广东省广州市越秀区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省广州市越秀区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形的是（）．A. B. C. D.2.已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（）A.点在内 B.点在上 C.点在外 D.无法确定3.如图，与是位似图形，点为位似中心，若，，，那么的长是（

）

A.4 B.6 C.8 D.104.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2＜0的解集是（）A.x＜-1

B.x＞2

C.-1＜x＜2

D.x＜-1或x＞25.如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（

）．

A. B. C.6 D.6.如图，在一块长，宽的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等．设花圃四周绿地的宽为，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，那么满足的方程是（

）．

A. B.

C. D.7.如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（

）．

A. B. C. D.8.下列事件为必然事件的是（）．A.相等的弦所对的弧相等

B.三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等

C.关于的方程有两个不相等的实数根

D.有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等9.形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（

）

A. B. C. D.10.已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（

）．A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.在平面直角坐标系中，点M（-2，4）关于原点对称的点的坐标是

．12.在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为

．

13.已知，为抛物线上不重合的两点，则

．14.用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为

．15.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是

．16.如图，直径为的上有一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度得到，点恰好落在直径上．

(1)若，则

；(2)若与相交于点，且，则

．三、计算题：本大题共1小题，共5分。17.解方程：

四、解答题：本题共8小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题5分)如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）．

(1)画出线段；(2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法）19.(本小题5分)据传说，为了估算金字塔的高度，古希腊数学家、天文学家泰勒斯在金字塔影子的顶部处立一根长2米的木杆，测得它的影长为3米，点为金字塔底面的中心，且为201米，求金字塔的高度．

20.(本小题5分)

已知号盒中有个白球、个黄球，号盒中有个白球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．(1)若从号盒中随机摸出个球，它是黄球的概率为，则

；(2)在（1）的条件下，分别从每个盒中各随机摸出个球，请用树状图或列表法求摸出的个球中个是白球、个是黄球的概率．21.(本小题5分)某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋．(1)求该商店三月份的销量；(2)求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．22.(本小题5分)如图，中，，为的中点，与相切于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．23.(本小题7分)

已知抛物线过点，点为抛物线与轴的一个交点．(1)用含的式子表示；(2)若点为定点，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，若抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，求的值．24.(本小题7分)龙舟比赛是端午节传统的比赛项目．某玩转数学小组发现：由于比赛龙舟长短不同，并不是所有龙舟都适合在同一条河道比赛．如图1，在型直角赛道进行龙舟比赛，以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．数学抽象绘制图形龙舟转弯示意图可近似如图2所示龙舟安全过弯示意图可近似如图3所示信息收集1．两河道宽均为米，龙舟长为米（龙头到龙尾之间的距离）；2．龙舟中间最宽处1米，中间部分的中点即为龙舟中心；3．当龙头行驶到河道中间某处时开始转弯，转弯过程可近似看作整个龙舟绕点逆时针旋转（在内外河道拐点的延长线上，转弯时龙头和龙尾在如图所示的圆弧上运动），此时测得，与旋转中心夹角．1．龙舟平面示意图可近似看成是轴对称图形；2．为保证龙舟能够安全过型直角弯道，龙舟在转弯开始前和转弯结束后都需行驶在河道正中间且与河岸平行；3．学习小组发现若龙舟能够安全过弯，转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米（如图3所示）．(1)若该小组经过测量得到河道宽为15米，请求出河道拐点处的距离；(2)假设在龙舟能够安全过弯的情况下，龙舟从竖直河道转到水平河道过程中龙头始终保持速度大小不变，并测得转弯时间为6秒，求龙头转弯过程中的速度大小；（结果用含的代数式表示）(3)在（1）条件下，该河道能够用于比赛的龙舟长度的最大值是多少？25.(本小题8分)

在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为抛物线在，之间的图象上一动点（点与点，不重合）．过点作轴于点，交于点，连接，．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值；(3)延长交的外接圆于点，连接，当线段取最小值时，求点的坐标．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】（2，-4）

12.【答案】

13.【答案】3

14.【答案】5

15.【答案】0或

16.【答案】【小题1】

【小题2】

17.【答案】解：因式分解，得，或，或．

18.【答案】【小题1】解：如图，线段即为所求；【小题2】解：如图，即为所求．

19.【答案】解：∵太阳光线平行，∴，又∵，，∴，∴，∴．∵米，米，米，∴，解得米．答：金字塔的高度为米．

20.【答案】【小题1】【小题2】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸出的个球中个是白球、个是黄球的结果有种，摸出的个球中个是白球、个是黄球的概率是．

21.【答案】【小题1】解：由题意得（袋）答：该商店三月份的销量144袋；【小题2】解：设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，，解得，（舍去），答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率．

22.【答案】【小题1】证明：如图，连接，，作于点．∵，为的中点，∴平分．∵与相切于点，∴是的半径，，∵，平分，∴．∴也是的半径，∴是的切线；【小题2】解：在中，，，∴．设，则．∵，为的中点，∴，即．在中，；在中，，∴，展开化简得，解得，∴．

23.【答案】【小题1】解：抛物线过点，，即，；【小题2】解：，，点为定点，含的项系数为零，即，，当时，，点的坐标为；【小题3】解：由（2）知，，对于，其顶点横坐标为，，抛物线开口向上，抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，在时，抛物线的最低点横坐标为，若顶点在区间内，即时，解得，此时，最低点为顶点，有，解得，，符合条件；若顶点不在区间内，即时，解得，此时，最低点为点，有，解得，，与相矛盾，不符合条件，综上，．

24.【答案】【小题1】解：如图，分别作、，则米，∵，∴四边形是矩形，∴米，∴米；【小题2】解：∵转弯时龙头和龙尾在同一圆弧上运动，∴，∵，∴是等边三角形，∴米，∵龙舟从竖直河道转到水平河道，∴整个龙舟绕点逆时针旋转，则转弯过程C点运动路程为米，∵转弯时间为6秒，∴转弯过程中的速度为；【小题3】解：如图，连接交河道边缘于H，则，∴，∴，即，∵转弯时龙头和龙尾在同一圆弧上运动，∴，∵，∴是等边三角形，∴，米，∴米，∵河道宽为15米，∴米，∴米，∴米，∵龙舟中间最宽处1米，∴米，∴米，∵转弯过程中龙舟中间处边缘与