《梯形的面积》探究式教学设计-以苏教版小学数学五年级上册为例

《梯形的面积》探究式教学设计——以苏教版小学数学五年级上册为例一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》出发，本课教学定位于“图形与几何”领域，核心在于发展学生的空间观念、推理意识和应用意识。在知识技能图谱上，学生此前已经掌握了平行四边形和三角形的面积计算公式，并初步体验了“转化”的数学思想方法。梯形面积的计算，既是多边形面积计算知识链中承上启下的关键一环，也为后续学习组合图形面积奠定了坚实的认知基础。其认知要求已从对单一图形的公式识记与理解，上升至在已知模型基础上进行方法迁移与主动建构，属于较高层级的应用与创造。在过程方法路径上，本课是渗透数学思想方法的绝佳载体。课程标准强调的“模型意识”在本课具体体现为从具体梯形实物中抽象出几何图形，进而通过剪、拼、移等操作活动，将未知的梯形面积计算转化为已知的平行四边形或三角形面积计算，最终归纳出普遍适用的字母公式（S=(a+b)h÷2），完成数学模型从具体到抽象、从特殊到一般的建构过程。在素养价值渗透层面，这一探究过程不仅能让学生深刻体会“转化”这一核心数学思想的力量，更能在小组协作、方案交流中培养其科学探究精神、逻辑推理能力和敢于创新、严谨求实的理性态度，实现知识学习与素养发展的同频共振。  基于“以学定教”原则进行学情研判，五年级学生已具备一定的动手操作能力、合作学习经验和初步的逻辑思维，这是开展本课探究学习的有利基础。然而，潜在的认知障碍可能存在于两方面：一是思维定势，部分学生可能机械套用此前平行四边形面积公式的推导经验（仅通过割补），难以自发想到用两个完全一样的梯形进行拼合的策略；二是在公式归纳与理解上，对公式中“（上底+下底）”与“高”除以“2”的几何意义理解可能存在困难，容易与三角形面积公式混淆。为动态把握学情，教学中将设计“前测性”提问回顾转化思想，在探究环节通过巡视观察、聆听小组讨论进行过程性评估，并在公式归纳后设置针对性追问。针对学生的多样性，教学支持策略将体现差异化：对于基础较弱的学生，提供“操作提示卡”和更多具象学具支持；对于思维活跃的学生，则鼓励其探索多种转化方法并论证其内在一致性，引导他们从“操作成功”走向“道理讲清”。二、教学目标  1.知识目标：学生通过动手操作、观察比较，经历梯形面积计算公式的探索过程。他们不仅能准确叙述梯形面积公式的推导思路，理解公式（上底+下底）×高÷2中每个部分的几何意义，并能运用公式正确、熟练地计算不同情境下的梯形面积，解决简单的实际问题。  2.能力目标：学生能主动运用“转化”的数学思想，通过剪拼、割补等方法，尝试将梯形转化为已学图形（如平行四边形、三角形），并在此过程中发展空间想象能力和动手操作能力。同时，在小组交流中，能够清晰、有条理地表达自己的推导方案和思考过程。  3.情感态度与价值观目标：学生在探究活动中体验数学“再创造”的乐趣和成功的喜悦，增强学习数学的自信心。在小组合作中，能认真倾听同伴意见，乐于分享自己的发现，初步形成团队协作意识和科学探究精神。  4.科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的“模型建构”思维和“推理意识”。学生需完成从具体实物感知到几何图形抽象，再到通过转化推理建立数学模型（公式）的全过程。课堂上将引导学生思考“为什么可以这样转化？”“不同方法推导出的公式本质一样吗？”，从而促进其逻辑推理的严谨性。  5.评价与元认知目标：引导学生学会评价不同推导方法的优劣与共性，反思“转化”策略的选择依据。在练习环节，鼓励学生运用估算、代入检验等策略对计算结果进行自觉验算，初步养成自我监控与反思的学习习惯。三、教学重点与难点  教学重点：梯形面积计算公式的推导过程及应用。确立此为重点，源于其在本单元知识结构中的枢纽地位：它是对“转化”思想的又一次深刻应用与巩固，其推导过程中展现的“将未知转化为已知”的思维策略，是解决更多复杂图形面积问题的通用钥匙。从能力立意看，这一过程直接关联空间观念、推理能力和模型意识等核心素养的发展，是本节课教学的灵魂所在。  教学难点：理解梯形面积计算公式的推导过程，特别是理解不同转化方法（如拼成平行四边形或分割成两个三角形）与最终公式（上底+下底）×高÷2之间的内在统一性。