高三数学文科二轮复习“124”小题提速练（一）（四）

“12+4”小题提速练（一）(限时：40分钟满分：80分)一、选择题1．集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|x2－4x≤0}，则A∩B＝()A．(1,3) B．{1,3}C．(5,7) D．{5,7}解析：选B因为集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{1,3}．2．已知z＝eq\f(1－3i,3＋i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为()A．－i B．iC．－1 D．1解析：选D∵z＝eq\f(1－3i,3＋i)＝eq\f(1－3i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(－10i,10)＝－i，∴z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝i，其虚部为1.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋a，|x|≤1，,－\f(10,|x|＋3)，|x|>1，))若f(0)＝2，则a＋f(－2)＝()A．－2 B．0C．2 D．4解析：选C∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋a，|x|≤1，,－\f(10,|x|＋3)，|x|>1，))由f(0)＝2，可得log2(0＋a)＝2，∴a＝4.∴a＋f(－2)＝4－eq\f(10,5)＝2.4．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝eq\f(π,3)，若向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为()A．100 B．200C．400 D．450解析：选C如图所示，作CD⊥OA于点D，连接OC并延长交扇形于点E，设扇形半径为R，圆C半径为r，∴R＝r＋2r＝3r，∴落入圆内的点的个数估计值为600·eq\f(πr2,\f(1,6)π3r2)＝400.5．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为()A．2 B．eq\r(5)C．eq\r(3) D．eq\r(2)解析：选A由题可知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，与圆相切，∴圆心(eq\r(3)，1)到渐近线的距离为eq\f(|\r(3)b－a|,\r(a2＋b2))＝1或eq\f(|\r(3)b＋a|,\r(a2＋b2))＝1，又a>0，b＞0，解得eq\r(3)a＝b，∴c2＝a2＋b2＝4a2，即c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝2.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是()A．－3 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．2解析：选A模拟程序框图的运算结果如下：开始S＝2，i＝1.第一次循环，S＝－3，i＝2；第二次循环，S＝－eq\f(1,2)，i＝3；第三次循环，S＝eq\f(1,3)，i＝4；第四次循环，S＝2，i＝5；第五次循环，S＝－3，i＝6；……，可知S的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出循环的i值2018＝504×4＋2，∴输出的S＝－3.7．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝3，则eq\o(CB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))的值为()A．3 B．－3C．－eq\f(9,2) D．eq\f(9,2)解析：选D由|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，两边平方可得|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up7(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝3|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋3|eq\o(AC,\s\up7(→))|2－6eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))，又|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝3，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(9,2)，∴eq\o(CB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝9－eq\f(9,2)＝eq\f(9,2).8．设{an}是公差不为0的等差数列，满足aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,6)＋aeq\o\al(2,7)，则{an}的前10项和S10＝()A．－10 B．－5C．0 D．5解析：选C由aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,6)＋aeq\o\al(2,7)，可得(aeq\o\al(2,6)－aeq\o\al(2,4))＋(aeq\o\al(2,7)－aeq\o\al(2,5))＝0，即2d(a6＋a4)＋2d(a7＋a5)＝0，∵d≠0，∴a6＋a4＋a7＋a5＝0，∵a5＋a6＝a4＋a7，∴a5＋a6＝0，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5(a5＋a6)＝0.9．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx的图象的大致形状是()解析：选B∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx，∴f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋e－x)－1))cos(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ex,1＋ex)－1))cosx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A，C；又由当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)<0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选B.10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，则直线AB的斜率为()A．B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)解析：选D作出抛物线的准线l：x＝－1，设A，B在l上的投影分别是C，D，连接AC，BD，过B作BE⊥AC于E，如图所示．∵eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，∴设|AF|＝3m，|BF|＝m，则|AB|＝4m由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC|＝|AF|＝3m，|BD|＝|BF|＝m，则|AE|＝2因此在Rt△ABE中，cos∠BAE＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(2m,4m)＝eq\f(1,2)，得∠BAE＝60°.所以直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，故直线AB的斜率为k＝tan60°＝eq\r(3).11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为()A．4π B．eq\f(28π,3)C．eq\f(44π,3) D．20π解析：选B由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r，所以r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\r(3)))2＋12)＝eq\r(\f(7,3))，则球面的表面积为4πr2＝4π×eq\f(7,3)＝eq\f(28π,3).12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为()A．0 B．1C．eq\f(9,4) D．