平均变化率问题与销售问题课件人教版（0）数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册【公开课课件】第21章一元二次方程21.3.2平均变化率问题与销售问题初中生小戴现在正处于青春期，身体发育较快，已知他去年四月份身高是170cm，今年四月份身高增长了5%.1.你知道其中的5%是什么意思吗?2.如果明年四月份身高增长依旧是5%，那他身高将是多少?3.他的身高一直会以5%的速度增长下去吗?今年增长的身高是去年身高的5%今年身高=170×（1+5%）=178.5明年身高=178.5×（1+5%）=187.425不会人教版九年级上册数学21.3.1传播问题、循环问题与数字问题

教学过程一、复习回顾，引出应用（5分钟）1.旧知唤醒：同学们，我们已经系统学习了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法，也掌握了根与系数的关系。谁能说说解一元二次方程的基本步骤？（引导学生回答：设未知数→列方程→解方程→检验取舍）2.情境导入：在实际生活中，很多问题都可以通过建立一元二次方程模型来解决，比如病毒传播的速度预测、体育比赛的场次安排、数字的规律探究等。这些问题看似复杂，只要我们找准等量关系，就能用所学知识轻松解决。今天我们就重点探究这三类典型问题的解法。（板书课题：传播问题、循环问题与数字问题）二、探究新知，分类突破（25分钟）（一）传播问题：找准“传播基数”是关键1.典型例题：流感是一种传染性极强的疾病，现有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2.师生共研：第一步：明确传播规律。设每轮传染中平均一个人传染x个人，第一轮传染时，传染源为1人，新增x名患者，所以第一轮结束后共有1+x人患流感；第二轮传染时，传染源变为1+x人，每人再传染x人，新增x(1+x)名患者，因此两轮结束后总患病人数为1+x+x(1+x)。第二步：建立等量关系。根据“两轮传染后共有144人患流感”，列方程：1+x+x(1+x)=144。第三步：解方程并检验。将方程整理为标准形式：(1+x)²=144，开方得1+x=12或1+x=-12（舍去负根），解得x=11。检验：x=11符合实际传播情况，因此每轮平均一人传染11人。3.变式拓展：若按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？（引导学生计算：144×(1+11)=1728人，强调第三轮的传播基数是第二轮结束后的总人数）4.规律总结：传播问题的核心是抓住“每轮传播的基数在变化”，若初始基数为a，每轮每人传播x人，经过n轮传播后的总数为a(1+x)ⁿ，据此建立方程即可。注意结果需符合实际，舍去负根。5.即时练习：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求每个支干长出的小分支个数。（提示：设小分支个数为x，等量关系为1+x+x²=43，解得x=6）（二）循环问题：区分“单循环”与“双循环”1.情境辨析：体育比赛中的循环赛制分为两种——单循环（每两队只赛一场）和双循环（每两队赛两场，主客场制）。这两种赛制的场次计算方式不同，需要特别注意。2.单循环例题：某少年宫组织足球赛，采取单循环赛制（每两个足球队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，可邀请多少支球队参加？3.建模过程：第一步：设未知数。设邀请x支球队参加比赛。第二步：分析场次关系。每支球队要与其余(x-1)支球队比赛一场，但A队与B队的比赛和B队与A队的比赛是同一场，因此总场次需除以2，即总场次为x(x-1)/2。第三步：列方程求解。根据“总场次为28场”，列方程x(x-1)/2=28，整理为x²-x-56=0，因式分解得(x-8)(x+7)=0，解得x=8（x=-7舍去）。因此可邀请8支球队。4.双循环变式：若改为双循环赛制（每两队赛两场），计划安排42场比赛，应邀请多少支球队？（引导学生思考：双循环无需除以2，总场次为x(x-1)，方程为x(x-1)=42，解得x=7）5.规律总结：单循环问题总次数=x(x-1)/2（x为参与对象数），双循环问题总次数=x(x-1)，核心是判断“是否存在重复计数”，避免漏乘或多乘1/2。（三）数字问题：利用“数位关系”建模1.典型例题：一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位数字与个位数字交换位置后得到的新两位数与原两位数的积是574，求原两位数。2.师生共研：第一步：用字母表示数位。设原两位数的个位数字为x，则十位数字为x+3，原两位数可表示为10(x+3)+x=11x+30；交换位置后新两位数为10x+(x+3)=11x+3。第二步：建立等量关系。根据“新两位数与原两位数的积是574”，列方程：(11x+30)(11x+3)=574。第三步：解方程并检验。展开方程得121x²+363x+90=574，整理为121x²+363x-484=0，两边除以121得x²+3x-4=0，因式分解得(x+4)(x-1)=0，解得x=1（x=-4舍去）。因此原两位数为11×1+30=41，检验：41×14=574，符合题意。3.规律总结：数字问题的核心是“数位×位权”，如两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字，设未知数时优先设个位数字，避免出现分数。三、例题精讲，巩固提升（10分钟）1.综合应用题：传播问题的延伸例1：某种病毒最初有2人感染，经两轮传播后共有50人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到控制，三轮传播后将有多少人被感染？解析：设每轮传染x人，第一轮新增2x人，第二轮新增x(2+2x)人，总人数为2+2x+x(2+2x)=50，整理得x²+2x-24=0，解得x=4（x=-6舍去）。三轮传播后人数为50×(1+4)=250人。强调初始基数不为1时的方程建立方法。2.易错辨析题：循环问题的计数例2：某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开通一条航线，一共开通了10条航线，该航空公司共有多少个飞机场？探究2

