北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合A=xx>−2,B=xx−1x−3A.−2, 1 B.−2, 3 C.1,3 D.1,32.已知复数z满足iz+2=2i，则在复平面内z对应的点所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在等比数列{an}中，若a1+a3A.6 B.9 C.15 D.814.已知m>n>0，则(

)A.mn<nm B.m+n>mn

5.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23.如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为86πA.18π B.24π C.30π D.36π6.已知抛物线C:y2=4x，直线l:ax−y−2a+3=0，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则a的取值有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.心理物理学中，史蒂文斯幂定律的对数形式可描述物理刺激强度I与主观感知强度S的关系：log2S=log2k+nlog2I，其中k，n均为大于0的常数.已知当物理刺激强度I从16单位增加到256单位时，log2S增加8；当物理刺激强度IA.4 B.6 C.8 D.108.已知数列an满足an=nn+1n−t，则“t<5A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知两点A, B的坐标分别为−1, 0, 1, 0，直线AM, BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，设M的轨迹为曲线C，下面关于曲线C①曲线C是中心对称图形；②对任意非零实数t，直线y=t与曲线C总有两个公共点；③对任意非零实数t，直线y=tx与曲线C总有两个公共点；④对任意非零实数t，曲线y=tx与曲线其中所有正确结论的序号是(

)A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④10.在边长为1的正三角形ABC中，P，Q分别在边AB，AC上，且PQ=12，则BP⋅CQA.[18,14] B.[二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.函数fx=1+cos2x的最小正周期是

12.已知2x−16=a6x6+a5x513.若双曲线x2+y2m=1的离心率e∈2, 314.在△ABC中，B=π3，b=4，则asinA=

；若△ABC的内切圆的半径为32，则△ABC15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，动点M，N分别在棱A1B1和CD上(包含端点)，P为线段MN的中点.给出下列四个结论：

①点P的轨迹是线段；

②C1P的最小值为255；

③对于给定的点N，总存在点M，使得经过点M，N及C1三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知函数fx=(1)当ω=2时，求fπ(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数fx唯一确定，求fx的解析式及在区间条件①：fx在x=π3条件②：fx的图象关于直线x=π6对称，且f条件③：fx在区间0, π6注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”(百分制，且均为整数)及对应的“行业评级”(评级越高，代表性能越优)，整理数据如下表：性能评分x行业评级公司数90≤x≤10051080≤x<904m70≤x<803n60≤x<702200≤x<60110(1)当m=30时，在这100家公司中，(i)从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率；(ii)从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求X的分布列和数学期望EX(2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为Y，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为y.设“Y<y”的概率为p1，“Y>y”的概率为p2，请根据表中信息比较p118.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD, BC//AD, ∠ADC=90∘, PA=AD=CD=3, BC=6．F, G分别为棱PC, PD上的点，(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求平面AFG与平面ABCD夹角的余弦值；(3)若点E为线段PB的中点，判断直线EF是否在平面AFG内？并说明理由．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2(1)求椭圆E的方程；(2)设点Mm, 0，Nn, 0m≠n，过点M的直线l与椭圆E交于不同的两点A, B，点A关于x轴的对称点记为P(P与B不重合).若mn=6，试判断三点20.已知函数fx=xlnx+aa>0.曲线y=f(1)求a的值；(2)求fx(3)若0<m<1，曲线y=fx在点Am,fm,B−m,f−m处的切线分别与x21.设n为正整数且n≥3，若由实数数对组成的序列A:x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn满足对任意i∈1,2,⋯,n，均有xi+(1)已知序列A:12,12,−13(2)当n=4时，判断是否存在U序列A:x1,y1(3)若任意U序列A:x1,y1,x参考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.D

6.C

7.A

8.C

9.B

10.A

11.π

12.1

；

；

；

；

；；728

13.−7(答案不唯一)