难点成因在于学生的思维需要完成一次跃迁：从具体的、可视的操作活动，抽象出图形要素（上底、下底、高）之间的数量关系。部分学生可能“会操作”但“说不清道理”，或对公式中“除以2”的意义理解模糊。突破方向在于，在操作后强化“说理”环节，利用动态课件演示，将不同方法的推导过程进行对比联系，引导学生在“形”的转化中看见“数”的关系。四、教学准备清单  1.教师准备    1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（包含梯形实物图片、图形转化动画、分层练习题）；梯形纸板教具若干。    1.2学习材料：设计分层《学习任务单》（内含探究记录表、分层练习区）；准备小组探究学具袋（内含完全一样的梯形硬纸片、普通梯形纸片、剪刀、直尺、彩笔等）。  2.学生准备    2.1知识预备：复习平行四边形和三角形的面积公式及推导过程。    2.2学具准备：携带常规文具。  3.环境布置    教室座位按46人小组合作形式排列，便于交流与操作。黑板划分出“猜想区”、“推导区”、“公式区”和“练习区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，提出问题：“同学们，请看屏幕（出示梯形大坝横截面、梯子侧面等图片）。在实际生活中，我们常常会遇到这样一种图形——梯形。如果工程师需要计算这个梯形大坝横截面的面积，以便估算混凝土用量，我们该怎么办呢？”（稍作停顿，引发思考）“对，我们需要知道梯形面积的计算方法。那梯形的面积究竟该怎么求呢？今天，就让我们化身小小数学家，一起来‘创造’梯形面积的公式！”  1.1唤醒旧知，明确路径：“在探索新知的路上，我们从不孤单。回想一下，我们是怎样得到平行四边形和三角形面积公式的？”（预设学生回答：转化成长方形、拼成平行四边形……）“没错，‘转化’是我们攻克图形面积问题的一大法宝。大家不妨先大胆猜一猜，梯形的面积可能会和它的哪些部分有关？我们可以怎样利用‘转化’这个法宝来研究它呢？”（板书课题，勾勒从“猜想”到“验证”再到“应用”的学习路线图）。第二、新授环节  本环节采用支架式教学，通过5个逐步递进的任务，引导学生自主建构知识。任务一：激活经验，提出猜想  教师活动：首先，引导学生观察手中的梯形学具，提问：“它的面积，我们暂时还不知道。但你看它，有哪些部分是我们认识的？”（引导学生指认上底、下底、高、腰）。接着，利用课件动态演示将梯形上底缩短至一点，提问：“看，如果上底不断变短，梯形会变成什么图形？”（三角形）。反之，演示上底延长至与下底等长，变成平行四边形。然后设问：“从这些变化中，你能大胆猜想一下，梯形的面积可能与什么有关？它的公式会不会是我们学过的某个公式的‘亲戚’呢？把你的猜想写在任务单上。”  学生活动：观察梯形各部分，观看课件动画，直观感受梯形与三角形、平行四边形之间的联系。独立思考，进行初步猜想（如：可能和上下底、高有关；可能像三角形面积一样要除以2；可能和（上底+下底）有关等），并记录。  即时评价标准：1.能否正确指认梯形的上底、下底和高。2.猜想是否基于图形的观察与联系，而非凭空臆断。3.能否用语言或图示简要说明自己的猜想理由。  形成知识、思维、方法清单：★1.猜想驱动学习：科学探究往往始于合理的猜想。引导学生基于图形间的联系进行猜想，是培养合情推理能力的重要起点。可以说：“猜想无所谓对错，重要的是你思考了。”▲2.图形动态关联：利用几何画板等工具动态演示梯形与三角形、平行四边形的转化，有助于学生建立知识之间的联系，为后续的转化操作提供直观的“心像”支持。任务二：提供支架，初探转化  教师活动：提出核心挑战：“怎样验证我们的猜想呢？关键在于‘转化’。请大家从学具袋中任选梯形纸片，开动脑筋，试着把它转化成我们会算面积的图形。如果觉得有困难，可以打开老师准备的‘智慧锦囊’（任务单上的提示：1.可以剪一剪、拼一拼；2.想一想，怎样能转化成平行四边形？怎样能转化成三角形？）。”教师巡视，重点关注有困难的小组，给予个别化指导。  学生活动：以小组为单位，利用剪刀、梯形纸片等学具，动手尝试操作。有的学生可能尝试剪拼，有的学生可能对照提示进行思考。