3解析：选B∵x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均为正实数，∴eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,2\r(\f(x,y)×\f(4y,x))－3)＝1(当且仅当x＝2y时等号成立)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xy,z)))max＝1，此时x＝2y，则z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，满足题意．∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为1.二、填空题13．已知等比数列{an}中，a1＋a3＝eq\f(5,2)，a2＋a4＝eq\f(5,4)，则a6＝________.解析：∵a1＋a3＝eq\f(5,2)，a2＋a4＝eq\f(5,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝\f(5,2)，,a1q＋a1q3＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2)，,a1＝2，))∴a6＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(1,16).答案：eq\f(1,16)14．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝________.解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．设实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，,y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．解析：由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，∵a＞0，b＞0，∴直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，平移直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，由图象可知当y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6，))即A(4,6)．此时z＝4a＋6b＝10，即2a＋3即点(a，b)在直线2x＋3y－5＝0上，因为a2＋b2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d＝eq\f(|－5|,\r(22＋32))＝eq\f(5,\r(13))，故a2＋b2的最小值为d2＝eq\f(25,13).答案：eq\f(25,13)16．已知函数f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为________．解析：函数f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三个零点，即y＝|xex|与y＝m的图象有三个交点．令g(x)＝xex，则g′(x)＝(1＋x)ex，当x＜－1时，g′(x)＜0，当x＞－1时，g′(x)＞0，故g(x)＝xex在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g(－1)＝－eq\f(1,e)，又由x＜0时，g(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，故函数y＝|xex|的图象如图所示：由图象可知y＝m与函数y＝|xex|的图象有三个交点时，m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，故m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))“12＋4”小题提速练(二)(限时：40分钟满分：80分)一、选择题1．(2017·西安模拟)已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝()A．∅ B．{x|2＜x＜3}C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}解析：选C化简集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|2≤x＜3}．2．(2017·福州模拟)已知复数z＝2＋i，则eq\f(\x\to(z),z)＝()A．eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i B．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC．eq\f(5,3)－eq\f(4,3)i D．－eq\f(5,3)＋eq\f(4,3)i解析：选A因为z＝2＋i，所以eq\f(\x\to(z),z)＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i.3．设a＝log32，b＝ln2，c＝5，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析：选C因为a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5＝eq\f(1,\r(5))，eq\r(5)＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.4.(2018届高三·长沙一中月考)如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为()A. B.C. D.解析：选A每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A.5．(2017·合肥模拟)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≤4，,y≥2，))则目标函数z＝x＋2y的最大值为()A．5 B．6C．eq\f(13,2) D．7解析：选C作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))时，z取得最大值，zmax＝x＋2y＝eq\f(13,2).6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为()A．64 B．73C．512 D．585解析：选B依题意，执行题中的程序框图，当输入x的值为1时，进行第一次循环，S＝1＜50，x＝2；进行第二次循环，S＝1＋23＝9＜50，x＝4；进行第三次循环，S＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S的值为73.7．(2017·衡阳三模)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝()A．2n＋1－2 B．3nC．2n D．3n－1解析：选C因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2⇒an＋an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.8．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，若四面体ABCD体积的最大值为eq\r(3)，则这个球的表面积为()A．eq\f(169,16)π B．8πC．eq\f(289,16)π D．eq\f(25,16)π解析：选C如图所示，当点D位于球的正顶部时四面体的体积最大，设球的半径为R，则四面体的高为h＝R＋eq\r(R2－1)，四面体的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×sin60°×(R＋eq\r(R2－1))＝eq\f(\r(3),4)×(R＋eq\r(R2－1))＝eq\r(3)，解得R＝eq\f(17,8)，所以球的表面积S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,8)))2＝eq\f(289π,16)，故选C．9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(12＋－\r(3)2))＝2.当0＜r＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当1＜r＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2＜r＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r＜3时，圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，由圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1可得0＜r＜3，故p是q的充要条件，故选C．10．