解析：天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版）

第14页/共15页天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题第I卷（共36分）一、选择题（本题共9个小题，每题4分，共36分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算得解.【详解】因为，，所以，，故选：D2.（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由诱导公式即可得.【详解】.故选：B.3.若满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定的范围，即可判断选项.【详解】因，，，故.故选：A.4.下列四个命题中为真命题的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.设是两个集合，则“”是“”的充要条件C.“”是“”的必要不充分条件D.“”的否定是“”【答案】B【解析】【分析】根据充要条件的判断方法可确定ABD项，根据带量词的命题的否定要求可判断D项.【详解】对于A，当时，由可得，故充分性不成立；由可得，故可得，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，A错误；对于B，由可得，由也可推得，故“”是“”的充要条件，B正确；对于C，由可得：，则，故充分性成立；由可得：，而当时，，故必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因“”的否定是“”，故D错误.故选：B.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数的定义域并判断其奇偶性，排除部分选项，再利用在上函数值的正负判断得解.【详解】函数，对任意实数，（当且仅当时取等号，，又，即函数是R上的偶函数，而是奇函数，因此函数的定义域为R，是奇函数，图象关于原点对称，选项A错误；当时，，，选项BD错误，选项C符合要求.故选：C6.函数的零点所在的区间可能是（）A. B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.【详解】因为，所以，又函数图象连续且在0,+∞单调递增，所以函数的零点所在的区间是，，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.7.已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为，，可得，函数在上单调递增，得出，，即可求解．【详解】，，，则，，当时，由，解得，又，故；当时，由，得无解，同理当时，无解．故选：B．8.已知函数，下面结论中正确的是（）A.的图象关于点对称B.若，则C.的值域为D.若函数有两个零点，则的取值范围是【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判断AB选项；将函数的解析式化为分段函数的形式，结合反比例型函数的基本性质可求得的值域，可判断C选项；数形结合可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，则，所以，函数的图象不关于点对称，A错；对于B选项，因为，，B错；对于C选项，因为，当时，，则，则，当时，，当时，则，则，此时，，综上所述，函数的定义域为，C错；对于D选项，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，因为函数有两个零点，则的取值范围是0,1，D对.故选：D.9.已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，再结合二次函数的性质求解即可；【详解】作出图像，令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，则，解得，故选：.二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共25分）10.已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________．【答案】【解析】【分析】先根据扇形的周长求出半径，再根据扇形的面积公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，则，解得，所以该扇形的面积为.故答案为：.11.已知角的终边上有一点，则的值为______．【答案】【解析】【分析】由题意及三角函数的定义可得，再根据诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用化简后代入即可求值.【详解】因为角的终边上有一点，所以.所以.故答案为：.12._____________.【答案】##0.25【解析】【分析】根据分数指数幂和对数的运算性质，以及对数换底公式化简计算即得.【详解】.故答案为：.13.已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围.【详解】当时，，对称轴为直线，∵函数在区间上单调递增，∴，解得，∴参数a的取值范围为.故答案为：.14.已知函数，若时，方程的解分别为，，方程的解分别为，（），则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】首先通过求解含绝对值的方程，得到，同理解方程，得到，然后根据指数运算可得，最后根据的取值范围，结合函数单调性，即可求解的最小值.【详解】由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上单调递增；所以当时，所以，即的最小值为.故答案为：三、解答题（本题共5个小题，共59分）15.已知为锐角，为钝角，且，.（1）求值；（2）求值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及齐次式的方法即可求解；（2）先由，可求得，再由两角差的正切公式，即可求得结果.【小问1详解】由正弦二倍角公式，得，又，所以；【小问2详解】因为为锐角，且，可得，由，可得，所以，所以.16.某公司生产一种电子仪器的固定成本为30000元,每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为台，当月产量不超过400台时，总收益为元，当月产量超过400台时，总收益为80000元.（注：利润=总收益-总成本）（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元【答案】（1）；（2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为15000元.【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合分段函数，可直接列出利润表示为月产量的函数；

（2）利用分段函数的解析式，分段求解函数的最大值即可．【详解】（1）由题意得总成本为（）元，由题意，当时，；当时，；所以利润；（2）由（1）得，当时，，所以当时，的最大值为15000；当时，是减函数，所以；综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为15000元.【点睛】本题考查利用函数思想求解实际问题，求解函数的解析式是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域.【答案】（1）最小正周期为π，单增区间为（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，再用整体思想进行求解单调区间即可；（2）利用好平移变换和伸缩变换，再利用整个思想求值域即可.【小问1详解】的最小正周期为π；令，则，的单增区间为.【小问2详解】的图象向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来得到图象，得到的图象，，当则，当即时，单调递增当即时，单调递减，又，在的值域为.18已知函数.（1）求函数的值域；（2）试判断在区间的单调性，并证明；（3）对，总，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，再借助二次函数求出值域.（2）由（1）求出，再利用函数单调性定义推理得证.（3）求出函数在上的值域，函数在上的值域，再结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】函数，因此，当且仅当时取等号，所以函数的值域为.【小问2详解】由（1）知，，函数在区间上单调递增，，则，由，得，，则，即，所以在区间上是增函数.【小问3详解】当时，，因此，由（2）知在区间上单调递增，则由对，总，使成立，得，则，又，则，即，则，所以实数的取值范围是.19.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，根据三角函数的恒等变换化简，得，得到存在满足，即可作出判定；（2）根据可化为，令，得到方程在[2,+∞)有解可保证是“M类函数”，分离参数，即可求解.（3）由为其定义域上的“类函数”，得到存在实数使得，根据分段函数的解析式，结合函数的单调性，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，整理得，所以存在满足所以函数是“M类函数”.（2）当时，可化为，令，则，从而在[2,+∞)有解可保证是“M类函数”，即在[2,+∞)有解可保证是“M类函数”，设在[2,+∞)为单调递增函数，可得函数的最小值为，所以，即.（3）由在上恒成立，可得，