2026年中考数学二轮复习难点题型突破课件：应用探究型问题

应用探究型问题应用探究型问题类型：（1）利用不等式（组）设计方案.（2）利用概率设计方案.（3）利用函数知识设计方案.（4）利用几何知识设计方案.解题策略：建立方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型

等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.类型之一图形面积型问题1.

如图1，在边长为4 cm的正方形ABCD中，动点E，F同时从点A出发，

以1 cm/s的速度分别沿A→D→C和A→B→C的路径向点C运动.设运动

时间为t（单位：s），△EAF的面积为S（单位： cm2），则S关于t（0

＜t＜8）的函数图象如图2.图1

答图由题意可知，DE＝BF＝t－4，CE＝CF＝8－t，解：（1）当0＜t≤4时，

当4＜t＜8时，如答图，连接EF，答图由题意可知，DE＝BF＝t－4，CE＝CF＝8－t，图1

图1

图2（3）当t为何值时，S为2 cm2？图2

解：（3）当0＜t≤4时，

当4＜t＜8时，

2.

［2022•无锡］如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现

有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10 m），另外三面用栅栏围

成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为

24 m，设较小矩形的宽为x m.（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值.解：（1）如答图，∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD＝2x，答图解：（1）如答图，∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD＝2x，

依题意，得3x（8－x）＝36，解得x1＝2，x2＝6（不合题意，舍去），∴此时x的值为2.

解：（2）设矩形养殖场的总面积为S m2.

由（1），得S＝3x（8－x）＝－3（x－4）2＋48.∵－3＜0，

类型之二利润最值型问题3.

［2024•达州］为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将

A，B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B

品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘

礼盒的总价共3 500元.（1）A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价

为（x＋20）元.由题意，得25x＋15（x＋20）＝3 500，解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价

为（x＋20）元.由题意，得25x＋15（x＋20）＝3 500，解得x＝80，∴x＋20＝100.答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元.解得x＝80，∴x＋20＝100.答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元.

解：（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1 000－

m）盒.

解得595≤m≤600.设收益为w元.由题意，得w＝（80－50）m＋（100－60）•（1 000－m）＝－10m＋

40 000.∵－10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝595时，w有最大值，最大值为－10×595＋40 000＝34 050，此时，1 000－m＝1 000－595＝405.答：要使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼

盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元.解得595≤m≤600.设收益为w元.由题意，得w＝（80－50）m＋（100－60）•（1 000－m）＝－10m＋

40 000.∵－10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝595时，w有最大值，最大值为－10×595＋40 000＝34 050，此时，1 000－m＝1 000－595＝405.答：要使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼

盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元.

解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每

个进价为y元，

答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为

20元.（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金

购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品

多少个？解：（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品（400－

m）个，由题意，得40（400－m）＋20m≤12 000，解得m≥200，∴m的最小值为200.答：至少需要购进B款纪念品200个.解：（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品（400－

m）个，由题意，得40（400－m）＋20m≤12 000，解得m≥200，∴m的最小值为200.答：至少需要购进B款纪念品200个.（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，

售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a

（60≤a≤100）元，w表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），

求w关于a的函数表达式，并求出w的最大值.解：（3）由题意，得W＝（a－40）［200－5（a－60）］＝（a－40）

（200－5a＋300）＝（a－40）•（500－5a）＝500a－20 000－5a2＋200a＝－5（a－70）2＋4 500.∵－5＜0，60≤a≤100，∴当a－70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4 500.解：（3）由题意，得W＝（a－40）［200－5（a－60）］＝（a－40）

（200－5a＋300）＝（a－40）•（500－5a）＝500a－20 000－5a2＋200a＝－5（a－70）2＋4 500.∵－5＜0，60≤a≤100，∴当a－70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4 500.

解：（1）A款文创产品每件的进价为a元，则B款文创产品每件的进价为

解得a＝80，经检验，a＝80是原分式方程的解，80－15＝65.答：A款文创产品每件的进价为80元，则B款文创产品每件的进价为65元.解得a＝80，经检验，a＝80是原分式方程的解，80－15＝65.答：A款文创产品每件的进价为80元，则B款文创产品每件的进价为65元.（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，

根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品

共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大？最大

利润是多少元？解：（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100－x）件，

总利润为w，根据题意，得80x＋65（100－x）≤7 400，解：（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100－x）件，

总利润为w，根据题意，得80x＋65（100－x）≤7 400，解得x≤60，∴w＝（100－80）x＋（80－65）（100－x）＝5x＋1 500，∵k＝5＞0，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，利润最大，w最大＝5×60＋1 500＝1 800.答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得

的利润最大，最大利润是1 800元.解得x≤60，∴w＝（100－80）x＋（80－65）（100－x）＝5x＋1 500，∵k＝5＞0，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，利润最大，w最大＝5×60＋1 500＝1 800.答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得

的利润最大，最大利润是1 800元.6.

某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行

销售，经过市场调查，得到部分数据如下：销售价格x（元/千克）405060月销售量p（千克）6

0004

8003

600其中，月销售量是关于销售价格的一次函数.