(2017·合肥模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.P是椭圆上一点，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且eq\o(F1Q,\s\up7(→))＝2eq\o(QP,\s\up7(→)).若eq\o(F1P,\s\up7(→))·eq\o(F2Q,\s\up7(→))＝0，则e2＝()A．eq\r(2)－1 B．2－eq\r(2)C．2－eq\r(3) D．eq\r(5)－2解析：选C由题意可知，在Rt△PF1F2中，F2Q⊥PF1，所以|F1Q|·|F1P|＝|F1F2|2，又|F1Q|＝eq\f(2,3)|F1P|，所以有eq\f(2,3)|F1P|2＝|F1F2|2＝4c2，即|F1P|＝eq\r(6)c，进而得出|PF2|＝eq\r(2)C．又由椭圆定义可知，|PF1|＋|PF2|＝eq\r(6)c＋eq\r(2)c＝2a，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(6)＋\r(2))＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，所以e2＝2－eq\r(3).11．(2017·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y＝eq\r(2)与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为eq\f(π,2)，则()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递减B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,8)))上单调递减C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,8)))上单调递增解析：选Df(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝eq\r(2)sinωx＋φ＋eq\f(π,4)，因为0＜φ＜π且f(x)为奇函数，所以φ＝eq\f(3π,4)，即f(x)＝－eq\r(2)sinωx，又直线y＝eq\r(2)与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为eq\f(π,2)，所以函数f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)，由eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，可得ω＝4，故f(x)＝－eq\r(2)sin4x，由2kπ＋eq\f(π,2)≤4x≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，即eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)≤x≤eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，令k＝0，得eq\f(π,8)≤x≤eq\f(3π,8)，此时f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,8)))上单调递增，故选D.12．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)解析：选D依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此对方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即实数a二、填空题13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝eq\f(π,3)，则eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝________.解析：由菱形的性质知|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\r(3)a，|eq\o(CD,\s\up7(→))|＝a，且〈eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝eq\f(π,6)，∴eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\r(3)a×a×coseq\f(π,6)＝eq\f(3,2)a2.答案：eq\f(3,2)a214．已知函数f(x)＝coseq\f(πx,6)，集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从M中任取两个不同的元素m，n，则f(m)·f(n)＝0的概率为________．解析：已知函数f(x)＝coseq\f(πx,6)，集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从M中任取两个不同的元素m，n，则m＝3,9时，f(m)＝coseq\f(πm,6)＝0，满足f(m)·f(n)＝0的个数为m＝3时有8个，n＝9时有8个，n＝3时有8个，n＝9时有8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f(m)·f(n)的值有72个，所以从M中任取两个不同的元素m，n，使f(m)·f(n)＝0的概率为P＝eq\f(30,72)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)15．(2017·洛阳模拟)为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.其中所有正确结论的序号是________．解析：根据查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．答案：①16．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在表面积为eq\f(289π,16)的球面上，底面ABC是边长为eq\r(3)的等边三角形，则三棱锥P­ABC体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R，则有4πR2＝eq\f(289π,16)，R＝eq\f(17,8)，△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(\r(3),2sin60°)＝1，球心到截面ABC的距离h＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,8)))2－12)＝eq\f(15,8)，因此点P到截面ABC的距离的最大值等于h＋R＝eq\f(17,8)＋eq\f(15,8)＝4，因此三棱锥P­ABC体积的最大值为eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×\r(3)2))×4＝eq\r(3).答案：eq\r(3)“12＋4”小题提速练(三)(限时：40分钟满分：80分)一、选择题1．已知集合M＝{x|16－x2≥0}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}解析：选C由M中16－x2≥0，即(x－4)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤4，所以M＝{x|－4≤x≤4}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}＝[1，＋∞)，则M∩N＝{x|1≤x≤4}．2．若复数z满足z(4－i)＝5＋3i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为()A．1－i B．－1＋iC．1＋i D．－1－i解析：选A由z(4－i)＝5＋3i，得z＝eq\f(5＋3i,4－i)＝eq\f(5＋3i4＋i,4－i4＋i)＝eq\f(17＋17i,17)＝1＋i，则复数z的共轭复数为1－i.3．由变量x与y的一组数据：x1571319yy1y2y3y4y5得到的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋45，则eq\x\to(y)＝()A．135 B．90C．67 D．63解析：选D根据表中数据得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋45过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则eq\o(y,\s\up6(－))＝2×9＋45＝63.4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是()A．输出a，b，c三个数中的最大数B．