数学基础自考试题及答案

数学基础自考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=x^2-2x+3\)的对称轴方程是\((\)\)A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)3.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，则\(a_5=(\)\)A.11B.12C.13D.144.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是\((\)\)A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)5.若\(\log_2x=3\)，则\(x=(\)\)A.6B.8C.9D.126.直线\(2x+y-1=0\)的斜率是\((\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.过点\((1,2)\)且平行于\(x\)轴的直线方程是\((\)\)A.\(x=1\)B.\(y=1\)C.\(x=2\)D.\(y=2\)8.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m=(\)\)A.3B.4C.5D.69.不等式\(x^2-4x+3\lt0\)的解集是\((\)\)A.\(\{x|1\ltx\lt3\}\)B.\(\{x|x\lt1或x\gt3\}\)C.\(\{x|-1\ltx\lt-3\}\)D.\(\{x|x\lt-1或x\gt-3\}\)10.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，则\(\alpha=(\)\)A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(\frac{\pi}{2}\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是偶函数的有\((\)\)A.\(y=x^2\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=|x|\)2.下列数列中，是等差数列的有\((\)\)A.\(1,3,5,7\)B.\(2,4,8,16\)C.\(1,1,1,1\)D.\(0,-2,-4,-6\)3.下列直线中，与直线\(y=2x+1\)平行的有\((\)\)A.\(y=2x-1\)B.\(y=-2x+1\)C.\(4x-2y+3=0\)D.\(2x-y+5=0\)4.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则下列关系正确的有\((\)\)A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\)中有元素不在\(A\)中5.在\(\triangleABC\)中，已知\(A=30^{\circ}\)，\(B=60^{\circ}\)，则\(C\)的度数可能是\((\)\)A.\(90^{\circ}\)B.\(120^{\circ}\)C.\(30^{\circ}\)D.\(60^{\circ}\)6.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的有\((\)\)A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\log_2x\)7.若向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(1,-1)\)，则下列运算结果正确的有\((\)\)A.\(\vec{a}+\vec{b}=(2,0)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(0,2)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)D.\(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)8.下列不等式中，解集为\(R\)的有\((\)\)A.\(x^2+2x+1\gt0\)B.\(x^2-2x+3\gt0\)C.\(2x^2+3x+4\gt0\)D.\(-x^2+x-1\lt0\)9.已知圆的方程为\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，则下列点在圆上的有\((\)\)A.\((1,0)\)B.\((3,2)\)C.\((1,4)\)D.\((-1,2)\)10.下列三角函数值正确的有\((\)\)A.\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)B.\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)C.\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)D.\(\sin\frac{\pi}{2}=0\)三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。\((\)\)2.函数\(y=\frac{1}{x}\)是奇函数。\((\)\)3.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)。\((\)\)4.直线\(x+y-1=0\)的倾斜角是\(45^{\circ}\)。\((\)\)5.等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，则\(a_3=4\)。\((\)\)6.函数\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)上单调递增。\((\)\)7.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,4)\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线。\((\)\)8.不等式\(x^2-2x+1\leq0\)的解集是\(\{1\}\)。\((\)\)9.圆\((x-2)^2+(y+3)^2=4\)的圆心坐标是\((2,-3)\)，半径是\(2\)。\((\)\)10.\(\log_28=3\)。\((\)\)四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=x^2-4x+5\)的最小值。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_1\)和\(d\)。3.求过点\((2,-1)\)且斜率为\(3\)的直线方程。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)的值。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=x^2-2x-3\)的单调性。2.讨论直线\(y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系。3.讨论等比数列\(\{a_n\}\)中，公比\(q\)对数列单调性的影响。4.讨论不等式\(ax^2+bx+c\gt0\)（\(a\neq0\)）的解集情况。答案一、单项选择题1.B2.A3.C4.C5.B6.B7.D8.D9.A10.B二、多项选择题1.ACD2.ACD3.ACD4.ABD5.A6.ABD7.ABCD8.BCD9.ABC10.ABC三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.对\(y=x^2-4x+5\)配方得\(y=(x-2)^2+1\)，因为\((x-2)^2\geq0\)，所以\(y\geq1\)，最小值为\(1\)。2.由等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)，两式相减得\(4d=8\)，\(d=2\)，代入\(a_1+2d=5\)得\(a_1=1\)。3.由点斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，过点\((2,-1)\)，斜率\(k=3\)，则直线方程为\(y+1=3(x-2)\)，即\(3x-y-7=0\)。4.因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。五、讨论题1.对\(y=x^2-2x-3\)配方得\(y=(x-1)^2-4\)，对称轴为\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上，\(y\)随\(x\)增大而减小；在\((1,+\infty)\)上，\(y\)随\(x\)增大而增大。2.圆\(x^2+y^2=1\)圆心\((0,0)\)，半径\(r=1\)，圆心到直线\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距离\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。当\(d\gt1\)即\(k=0\)时，相离；当\(d=1\)即\(k\)不存在时，相切；当\(d\lt1\)即\(k\neq0\)时，相交。3.当\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)或\(a_1\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)时，数列递增；当\(a_1\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)或\(a_1\lt0\)，\(q\gt1\)时，数列递减；当\(q=1\)时，