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？知识点1平均变化率问题下降率是下降的成本与前一年成本的比值；下降率=×100%前一年成本－本年成本前一年成本探究2

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?分析：下降后的量=下降前的量（1-下降率）设甲种药品成本平均每年的下降率为x.第一次下降前的量5000第二次下降前的量5000（1-x）下降率x第二次下降后的量5000（1-x）2下降率x设甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为

，再次下降后的成本变为

.（用代数式表示）5000(1-x)5000(1-x)2根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.（舍）算一算：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，乙种药品成本的年平均下降率是多少?设乙种药品成本平均每年的下降率为

y，

则由等量关系可得方程

.6000(1-y)2=3600（舍）两种药品成本的年平均下降率相等.成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.思考：经过计算，你能得出什么结论?成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况?

某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.解：设总产值的年平均增长率为x.

依题意100(1+x)2=121，

解得：x1=0.1，x2=-2.1(舍去)，

∴年平均增长率为10%.与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率.思维拓展解决下面的问题，它与探究2有什么不同？尝试归纳出变化率问题的计算公式平均增长率设基础量为a，平均增长率为x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为a(1+x)n平均降低率设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为a(1-x)2……依此类推，n次降低后的量为a(1-x)n增长率可以大于100%降低率不能大于100%例

某口罩生产厂生产口罩，1月份平均日产量为20000个，1月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个.(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少?分析：设口罩日产量的月平均增长率为x.基础量第1次增长后的量第2次增长后的量2000020000(1+x)20000(1+x)2解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x.根据题意，得20000(1+x)2=24200,解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去).答：口罩日产量的月平均增长率为10%.解题策略：一般地，平均变化率问题中形如a(1±x)2=b(a，b为常数)的一元二次方程用直接开平方求解比较简单.(2)24200×(1+10%)=26620(个).答：预计4月份平均日产量为26620个.例一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元?知识点2销售问题分析：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.每件盈利/元销售数量/件获得利润/元原来402040×20现在40-x20+2x(40-x)(20+2x)解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x2-30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因为要求每件盈利不少于25元，所以40-x≥25，解得x≤15.所以x2=20应舍去.所以x=10.答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.解题策略：用表格将题目中的各个量表示出来，可以直观地理顺它们之间的关系，便于从中找出等量关系，列出方程.如本题将每件盈利、销售数量、获得利润进行对比，从而比较容易地找出等量关系.销售问题中常见的几个等量关系：（1）利润=售价-进价；（2）（3）售价=进价×（1+利润率）；（4）总利润=总售价-总成本=单件利润×销售总量.知识点1

平均变化率问题

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返回3.［2025邯郸期中］为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的百分率是(

)C

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2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射升空.某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.已知该模型10月售出256件，11月、12月销量持续走高，12月售出40