输出a，b，c三个数中的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列解析：选B由程序框图知：第一个判断框是比较a，b大小，a的值是a，b之间的较小数；第二个判断框是比较a，c大小，输出的a是a，c之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a，b，c三个数中的最小数．故选B.5．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象经过下列平移，可以得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))图象的是()A．向右平移eq\f(π,6)个单位 B．向左平移eq\f(π,6)个单位C．向右平移eq\f(π,3)个单位 D．向左平移eq\f(π,3)个单位解析：选B把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位，可得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象．6．已知f(x)是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上是减函数，又∵f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f(x)为[3,4]上的减函数，故充分性成立．若f(x)为[3,4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f(x)在[－1,0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f(x)为[0,1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．7．某三棱锥的三视图如图所示，其三个视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．6解析：选A由已知中的三视图可得，该三棱锥的底面面积S＝eq\f(1,2)×2×1＝1，高h＝1，故体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3).8．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝4，|b|＝1，且b⊥(a－xb)，则实数x为()A．4 B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：选B∵b⊥(a－xb)，∴b·(a－xb)＝0，即a·b－xb2＝4×1×cos60°－x＝0，解得x＝2.9．已知点P在直线x＝－1上移动，过点P作圆(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，相切于点Q，则切线长|PQ|的最小值为()A．2 B．2eq\r(2)C．3 D.eq\r(10)解析：选B圆心(2,2)到直线x＝－1的距离为d＝3＞r＝1，故直线和圆相离．故切线长|PQ|的最小值为eq\r(9－1)＝2eq\r(2).10．(2017·太原三模)已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为()A．126 B．130C．132 D．134解析：选C设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋23n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(23,2)))2＋eq\f(529,4).又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.11．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的半焦距为c(c＞0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝eq\f(15,8)(a＋c)x与椭圆交于B，C两点．若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(4,15)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：选D由题意得，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0，c为半焦距)的左焦点为F，右顶点为A，则A(a,0)，F(－c,0)．∵抛物线y2＝eq\f(15,8)(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，∴B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，－n)．∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF,2m＝a－c，则m＝eq\f(1,2)(a－c)．将B(m，n)代入抛物线方程得，n2＝eq\f(15,8)(a＋c)m＝eq\f(15,16)(a＋c)(a－c)＝eq\f(15,16)(a2－c2)，∴n2＝eq\f(15,16)b2.将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－c，\f(\r(15),4)b))代入椭圆方程，得eq\f(1,4)·eq\f(a－c2,a2)＋eq\f(15b2,16b2)＝1，化简得eq\f(a－c2,a2)＝eq\f(1,4).∵e＝eq\f(c,a)，∴4e2－8e＋3＝0，解得e＝eq\f(1,2)或eq\f(3,2).又∵0<e<1，∴e＝eq\f(1,2).故选D.12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x＋3，x≤1，,lnx，x>1，))若关于x的方程f(x)＝kx－eq\f(1,2)恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(e))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(e)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(e),e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(e),e)))解析：选D∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x＋3，x≤1，,lnx，x>1，))若关于x的方程f(x)＝kx－eq\f(1,2)恰有四个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－eq\f(1,2)有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象及直线y＝kx－eq\f(1,2)，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－eq\f(1,2)的下方，∴k×1－eq\f(1,2)＞0，解得k＞eq\f(1,2).又当直线y＝kx－eq\f(1,2)和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝eq\f(lnm＋\f(1,2),m－0)＝eq\f(1,m)，∴m＝eq\r(e)，此时，k＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(e),e)，f(x)的图象和直线y＝kx－eq\f(1,2)有3个交点，不满足条件，故k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(e),e))).二、填空题13．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上随机取一个数x，则事件“满足不等式|sinx|≤eq\f(1,2)”发生的概率为________．解析：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上，由不等式|sinx|≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)≤x≤π，故满足不等式|sinx|≤eq\f(1,2)发生的概率P＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5π,6))),π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,x＋2y－5≥0，,y－2≤0，))则z＝eq\f(y,x＋1)的取值范围为________．解析：由约束条件作出可行域如图，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,x＋2y－5＝0，))解得A(3,1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2，,x＋2y－5＝0，))解得B(1,2)．z＝eq\f(y,x＋1)的几何意义为可行域内的动点与定点P(－1,0)连线的斜率．