广西桂林市2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题（原卷版+解析版）

桂林市2025～2026学年度上学期期末质量检测高一年级数学（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.2.下列等式成立的是（）A. B.C. D.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.4.已知，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.5.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（）A. B.C. D.6.已知函数对任意都有成立，且，则（）A.8 B.4 C.0 D.27.已知不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（）A.55% B.50% C.40% D.45%二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中正确的有（）A.函数为奇函数B.函数的定义域为C.若函数在上减函数，则D.和表示同一个函数10.某书店的书架上有6本不同类型的书，编号为1、2、3、4、5、6．随机选一本阅读，设事件为“选到书的编号是奇数”，事件为“选到书的编号是3或6”，事件为“选到书的编号小于4”，下列说法正确的是（）A.和是互斥事件 B.和是相互独立事件C D.11.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.若，则的最小值是8C.的最小值为2D.若，则的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据2，3，5，11，x，7，8的平均数是6，则该组数据的中位数为________．13.已知幂函数的图象经过点，则______．14.已知函数对于正实数，定义集合，且，则的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，（1）求，；（2）若，求实数的取值范围．16.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级举办数学文化知识竞赛活动，现从1000名参赛的学生成绩中随机抽取100个成绩进行统计得到频率分布直方图如图所示．（1）求值；（2）以每组成绩的中点数值代表该组成绩，估计该校高一学生平均成绩；（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率．17.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.（1）求；（2）求函数解析式；（3）若函数，，求函数的最小值．18.某小区快递柜的日均使用频次随小区入住天数增长而上升，物业统计了入住第1、2、3天的日均使用频次如下表；入住天数123日均使用频次（次）51441技术人员提出三种函数模型刻画数据：①；②；③（含的项系数均不为0）．（1）从①②③中选择最合适的函数模型（并简要说理由）；（2）运用所选模型，求日均使用频次关于入住天数的函数解析式，并预测入住第5天的日均使用频次；（3）物业制定阶梯收费规则：若日均使用频次次（承载量80%），服务费元；若次，服务费元（240次内按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）．若物业计划当单日服务费达到1000元时，启动增配快递柜预案，求最早需要在入住第几天启动该预案（参考数据：，，结果保留整数）．19.已知函数为奇函数，其中为自然对数底数．（1）用定义证明函数的单调性；（2）解不等式；（3）已知函数与的图像关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围．桂林市2025～2026学年度上学期期末质量检测高一年级数学（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义得到答案；【详解】已知全集，，则，故选：C.2.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据根式的性质判断A，根据指数幂的运算法则判断BCD.【详解】因为，故A错误；因为，故B错误；因为，故C正确；因为，故D错误.故选：C3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案.【详解】由解析式知，函数在上单调递增，又，故函数的零点所在区间为.故选：B4.已知，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合对数函数与指数函数的单调性即可判断.【详解】因为，且，，故有.故选：D.5.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项CD，再通过计算确定答案.【详解】设，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项CD.当时，，所以排除B，选择A.故选：A.6.已知函数对任意都有成立，且，则（）A.8 B.4 C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数赋值法计算即可.【详解】令，则.故选：A.7.已知不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据指数函数、对数函数的单调性解不等式，求出集合，再根据充分、必要条件的定义判断即可.详解】由，得，即，由，得，即，则，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B8.某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（）A.55% B.50% C.40% D.45%【答案】D【解析】分析】根据函数模型，代入两组数据，化简可得、，即可得函数解析式，再代入即可.【详解】代入两组数据有，两式相除：，化简，解得或（舍），再代入求得，因此，代入，得.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中正确的有（）A.函数为奇函数B.函数的定义域为C.若函数在上是减函数，则D.和表示同一个函数【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由奇函数的定义即可判断；对于B，由根号下大于等于0即可判断；对于C，由一次函数的单调性即可判断；对于D，由相同函数的定义即可判断.【详解】对于A：易知的定义域为，因此定义域关于原点对称，又因为，故函数为奇函数，故A正确；对于B：由，解得，故函数的定义域为，故B正确；对于C：若函数在上是减函数，则，解得，故C正确；对于D：函数的定义域为，函数的定义域为，故和不表示同一个函数，故D错误.