_1,2+100a_1,3+40a_2,1+50a_2,2+70a_2,3+30a_3,1+45a_3,2+60a_3,3约束：1.a_1,1+a_2,1+a_3,1=200,a_1,2+a_2,2+a_3,2=150,a_1,3+a_2,3+a_3,3=1002.a_1,3≥100,a_2,2≤753.a_1,1+a_2,1+a_3,1≤200,a_1,2+a_2,2+a_3,2≤300,a_1,3+a_2,3+a_3,3≤400题目3答案模型：设f、w、r为火电、水电、风电发电量。目标函数：MinZ=0.4f+0.25w+0.3r约束：1.f+w+r=30002.f≤18003.w≥6004.r≥800二、整数规划与动态规划问题题目4答案模型：设d_i为医生排班天数，n_i为护士排班天数，h_i为护工排班天数。目标函数：MinZ=500∑d_i+400∑n_i+300∑h_i约束：1.d_A+d_B+d_C≥15,d_A+d_B≥12,d_C≥82.∑d_i≤60,∑n_i≤90,∑h_i≤1203.d_i≤3,n_i≤4题目5答案动态规划递推式：f_k(s)=max{新设备,改造设备,租赁设备}其中状态s表示剩余资金，决策变量为当前选择方案。三、图论与网络流问题题目6答案最小费用最大流模型：设a_i,j为道路流量。目标函数：MinZ=500a_A-B+600a_A-C+400a_B-D+...约束：1.a_A-B+a_A-C=300,...2.a_1,1+a_2,1+a_3,1≤5003.a_A-E≥0题目7答案整数规划模型：设x_i为区域i是否选址（0-1）。目标函数：MinZ=2000x_1+2500x_2+1800x_3约束：1.x_1+x_2+x_3≥32.2000x_1+2500x_2+1800x_3≤6000四、概率统计与随机