53等比数列（第二课时）课件高二下学期数学人教B版选择性

5.3.1等比数列（第二课时）人教B版（2019）选择性必修第三册学习目标CONTENTS1.理解等比中项的概念，能用公式求解，体现逻辑推理能力（重点）2.掌握判断等比数列的常用方法，体现逻辑推理能力（重点）3.能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题，体现数学计算能力（难点）课程引入等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.上一节课我们学习了等比数列的概念，根据等差数列的学习，这节课我们学习等比数列的性质.课程内容教学等比中项的概念如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项.课程内容教学尝试与发现如果G为x与y的等比中项，那么G能用x与y表示出来吗？根据等比中项与等比数列的定义可知

，因此G2=xy.由此可知

举个例子:

课程内容教学想一想：G为x与y的等比数列的充要条件是G2=xy吗？为什么？必要性：如果G是x与y的等比中项，根据定义

，交叉相乘后立即得到G²=xy充分性：如果G²=xy成立，那么可以推导出

，从而证明G是x与y的等比中项.因此，G²=xy是G为x与y的等比中项的充要条件.课程内容教学例6：如果数列{an}中，

，在n≥3时恒成立，求证：{an}是等比数列.根据题意有因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列.结论：例6说明，如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列.课程内容教学尝试与发现设数列{an}的通项公式为an=2n-1，求出a2a7，a3a6，并比较它们的大小.因为a2a7=22-1×27-1=27a3a6=23-1×26-1=27所以a2a7=a3a6课程内容教学等比数列的性质一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则asat=apaq特别地，如果2s=p+q，则as2=apaq课程内容教学对于上面的性质进行证明：设{an}是等比数列，所以as=a1qs-1，at=a1qt-1ap=a1qp-1，aq=a1qq-1所以asat=a12qs+t-2，apaq=a12qp+q-2因为s+t=p+q，所以asat=apaq.如果2s=p+q，则as2=apaq课程内容教学例7：在4与

之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.

方法一：依题意，a1=4，a5=

，由等比数列的通项公式，得=4×q4，解得q=±2.

当q=时，插入的3个数分别为4×=2，2×=1，1×=

当q=-时，插入的3个数分别为4×(-)=2，2×(-)=1，1×(-)=-

课程内容教学例7：在4与

之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.

方法二：因为等比数列共有5项，即a1,a2,a3,a4,a5又因为2×3=1+5，所以a32=a1a5=4×=1

即a3=±1，又因为a3与a1同号，因此a3=1.类似地，有a22=a1a3，a42=a3a5，而且a2与a4同号.因此

课程内容教学判断一个数列是不是等比数列的常用方法(1)定义法：若(q为常数)，则数列{an}为等比数列；(2)等比中项法：若an2=an-1an+1(n≥2)，则数列{an}为等比数列；(3)通项法：若an=kqn(k，b为非零常数)，则数列{an}为等比数列；(4)性质法：若数列{an}，{bn}为等比数列，k为非零常数，则{kan}，{anbn}，

也是等比数列.课程内容教学等比数列的其他性质1.数列{an}中，每隔k(k∈N+)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk+1.2.数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等比数列.3.在数列{an}中，连续相邻k项的和（或积）构成公比为qk（或qk2）的等比数列.4.若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列，则am,an,