陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

高二年级数学试卷202601考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.2.已知数列满足，则（）A. B. C.5 D.73.已知向量，若，则（）A.7 B.5 C. D.4.若直线被圆截得的弦长为，则（）A. B. C.2 D.5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心轨迹是（）A.抛物线 B.双曲线的一支 C.椭圆 D.圆6.某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（）A.14 B.13 C.12 D.117.已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线满足，且间距离为，若的方程为，则的方程为（）A. B.C. D.10.在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（）A. B.C. D.11.已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（）A. B.是等比数列C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若成等差数列，则________．13.若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________.14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为．（1）若为等比数列，，，求的公比；（2）若为等差数列，，，求．16.已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18已知数列满足，．（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若，数列前项和为，证明：．19.已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.（1）求的标准方程；（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.①求的大小；②求四边形面积的最小值.高二年级数学试卷202601考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程即可求解准线方程.【详解】由得，即，故准线方程为，故选：C2.已知数列满足，则（）A. B. C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用，代值计算，即可求解.【详解】由数列满足，可得．故选：A.3.已知向量，若，则（）A.7 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共线定理进行求解即可.【详解】因为，所以，即.故选：D4.若直线被圆截得的弦长为，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】直接根据圆的弦长公式可得.【详解】由圆，圆心，半径.则圆心到直线的距离，又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.故选：A.5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（）A.抛物线 B.双曲线的一支 C.椭圆 D.圆【答案】C【解析】【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求.【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为，由题意得圆：，圆：，则，，，所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）.故选：C.6.某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】C【解析】【分析】记第组中无人机的架数为，可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，结合等差数列求和公式运算求解.【详解】记第组中无人机的架数为，由图形可得，可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，则数列的前项和，令，得，解得（舍）或，所以210架无人机可以同时排出的图形组数是12．故选：C7.已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解.【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得，所以，因为，故在椭圆内，所以，当在线段上时，等号成立.故选：B.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围.【详解】由题意知，，关于原点对称，不妨设点为第一象限内一点，则，，又，，所以，，记，因为为锐角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故选:D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解.【详解】设直线的方程为，则间的距离，解得，或，所以直线的方程为或.故选：AB.10.在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项通过空间向量的加减法，将向量按向量减法法则变形为，利用向量与基底的关系得到表达式；对于B选项根据空间向量的线性运算，通过选取路径，结合三等分点的向量表示，得出结果；对于C选项，展开向量平方并代入已知模长与夹角的内积公式，综合运用空间向量数量积的运算法则；对于D选项，通过计算其数量积是否为零来实现，再次利用已知夹角与向量内积的性质.【详解】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确；对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以，又，所以，故B正确；对于C选项，因为，，，所以，所以，故C错误；对于D选项，，所以，故D正确.故选：ABD11.已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（）A. B.等比数列C. D.【答案】AC【解析】【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD；【详解】对于A：由，可得：，所以：，所以，正确，对于B：所以，即是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以则，不是等比数列，错误；对于C：数列的第106项为213，又，，，，，，，所以，所以的前项和为，C对，D错；故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若成等差数列，则________．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用等差中项公式，列出方程，即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，解得．故答案为：.13.若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________.【答案】##【解析】【分析】利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离.【详解】设向量在直线上的投影向量为，则，所以点到直线的距离.故答案为：.14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值.【详解】曲线，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，作出曲线如图：到直线的距离，则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，只需考虑，时的情况；当，时，曲线C的方程为，曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，而到直线的距离为，由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，故的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为．（1）若为等比数列，，，求的公比；（2）若为等差数列，，，求．【答案】（1）1或（2）-100【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，解方程组即可（2）方法1：根据等差数列结合下标和性质即可求解；方法2，根据等差数列的公式列出关于和的方程组，解方程组即可.【小问1详解】设数列的公比为，由题意得两式相除，得，即，解得，或．【小问2详解】法1：由，，得，因为这些项成等差数列，且项数为80，由等差数列的性质，得，所以，所以，所以．法2：设数列的公差为，由，，得化简，得解得所以．16.已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆；（2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积的最小值.【小问1详解】由题意，圆心在直线上，可设，因为圆过点，且过点，可得，整理得，所以，即，且半径所以圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆，圆心，半径，则四边形的面积，设，因为，所以当时，，此时四边形的面积最小，最小值为；17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，进而得，再根据即可结合证明平面，最后证明结论；（2）分别取的中点，连结，进而证明对应的垂直关系，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.小问1详解】证明：因为四边形是正方形，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面PAD，所以，又平面，所以平面，又平面PCD，所以平面平面PCD.【小问2详解】解：分别取的中点，连结，因为，所以，且，因为四边形ABCD是正方形，分别是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，，又平面平面，所以，即，又，所以，以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设为平面的一个法向量，则令，得，所以.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和；（3）若，数列的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到，利用累乘法，求得，进而得到的通项公式；（