14.811

15.①③④

16.(1)依题意，fx所以当ω=2时，fx所以fπ(2)选条件①：fx在x=π3设fx的周期为T，则2π所以T=2π32k+1所以2π32k+1=2πω选条件②：fx的图象关于直线x=π6对称，且f由fx=2sinωx，得πω6=π2+kπ,k∈Z又ω>0，k∈Z，所以当k=0时，ω=3，此时fx当x∈−π9,2π9时，综上，fx的解析式为fx=2sin3x；当x=−π9时，fx取得最小值选条件③：fx在区间0,π6由fx=2sinωx，由fπ当x∈0,π6时，ωx∈0,π6ω，因为fx在区间0,π所以当k=1时，ω=3，此时fx当x∈−π9,2π9时，综上，fx的解析式为fx=2sin3x；当x=−π9时，fx取得最小值

17.(1)解：(i)当m=30时，可得性能评分不低于80分的公司有30+10=40家，其中行业评级为5级的公司有10家，所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为P=10由记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则X的可能取值为0,1,2，可得P(X=0)=C302P(X=2)=C所以随机变量X的分布列为X012P2953所以期望为EX(2)解：由题意，可得10+m+n+20+10=100，可得m+n=60，所有公司的行业评级总和为5×10+4×m+3×(60−m)+2×20+1×10=280+m，所以y=280+m100该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，则两家的评级都为2级的概率为C202两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为C201C两家的评级都为5级的概率为C102C因为y≥2.8>2，当且仅当Y=2时，满足Y<y，此时又因为y≤3.4<3.5且y≤3.4<5，当且仅当Y=3.5或Y=5，满足此时p2所以p1

18.(1)因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，则PA⊥平面ABCD；(2)如图过A作DC平行线交BC于L，由题设可得LC=AD=3．然后如图建立以A为原点的空间直角坐标系．则A0,0,0,P0,0,3因PF=12FC,PG=2GD则AF=AP+则AF=1,1,2,AG=则AF⋅n1=x1+又易得平面ABCD的法向量为n2设平面AFG与平面ABCD夹角为θ，则cosθ=(3)由(2)可得B3,−3,0，E32则FE=假设EF⊂平面AFG，则E,A,F,G四点共面，从而存在实数x,y，使FE=x则12=−x−y−52=−x+y−1

19.(1)因为椭圆E上的点到两焦点的距离之和为26，所以2a=2又因椭圆E的离心率为22，所以e=c所以b2故椭圆E的方程为x2(2)依题意，直线l的斜率不能为0，故可设其方程为x=ty+m，再设Ax1,y1

联立x26+令Δ=2tm2−4则y1+y又Nn,0，mn=6，所以n=又kPN=0−则kPN分子y=n===所以kPN−kBN=0又N为公共点，所以P, B, N三点共线．

20.(1)由fx则f′x=lnx+a+(2)由(1)知，fx=xln设gx=ln所以函数gx在−1,+∞上单调递增，又g则−1<x<0时，gx=f′x<0，所以函数fx的单调递减区间为−1,0，单调递增区间为0,+∞(3)由fx=xlnx+1，得而f′x=lnx+1+所以曲线y=fx在点Am,fm令y=0，得x=m−mlnm+1曲线y=fx在点B−m,f−m令y=0，得x=mln−m+1则x=m⋅−=m⋅=m设hm则h′m由于0<m<1，则1<m+1<2，0<1−m<1，则m+11−m>1，即所以函数hm在0,1上单调递增，则h即m+1ln由于0<m<1，则m2>0，由(2)知，−1<x<0时，f′x<0，x>0时，则f′m=ln所以x1

21.(1)由12+12=取λ1λ1λ1故λ1x1+λ(2)存在U序列A:x1,取x1则xi所以此时序列A:(0,1),(0,1),(0,1),(1,0)是U序列．对任意有序实数组λ1可得λ1λ1从而λ1所以序列A不是V序列．(3)若n为偶数，则n≥4．取x1则对于每个整数i,i∈{1,2,⋯,n}均有xi所以此时数对序列A是U序列．对任意有序实数组λ1λ1λ1所以λ1+λ所以λ1+λ所以λ1所以序列A不是V序列．若n为奇数，则n≥3．若对于一个V序列A，将其中的数对xi,y或者将xi,yi与xj所以不妨设对于任意i