解：（1）∵p与x成一次函数关系，∴设函数关系式为p＝kx＋b，将x＝40，y＝6 000和x＝50，y＝4 800代入，

∴所求的函数关系为p＝－120x＋10 800.

解：（2）设月销售利润为w元，∴w＝p（x－30）＝（－120x＋10 800）（x－30），即w＝－120x2＋14 400x－324 000，

14 400×60－324 000＝108 000（元）答：这批农产品的销售价格定为60元/千克时，月销售利润有最大，这个最

大月销售利润为108 000元.（3）在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运

往A，B两个销售网点进行销售.根据市场需求，A销售网点的销量应不

低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运往A，B两个销售网

点的运费分别为a元/千克（其中a＞0），3元/千克，请直接写出最优的

调运方案.解：（3）根据（2）得月销量p＝－120×60＋10 800＝3 600（kg），设运往A网点m kg，则运往B网点（3 600－m） kg，

解得1 200≤m≤1 800，总运费M＝am＋3（3 600－m）＝10 800＋（a－3）m.①当a＞3时，m取最小值1 200时M最小，此时，运往A地1 200 kg，运往B地3 600－1 200＝2 400（kg）；②当0＜a＜3时，m取最大值1 800时M最小，此时运往A地1 800 kg，运往B地3 600－1 800＝1 800（kg）；③当a＝3时，在1 200≤m≤1 800范围内的所有方案都可以.综上所述，最优方案：①当a＞3时，运往A地1 200 kg，运往B地

2 400 kg，②当a＜3时，运往A地1 800 kg，运往B地1 800 kg.③当a＝3时，在1 200≤m≤1 800范围内的所有方案都可以.综上所述，最优方案：①当a＞3时，运往A地1 200 kg，运往B地

2 400 kg，②当a＜3时，运往A地1 800 kg，运往B地1 800 kg.③当a＝3时，在1 200≤m≤1 800范围内的所有方案都可以.类型之三抛物线型问题7.

［2024•兰州］在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发

射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看

作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图

2建立平面直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型

号水火箭与地面所成角度一定时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面

OA的竖直高度y（单位：m）与离发射点O的水平距离x（单位：m）的

几组关系数据如下：（1）根据上面的数据，请确定抛物线的表达式；x－15）2＋9.

∴抛物线的顶点为（15，9）.∴可设抛物线为y＝a（x－15）2＋9.又抛物线过（10，8），

水平距离x/m0341015202227竖直高度y/m03.244.168987.043.24

∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m.图1

图28.

［2025•青岛］小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中，小磊从点O

正上方1.8米的A点将球击出.信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的

运动路线可以看作是二次函数y＝ax2＋bx＋1.8（a，b为常数）图象的一

部分，其中y（单位：米）是球的高度，x（单位：米）是球和原点的水

平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）.信息二：球和原点的水平距离x（单位：米）与时间t（单位：秒）

（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：t/秒00.40.6…x/米046…

解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋1.8的图象经过点（2，3.2）和（4，

4.2），

∴a＝－0.05，b＝0.8，∴y与x的关系式为y＝－0.05x2＋0.8x＋1.8.

解：（2）∵y与x的关系式为y＝－0.05x2＋0.8x＋1.8，

∴此时最大高度为－0.05×82＋0.8×8＋1.8＝5（米）.又根据信息二，x与t是一次函数关系，∴可设x＝kt＋c.又∵结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4），∴c＝0，且0.4k＋c＝4，∴k＝10，c＝0，∴一次函数为x＝10t，∴当x＝8时，t＝0.8，∴经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米.（3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作

是二次函数y＝－0.02x2＋px＋m（p，m为常数）图象的一部分，其中y

（单位：米）是球的高度，x（单位：米）是球和原点的水平距离.当网球

所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于或等于1.8时，p的取值范围

为

（直接写出结果）.（3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16，∴代入原抛物线得y＝－0.05×162＋0.8×16＋1.8＝1.8，即此时球的坐

标为（16，1.8）.又∵新抛物线y＝－0.02x2＋px＋m过点（16，1.8），得m＝1.8＋

0.02×162－16p＝6.92－16p，p≤0.36（3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16，∴代入原抛物线得y＝－0.05×162＋0.8×16＋1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8）.又∵新抛物线y＝－0.02x2＋px＋m过点（16，1.8），得m＝1.8＋

0.02×162－16p＝6.92－16p，∴抛物线为y＝－0.02x2＋px＋6.92－16p.又∵当x＝2时，y≥1.8，∴－0.02×22＋2p＋6.92－16p≥1.8，∴p≤0.36.∴抛物线为y＝－0.02x2＋px＋6.92－16p.又∵当x＝2时，y≥1.8，∴－0.02×22＋2p＋6.92－16p≥1.8，∴p≤0.36.类型之四分段函数型问题

（1）图中a的值是

，b的值是

⁠；（1）【解析】由图象可知，A，