∵kPA＝eq\f(1,4)，kPB＝1，∴z＝eq\f(y,x＋1)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))15．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数．根据前6行的规律，写出第7行的第3个数是________．解析：第7行第一个数和最后一个数都是eq\f(1,7)，第二个数加eq\f(1,7)要等于eq\f(1,6)，所以第二个数是eq\f(1,42)，同理第三个数加eq\f(1,42)等于eq\f(1,30)，则第三个数是eq\f(1,105).答案：eq\f(1,105)16．以抛物线y2＝8x的焦点为圆心，以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则当eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)取得最小值时，双曲线的离心率为________．解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，∵以抛物线y2＝8x的焦点为圆心，以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，∴eq\f(2b,\r(b2＋a2))＝b，∴a2＋b2＝4，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(1,b2)))(a2＋b2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4b2,a2)＋\f(a2,b2)))≥eq\f(1,4)(5＋4)＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝eq\r(2)b时，等号成立，即此时eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)取得最小值，∴c＝eq\r(3)b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)b,\r(2)b)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)“12＋4”小题提速练(四)(限时：40分钟满分：80分)一、选择题1．在复平面内，复数eq\f(1,1＋i2＋1)对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D因为eq\f(1,1＋i2＋1)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，所以其在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(2,5)))，该点在第四象限．2．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的()A．丁酉年 B．戊未年C．乙未年 D．丁未年解析：选A由题意可知2017年是“干支纪年法”中的丁酉年．3．点(eq\r(3)，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：选C把点(eq\r(3)，4)代入直线l的方程ax－y＋1＝0，得a＝eq\r(3)，所以直线l的斜率为eq\r(3)，所以倾斜角为60°.4．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a等于()A．255 B．127C．63 D．31解析：选A设an为i＝n时a的值，n∈N*.由题意得an＋1＝2an＋1⇒an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴an＝2n－1，可得a8＝255.易知输出的a的值等于a8.5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，过F2的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，若△AF1B的周长为16，|AB|＝6，则C的方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1解析：选A∵e＝eq\f(c,a)＝2，∴c＝2a.设|F2A|＝m，|F2B|＝n由双曲线的定义及题意得|F1A|＝2a＋m，|F1B|＝2a＋n，|AB|＝m∵△AF1B的周长为16，∴m＋2a＋n＋2a＋m＋解得a＝1，∴c＝2，∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)，∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.6．在△ABC中，AB⊥AC，AC＝eq\r(3)，点D满足条件eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，则eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))等于()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．3解析：选C由题意知eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).又AB⊥AC，AC＝eq\r(3)，∴eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))2＝2.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋6π B．12πC．24＋12π D．16π解析：选A由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.8．已知函数y＝max{f(x)，g(x)}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≥gx，,gx，fx＜gx，))则y＝max{sinx，cosx}的最小值为()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)解析：选C由题意可知y＝max{sinx，cosx}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(π,4)＋2kπ≤x≤\f(5,4)π＋2kπ，k∈Z，,cosx，－\f(3π,4)＋2kπ＜x＜\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，))其大致图象如图所示，由图可知，y＝max{sinx，cosx}的最小值为－eq\f(\r(2),2).9.如图，直线x＝t，t∈[－1,1]从左向右移动的过程中，半圆中阴影部分的面积S与t的函数图象大致是()解析：选A由题意可知S(t)max＝eq\f(π,2)，故排除B、D选项；当t∈(0,1)时，S△＝eq\f(1,2)teq\r(1－t2)≤eq\f(1,4)[t2＋(1－t2)]＝eq\f(1,4)，当且仅当t2＝1－t2，即t＝eq\f(\r(2),2)时，S△取得最大值eq\f(1,4)，即S(t)取得最小值eq\f(π,2)－eq\f(1,4)，∵eq\f(\r(2),2)＞eq\f(1,2)，故排除C选项，选A.10．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.O是坐标原点，且有|eq\o(eq\o(OA,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，那么k的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，＋∞)C．[eq\r(2)，2eq\r(2)) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析：选C当|eq\o(eq\o(OA,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中|OA|＝|OB|，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝eq\r(2)；当k＞eq\r(2)时，|eq\o(eq\o(OA,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|＞eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故k＜2eq\r(2).综上，k的取值范围为[eq\r(2)，2eq\r(2))．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)·sinC．若a＝eq\r(3)，则b2＋c2的取值范围是()A．(5,6] B．(3,5)C．(3,6] D．[5,6]解析：选A由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(1,2)，则A＝eq\f(π,3).又eq