广西壮族自治区北海市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（有解析）

北海市2025年秋季学期期末教学质量检测八年级数学（考试时间：120分钟满分：120分）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.下列各式是分式的是（）A. B. C. D.2.下列长度的三条线段可以组成三角形的是（）A.3，4，2 B.12，5，6 C.2，5，9 D.5，2，73.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.下列命题是假命题的是（）A.两直线平行，同位角相等 B.若，则，C.对顶角相等 D.完全重合的两个图形全等5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A B. C. D.6.运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（）A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短C.两点确定一条直线 D.三角形具有稳定性7.下列运算结果正确的是（）A. B. C. D.8.如图，已知，，，则的度数是（）A B. C. D.9.如图，在中，，为中点，若，则（）A. B. C. D.10.《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（）A B.C. D.11.如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数是（）A. B. C. D.12.若关于的方程有增根，则的值是（）A.3 B. C.5 D.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．14.因式分解：______．15.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为__________．16.如图，，，P为上一点，若为直角三角形，则______．三、解答题：本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．18.先化简再求值：，其中a=-2．19.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）作∠ABC平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．20.综合与实践：【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．21.小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：小张：“小李，你骑车的平均速度比我快，比我少用了5分钟．”小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快，应该没有超速吧？”根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．22.边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）A．B．C．D．（2）若，，求的值；（3）计算：．23.（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________；（2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由；（3）【生活应用】校园广场的景观规划：如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由．北海市2025年秋季学期期末教学质量检测八年级数学（考试时间：120分钟满分：120分）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.下列各式是分式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．判断分式时，需要看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】选项A的分母是常数3，没有包含任何变量，因此不满足分式的定义．选项B的分母是常数2，尽管分子中含有变量a，但分母中无变量，因此根据定义，这也不构成分式．选项C的分母是常数，同样，分母中没有包含任何变量，因此这也不符合分式的定义．选项D的分母是，这里分母中包含了变量x，完全符合分式的定义．故选：D．2.下列长度的三条线段可以组成三角形的是（）A.3，4，2 B.12，5，6 C.2，5，9 D.5，2，7【答案】A【解析】【分析】本题考查构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过比较两个较短边之和与最长边的大小来判断即可．【详解】解：A．∵，∴可以组成三角形．B．∵，∴不能组成三角形．C．∵，∴不能组成三角形．D．∵，∴不能组成三角形．故选A．3.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．据此解答即可．【详解】解：，故选：C．4.下列命题是假命题的是（）A.两直线平行，同位角相等 B.若，则，C.对顶角相等 D.完全重合的两个图形全等【答案】B【解析】【分析】本题考查了命题的真假判断．选项B的命题不成立，因为存在反例，选项A、C、D均为真命题．【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，是真命题；B．当时，，但，是假命题；C．对顶角相等，是真命题；D．完全重合的两个图形全等，是真命题；故选：B．5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．【详解】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意；B、，故选项不符合题意；C、，故选项不符合题意；D、，故选项不符合题意；故选：A．6.运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（）A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短C.两点确定一条直线 D.三角形具有稳定性【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的稳定性，“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性．【详解】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰，所以D说法符合题意．故选：D．7.下列运算结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的加减运算法则，二次根式的乘法法则，完全平方公式逐一计算后判断即可．【详解】解：A．不是同类二次根式，不能合并，原计算错误；B．，原计算错误；C．，原计算错误；D．，原计算正确；故选：D．8.如图，已知，，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，，进而可得，然后根据平行线的性质求出，即可求解．【详解】解：，，，，，，，；故选：B．9.如图，在中，，为的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，又因为，所以可得：．【详解】解：在中，，为的中点，又，．故选：D．10.《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得：，故选：D．11.如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，先根据直角三角形的性质得到，利用基本作图得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据角的和差关系计算出即可．【详解】解：在中，，∴，由作图可知，∴是等边三角形，∴，∴．故选：C．12.若关于的方程有增根，则的值是（）A.3 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键．先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可．【详解】解：，两边都乘以得：，关于的方程有增根，，解得：，∴，．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得：．故答案为：．14.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．根据完全平方公式，即可得到答案．【详解】解：．故答案为：．15.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为__________．【答案】5【解析】【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度．【详解】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，

∴PB=PA，

而已知线段PA=5，

∴PB=5．

故答案为：5．本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论．16.如图，，，P为上一点，若为直角三角形，则______．【答案】1或4【解析】【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．分当是直角时，当是直角时两种情况分别求解．【详解】解：分以下两种情况讨论：如图，当是直角时，，，，；当是直角时，，，，，综上所述，的长为1或4，故答案：1或4．三、解答题：本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先计算零指数幂，负整数指数幂，利用平方差公式展开，再计算加减即可．【详解】解：．18.先化简再求值：，其中a=-2．【答案】,3【解析】【分析】可先对括号内，进行化简约分，对括号外除法化乘法，然后对括号内同分母分式加法进行计算，最后进行约分即可得到化简之后的结果，将a=-2代入化简之后的结果进行计算.【详解】原式=当a=-2，原式=3本题考查分式的化简求值，对于分式的化简在运算过程中要根据运算法则注意运算顺序，在化简过程中可先分别对分母分子因式分解，再进行约分计算.19.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）DA=BC，理由详见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作出BD；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=36°，然后根据等腰三角形的判定得到DA=DB，DB=DC，所以BD=AD．【详解】解：（1）如图所示，BD为所作；（2）DA=BC．理由如下：∵AB=AC，∴，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠ABD=∠A，∴DA=DB，∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴DA=BC．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20.综合与实践：【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．【问题解决】请你判断此方案否可行，并说明理由．【答案】此方案可行，详见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】解：此方案可行，理由如下：在和中，，所以，所以，所以的长即是的距离．21.小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：小张：“小李，你骑车的平均速度比我快，比我少用了5分钟．”小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快，应该没有超速吧？”根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．【答案】小李在骑行过程中有超速，详见解析【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，根据题意列方程求解后得到小李骑车的平均速度，进而求出小李的最快速度，即可判断．【详解】解：小李在骑行过程中有超速，理由如下，设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，∵小李比小张少用了5分钟，∴，解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，所以，，答：小李在骑行过程中有超速．22.边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）A．B．C．D．（2）若，，求的值；（3）计算：．【答案】（1）B（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，