小组成员间交流初步的想法和尝试结果。  即时评价标准：1.能否积极参与动手操作。2.在遇到困难时，是否尝试利用“智慧锦囊”或与同伴讨论。3.操作过程中是否注意安全和使用规范。  形成知识、思维、方法清单：★3.转化思想的实践：“转化”不是空话，必须通过动手操作来体验。教师提供的“智慧锦囊”是重要的学习支架，旨在为不同思维起点的学生搭建台阶，体现差异化支持。▲4.合作学习的启动：在独立尝试后的小组交流，能让思维在碰撞中萌芽。教师巡视时，应多听、多看，而非急于告知答案。任务三：聚焦拼合法，深入探究  教师活动：邀请一个用“两个完全一样梯形拼成平行四边形”方法的小组上台展示。“来，请你们组派代表，一边演示一边告诉大家，你们是怎么做的，拼成了什么？”引导学生清晰表述操作步骤。然后追问全班：“请大家仔细观察，拼成的这个平行四边形和原来的梯形之间，有什么‘秘密’关系？”通过一系列追问引导学生发现：平行四边形的底=梯形的（上底+下底），平行四边形的高=梯形的高，一个梯形的面积=平行四边形面积÷2。  学生活动：展示小组进行操作演示和讲解。台下学生观察、倾听，并思考教师提出的问题。在教师引导下，共同推导出关系：因为平行四边形面积=底×高=(上底+下底)×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。  即时评价标准：1.展示小组能否边操作边清晰表达。2.台下学生能否专注观察，并跟上推导的思路。3.能否准确找出转化前后图形各部分间的对应关系。  形成知识、思维、方法清单：★5.拼合法推导的核心逻辑：这是最直观、最常用的推导方法。关键要突破“两个完全一样的梯形”这一前提，以及理解“为什么平行四边形的底是（上底+下底）”。教师可拿起教具对比：“看，这个平行四边形的这条边，是不是由这个梯形的上底和那个梯形的下底‘手拉手’接起来的？”★6.对应关系的建立：公式推导的难点在于建立新旧图形要素间的对应关系。必须放慢节奏，通过提问、板书图示（画对应线、标数据）等方式，让每个学生都“看见”这种关系。任务四：拓展割补法，体会转化之妙  教师活动：肯定拼合法后，激发多元思维：“除了拼，还有别的转化方法吗？哪个小组用了不一样的‘魔法’？”请用“分割成两个三角形”或其他割补方法的小组分享。教师利用课件动态演示各种方法（如沿中位线剪开拼成平行四边形、沿对角线分成两个三角形等）。引导对比：“方法五花八门，但大家最终推导出的公式一样吗？这说明了什么？”让学生体会“殊途同归”，感悟数学的严谨与统一之美。  学生活动：其他小组展示不同的推导方法。全体学生观看课件演示，比较不同方法的异同。思考并讨论：为什么不同的转化方法能得到相同的公式？深化对公式本质的理解。  即时评价标准：1.展示小组能否清晰说明自己的割补思路。2.学生能否理解不同方法背后的共同点都是将梯形转化为已知图形。3.能否在对比中感受到数学方法的多样性与结论的一致性。  形成知识、思维、方法清单：▲7.方法的多样性与统一性：展示多种方法，不仅尊重了学生的不同思维成果，拓宽了视野，更重要的是通过对比，让学生深刻认识到公式（S=(a+b)h÷2）的普适性和强大概括力。可以说：“条条大路通罗马，但罗马只有一个——就是我们的面积公式。”★8.几何直观的运用：动态课件的演示，能将复杂的割补过程清晰化，帮助学生跨越操作细节的障碍，聚焦于图形关系的本质理解。任务五：抽象建模，形成公式  教师活动：带领学生回顾整个推导历程，将操作经验上升为数学模型。“经历了这么多探索，现在我们终于可以自豪地宣布我们的发现了！”板书梯形面积计算公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。介绍用字母表示：S=(a+b)×h÷2。强调公式中每个字母的含义以及“除以2”的几何意义。提问：“现在，谁能当个小老师，结合刚才的拼图，说说这个公式里的每一步分别表示什么？”  学生活动：跟随教师总结，齐读公式。尝试用字母表示公式。积极扮演“小老师”，指着黑板上的图示解释公式各部分的意义，特别是“(a+b)”和“÷2”对应的图形部分。  即时评价标准：1.能否准确记忆并默写公式的字母表达式。2.解释公式时，能否将符号与图形意义有效结合。3.