天津市部分区2025-2026学年第一学期期末练习高二数学试题（原卷版+解析版）

天津市部分区2025~2026学年度第一学期期末练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共36分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题4分，共36分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线在轴上的截距是（）A. B. C.1 D.2.已知向量与共线，则（）A.9 B.3 C. D.3.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知等差数列公差为，若，，成等比数列，则（）A. B. C. D.45.若直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（）A. B. C.或 D.或6.已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（）A.相交 B.相切 C.外离 D.内含7.设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（）A.3 B.4 C.5 D.68.在等差数列中，，，设，则（）A.41 B.50 C.61 D.749.已知，，点在曲线上，则的面积（）A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共84分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.抛物线的准线方程为________．11.向量与的夹角为______.12.直线被圆截得的弦长为，则实数______.13.设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______.14.如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米.15.双曲线：左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知为等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.17.已知圆的圆心在直线上，且经过点，.（1）求圆的方程；（2）求过原点且与圆相切的直线的方程.18.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.19.已知椭圆的焦距为，其左顶点为，上顶点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积.20.已知正项数列前项和为，满足.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，证明：.天津市部分区2025~2026学年度第一学期期末练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共36分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题4分，共36分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线在轴上的截距是（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】应用截距定义令计算求解.【详解】令，则，则直线在轴上的截距是1.故选：C.2.已知向量与共线，则（）A.9 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可.【详解】因为向量与共线，所以，解得，所以.故选：C3.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程求出，直接求离心率即可.【详解】由可得，所以，故，所以，故选：D4.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列列式得出，再应用等差数列通项公式计算求解.【详解】因为等差数列的公差为，又因为，，成等比数列，则，即得，所以，即，则.故选：C.5.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可.【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，所以.所以，即直线与平面所成角为.故选：A.6.已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（）A.相交 B.相切 C.外离 D.内含【答案】C【解析】【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系．【详解】圆可化简为：，因为圆与圆的圆心分别为和，所以两个圆的圆心距两个圆的半径分别为因为，所以两个圆外离.故选：C7.设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.【详解】如图，对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得.所以.故选：B8.在等差数列中，，，设，则（）A.41 B.50 C.61 D.74【答案】B【解析】【分析】根据已知条件先求出等差数列的通项公式，然后判断数列的性质，然后化简，最后根据等差数列的前项和公式计算即可.【详解】因为为等差数列，，所以设公差为，则由得.所以.当时，，当时，，记等差数列的前项和为，所以.由于.所以.故选：B.9.已知，，点在曲线上，则的面积（）A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值【答案】A【解析】【分析】根据题意可得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围.【详解】因为，，则，直线斜率，所以直线的方程为，即，双曲线的渐近线方程为，则直线与渐近线平行，两平行线间距离，曲线过点，过点与直线平行的直线方程为，两平行线间距离，结合图形可知点到直线的距离，则的面积，所以的面积有最大值，但没有最小值.故选：A.第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共84分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.【详解】由题,开口向左,且,故准线方程为,即.故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.11.向量与的夹角为______.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积坐标公式先求出余弦值，进而得到向量的夹角.【详解】因为向量与，所以.所以.又向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.故答案为：.12.直线被圆截得的弦长为，则实数______.【答案】2或【解析】【分析】利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式可求得实数的值.【详解】圆的圆心坐标为，该圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式可得，解得或.故答案为：2或.13.设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______.【答案】【解析】【分析】根据等比数列前项和公式化简等式，进而求出该数列的公比.【详解】因为等比数列的前项和为，设该等比数列的首项为，公比为，当公比时，，此时，不合题意，所以.当时，.因为，所以.解得，所以该数列的公比为.故答案为：.14.如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米.【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解.【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则，由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得，所以之间的距离为5厘米.故答案为：515.双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______.【答案】【解析】【分析】先根据题意列出圆的方程和双曲线的渐近线方程，然后将这两者联立，得到的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式列出等式，求得，最后根据面积公式得到等式，从而可求出，进而得到双曲线的方程.【详解】由题意可知，，双曲线的渐近线方程为.以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为.因为以为直径圆与的一条渐近线交于，两点，所以联立方程，得，化简得，所以，所以.因为，所以，解得.由于四边形的面积为，所以.由得，所以，解得.所以双曲线的方程为.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知为等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式计算即可.（2）先化简的表达式，然后根据分组求和进行计算即可.【小问1详解】设数列的公比为，由，，得，解得，又，故，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由（1）得，，.17.已知圆的圆心在直线上，且经过点，.（1）求圆的方程；（2）求过原点且与圆相切的直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可.（2）按切线斜率是否存在分类，再利用切线的性质，结合点到直线距离公式求解.【小问1详解】线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，，因此圆的圆心，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知圆的标准方程为.过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，等于半径，则直线与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，因此切线方程为，所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.18.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，进而证明结论.（2）根据点到平面的距离公式，结合（1）中求出的平面的法向量坐标计算即可.（3）先求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面与平面夹角的余弦值，进而得到结果.【小问1详解】如图，以为原点，，，所在的直线为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，∴，，∴，令，得，所以，因为，所以，又因平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知平面的法向量，记点到平面的距离为，则点到平面的距离为.【小问3详解】由题意点在线段上，可设，则，设平面法向量，∴，，∴令，得，，所以，因为平面与平面夹角的余弦值是，所以，解得，所以长为1.19.已知椭圆的焦距为，其左顶点为，上顶点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距先求出，然后结合线段的长求出，进而得到椭圆方程.（2）先根据垂直求出直线的斜率，然后设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据相切求出直线的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设椭圆的焦距为，则，.由可得，即，又，解得，∴椭圆的方程.【小问2详解】由（1）得，，∴直线的斜率为，记与直线垂直的直线为，∴直线的斜率为，设直线的方程为，与联立消去，得，∵直线与椭圆相切，∴，解得，因为与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点位于第一象限，所以，此时，方程为，即