故选：ABC.10.某书店的书架上有6本不同类型的书，编号为1、2、3、4、5、6．随机选一本阅读，设事件为“选到书的编号是奇数”，事件为“选到书的编号是3或6”，事件为“选到书的编号小于4”，下列说法正确的是（）A.和是互斥事件 B.和是相互独立事件C. D.【答案】BC【解析】【分析】由题干可得事件和可以同时发生，进而可以判断选项A；求出事件和的概率和两者同时发生的概率，根据独立事件的定义即可判断B；利用和事件的概率公式求解即可判断选项C；找出事件同时发生的样本点并求出概率即可判断选项D.【详解】选项A，由题意知，事件包含样本点，事件包含样本点，则事件和事件可能同时发生，所以不是互斥事件，故A错误；选项B，由题意知事件发生的概率，事件包含的样本点为，则事件发生的概率，事件和事件同时发生的样本点为3，则事件和事件同时发生的概率，所以，和是相互独立事件，故B正确；选项C，由选项A，B可知，，，，所以，故C正确；选项D,事件和同时发生的样本点为，则，故D错误，故选：BC.11.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.若，则的最小值是8C.的最小值为2D.若，则的最大值为4【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式逐项求解最值即可得结论.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；对于B，因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是8，故B正确；对于C，因为，令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，故的最小值不为2，故C错误；对于D，因为，所以，则，当且仅当，即，时，等号成立，故最大值为4，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据2，3，5，11，x，7，8的平均数是6，则该组数据的中位数为________．【答案】6【解析】【分析】先根据平均数的计算公式求出的值，再将这组数据从小到大排序，根据中位数的定义求出中位数.【详解】由已知可得，解得.将数据从小到大排序为2，3，5，6，7，8，11，则该组数据的中位数为6.故答案为：6.13.已知幂函数的图象经过点，则______．【答案】3【解析】【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案.【详解】的图象过点，，则，，.故答案为：.14.已知函数对于正实数，定义集合，且，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据的定义且，作出函数图象，数形结合转化为有实数根，利用二次函数的值域求出的范围即可.【详解】当时，，此时，为增函数，当时，，此时，为增函数，若，则存在，使得成立，在同一平面直角坐标系中，作的图象由图可知，要使得成立需满足且，即有解，设，由知，，所以，即，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，（1）求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合，再由交集与并集的意义求解即可；（2）由题意可得，进而可得，求解即可.【小问1详解】因为，所以，；【小问2详解】由，又，所以，所以实数取值范围为．16.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级举办数学文化知识竞赛活动，现从1000名参赛的学生成绩中随机抽取100个成绩进行统计得到频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）以每组成绩的中点数值代表该组成绩，估计该校高一学生平均成绩；（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率．【答案】（1）0.03（2）74（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图所有小长方形面积和为1的性质列方程计算即可.（2）找出每组中点值及对应频率，根据平均数公式计算即可.（3）计算两组样本数，确定抽样比，得到每组抽样人数，结合概率计算公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可知，，整理得，解得.【小问2详解】每组成绩的中点值为：45，55，65，75，85，95；频率为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，所以平均成绩为.【小问3详解】抽取100个样本中，在的人数为，在的人数为.抽样比为，所以在中抽取的人数为，在中抽取的人数为.从中抽2人，共有10个基本事件；从中抽2人，共有1个基本事件；跨组抽共10个基本事件，故抽取方法共个基本事件.所以这两人来自不同的组的概率为.17.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.（1）求；（2）求函数的解析式；（3）若函数，，求函数的最小值．【答案】（1）0（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题设先求得，再结合偶函数的性质求解即可；（2）直接根据偶函数的性质求解即可；（3）结合（2）可得，，令，，则，进而结合二次函数的性质讨论求解即可.【小问1详解】由题意，当时，，则，又是定义在上的偶函数，则.【小问2详解】由题意，当时，，且是定义在上的偶函数，则时，，所以，即，所以.【小问3详解】由（2）知，，且，则，，令，，则，函数开口向上，对称轴为，当时，函数在上单调递增，则；当时，函数上单调递减，在上单调递增，则；当时，函数在上单调递减，则.综上所述，.18.某小区快递柜的日均使用频次随小区入住天数增长而上升，物业统计了入住第1、2、3天的日均使用频次如下表；入住天数123日均使用频次（次）51441技术人员提出三种函数模型刻画数据：①；②；③（含的项系数均不为0）．（1）从①②③中选择最合适的函数模型（并简要说理由）；（2）运用所选模型，求日均使用频次关于入住天数的函数解析式，并预测入住第5天的日均使用频次；（3）物业制定阶梯收费规则：若日均使用频次次（承载量80%），服务费元；若次，服务费元（240次内按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）．若物业计划当单日服务费达到1000元时，启动增配快递柜预案，求最早需要在入住第几天启动该预案（参考数据：，，结果保留整数）．【答案】（1）选②，理由见解析；（2），第5天的日均使用频次为365次；（3）第6天.【解析】【分析】（1）将表格数据代入各模型中的参数值，结合数据的单位增长率