是否真正理解“÷2”对应于“是平行四边形面积的一半”或类似几何事实。  形成知识、思维、方法清单：★9.数学模型的建立：从具体操作到抽象公式（S=(a+b)h÷2）是认识的飞跃。这一步骤将具体的、个性化的探究发现，凝聚为简洁、通用的数学语言，是模型意识形成的关键环节。★10.公式意义的深度理解：公式教学切忌停留在记忆层面。必须通过“小老师讲解”等活动，反复关联公式与推导过程，确保学生理解公式的“来龙去脉”，而非“死记硬背”。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式练习，提供即时反馈。  1.基础层（全体必做）：直接应用公式计算。出示几个标有明确上底、下底、高数据的梯形图形，让学生独立计算面积。“请大家先自己算一算，算完和同桌交换检查一下，看看数据代入和计算过程有没有问题。”教师巡视，收集典型计算错误（如忘记除以2、高找错）。  2.综合层（大多数学生完成）：情境应用与逆向思考。①解决导入中的“梯形大坝”实际问题（给出数据）。②已知梯形面积、上底和高，求下底（或变式）。“这道题有点像猜谜语，知道了面积和一部分，倒过来求另一部分，谁能挑战一下？”  3.挑战层（学有余力选做）：联系生活与简单推理。①计算一个近似梯形的实物（如足球门侧面）面积，需要先测量并选取合适的数据。②思考：一个梯形，上底扩大2倍，下底扩大2倍，高不变，面积怎么变？“想一想，不用具体算，用我们今天发现的‘秘密’就能推理出来。”  反馈机制：基础层练习采用同桌互评，教师公布答案并简要点评常见错误。综合层和挑战层题目，请不同层次的学生上台板演或讲解思路，教师针对其思维过程进行点评，强调解题策略和易错点。展示用不同方法解题的案例，鼓励一题多解。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。  1.知识整合：“同学们，这节课的探索之旅即将到站。谁能用一句话说说，我们最大的收获是什么？”（梯形面积公式）。“那我们是怎么得到这个公式的？可以画个简单的思维导图或者用几个关键词概括一下过程吗？”（猜想转化推导验证应用）。  2.方法提炼：“回顾整个过程，你觉得最重要的是哪种数学思想？”（转化）。“以后遇到新的、不会的图形问题，你会怎么办？”（引导学生说出尝试转化为已知图形）。  3.作业布置与延伸：    必做（基础性作业）：完成课本配套练习中关于梯形面积计算的基础题。    选做（拓展性作业）：（二选一）①寻找生活中3个梯形物体的面，估算并尝试计算其面积。②尝试推导或用其他方法验证梯形面积公式。    预习提示：“下节课，我们将用今天学到的本领，去解决更复杂的组合图形面积问题。大家可以提前观察一下，我们校园里有哪些地方可以看作是由梯形和其他图形组合而成的？”六、作业设计  1.基础性作业（必做）：    ①计算下列梯形的面积（直接给出34组上底、下底、高的数据）。    ②一个梯形广告牌，上底8米，下底12米，高5米，它的面积是多少平方米？    ③判断：两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。（）（旨在辨析概念）  2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：    ④一块梯形菜地，上底长20米，下底长34米，高是10米。如果每平方米种4棵白菜，这块地一共可以种多少棵白菜？（两步计算的实际问题）    ⑤画一个上底3厘米、下底5厘米、高4厘米的梯形，并计算出它的面积。（动手操作与计算结合）  3.探究性/创造性作业（选做）：    ⑥“我是微课小讲师”：请你录制一段不超过3分钟的小视频，用你喜欢的方式（画图、剪纸、讲解等）向低年级同学介绍梯形面积公式是怎么来的。    ⑦“梯形的变身秀”：研究一下，如果一个梯形的高不变，上底和下底的长度发生各种变化（如上底增加、下底减少等），它的面积会怎样变化？你能发现什么规律吗？把你的发现写下来或画出来。七、本节知识清单及拓展  ★1.梯形的定义与各部分名称：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边分别叫做上底和下底（通常较短的为上底，较长的为下底，但位置不固定）；不平行的一组对边叫做腰；两底之间的距离叫做高。  ★2.梯形面积的核心公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。字母公式：S=(a+b)×h÷2。必须理解每个字母的几何意义。  ★3.公式的核心推导方法（拼合法）：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形的（上底+下底），高等于梯形的高。一个梯形的面积是所拼平行四边形面积的一半，故得公式。  ▲4.其他推导方法（割补法）：将梯形沿对角线分割成两个三角形，两个三角形的面积之和（底1×高÷2+底2×高÷2）经提取公因数后同样可得S=(a+b)h÷2。体现了转化思想的多样性。  ★5.“转化”思想的应用：将未知的梯形面积问题，通过剪、拼、分割等手段，转化为已知的平行四边形或三角形面积问题。这是解决许多几何问题的通用策略。  ★6.公式应用的前提：必须准确找出对应的“上底”、“下底”和“高”。高必须是两底之间的垂直距离，腰的长度不能作为高。  ★7.计算易错点提醒：①忘记“除以2”；②未将上底和下底先相加再乘以高；③找错高（特别是非标准位置的梯形）；④单位不统一便计算。  ▲8.公式的变式应用：已知面积S、高h和上底a（或下底b），可求下底b（或上底a）：b=2S÷ha。这是公式的逆运用，有助于发展逆向思维。  ▲9.梯形与特殊四边形的关系：当梯形的一个底长度变为0时，梯形退化为三角形，面积公式S=(a+0)×h÷2=a×h÷2，与三角形公式一致。当梯形的上底和下底长度相等时，梯形变为平行四边形，面积公式S=(a+a)×h÷2=a×h，与平行四边形公式一致。这体现了数学知识间的统一联系。  ★10.解决实际问题的一般步骤：①识别图形（是否为梯形）；②找出所需数据（上底、下底、高，注意单位）；③代入公式计算；④作答并检查合理性。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析  本课预设的核心目标是学生能自主推导并理解梯形面积公式。从假设的课堂实况看，通过五个环环相扣的探究任务，绝大多数学生亲身经历了“转化推导”的全过程，能够清晰说出拼合法推导的思路，教学目标一基本达成。在能力与素养层面，学生在小组合作、方案展示中表现出了积极的探究热情和一定的表达能力，空间观念和推理意识得到了锻炼。然而，可能仍有部分学生处于“跟随操作”阶段，其思维的主动性与深刻性有待提升，这从“挑战层”问题的完成情况和“小老师”讲解的深度可窥一斑。情感目标方面，“再创造”的体验感较强，课堂氛围积极。  （二）教学环节有效性评估  1.导入与任务一：生活情境与动态关联的导入有效激发了兴趣，并为转化提供了心理暗示。但“猜想”环节若时间控制不当，易流于空泛，需引导学生紧扣图形要素进行有理猜想。  2.任务二与三（探究核心）：“提供支架”与“聚焦拼合法”的设计遵循了从开放探索到聚焦典型的认知规律，符合大多数学生的需求。巡视中的差异化指导至关重要，我设想自己当时应该更多地用提问引导，如“你想把它变成什么图形？”“怎么保证变过去后面积不变？”，而不是直接告知方法。小组展示后的追问是突破难点的关键，这里必须舍得花时间，让每个学生都想明白“为什么平行四边形的底是（a+b）”。  3.任务四（方法拓展）：此环节是提升课堂思维高度的关键。它不仅尊重了多元智能，更重要的是通过对比，实现了从“掌握一种方法”到“理解公式本质”的跃迁。反思中我自问：如果时间紧张，是否必须展示所有方法？结论是，至少应通过课件快速演示一到两种其他方法，并突出“殊途同归”的对比，否则公式的得出会显得单薄。  4.巩固与小结：分层练习满足了不同层次学生的需求，即时反馈（互评、讲评）有效巩固了学习效果。小结引导学生梳理过程、提炼思想，比教师单纯复述更重要。  （三）学生表现与差异化应对深度剖析  在假设的教学中，我预见到学生主要分化为几个层次：一是“快速领悟型”，能迅速想到拼合法并清晰说理，对他们是鼓励探索多解和挑战题；二是“稳步跟随型”，能在支架和同伴帮助下完成推导，他们是课堂的主体，需要确保其每一步都扎实理解；三是“缓慢启动型”，可能操作困难或理解滞后，他们需要教师更细致的个别关注