2026年高等数学最优控制专项练习试题冲刺卷

2026年高等数学最优控制专项练习试题冲刺卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高等数学最优控制专项练习试题冲刺卷考核对象：高等院校理工科专业学生（中等级别）题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）请判断下列说法的正误。1.最优控制问题的目标函数总是连续可微的。2.最优控制问题的状态方程必须满足线性时不变条件。3.最优控制问题的动态规划方程是贝尔曼方程的另一种表述形式。4.最优控制问题的哈密顿函数是对状态变量和协状态变量的函数。5.最优控制问题的极值曲线必须满足横截条件。6.最优控制问题的最优控制量一定是状态变量的线性函数。7.最优控制问题的最优性原理是动态规划方法的理论基础。8.最优控制问题的最优解一定是唯一的。9.最优控制问题的最优控制量可以是分段常值函数。10.最优控制问题的最优性原理适用于所有类型的最优控制问题。二、单选题（每题2分，共20分）请选择最符合题意的选项。1.在最优控制问题中，下列哪个条件是必要条件？（）A.目标函数必须是非负的B.状态方程必须满足线性时不变条件C.控制量必须满足约束条件D.状态变量必须满足初始条件2.最优控制问题的动态规划方程中，下列哪个项是贝尔曼方程的核心部分？（）A.目标函数的一阶导数B.状态方程的雅可比矩阵C.最优值函数的梯度D.最优控制量的约束条件3.最优控制问题的哈密顿函数中，下列哪个变量是协状态变量？（）A.控制量B.状态变量C.最优值函数D.时间变量4.最优控制问题的横截条件中，下列哪个条件是必须满足的？（）A.状态变量的初始值必须为零B.协状态变量的终端值必须为零C.控制量的终端值必须为零D.最优值函数的终端值必须为零5.最优控制问题的最优性原理中，下列哪个条件是关键？（）A.目标函数的凸性B.状态方程的线性性C.控制量的连续性D.最优值函数的平滑性6.最优控制问题的最优解中，下列哪个方法可以用于求解？（）A.数值优化方法B.符号计算方法C.解析求解方法D.以上都是7.最优控制问题的最优控制量中，下列哪个条件是常见的？（）A.控制量必须是状态变量的线性函数B.控制量必须是时间变量的线性函数C.控制量必须是目标函数的线性函数D.控制量必须是协状态变量的线性函数8.最优控制问题的最优性原理中，下列哪个条件是假设？（）A.状态方程必须满足线性时不变条件B.目标函数必须满足凸性条件C.控制量必须满足约束条件D.最优值函数必须满足平滑性条件9.最优控制问题的最优解中，下列哪个方法可以用于验证？（）A.数值仿真方法B.解析验证方法C.实验验证方法D.以上都是10.最优控制问题的最优性原理中，下列哪个条件是应用前提？（）A.状态方程必须满足线性时不变条件B.目标函数必须满足凸性条件C.控制量必须满足约束条件D.最优值函数必须满足平滑性条件三、多选题（每题2分，共20分）请选择所有符合题意的选项。1.最优控制问题的最优性原理中，下列哪些条件是关键？（）A.目标函数的凸性B.状态方程的线性性C.控制量的连续性D.最优值函数的平滑性2.最优控制问题的最优解中，下列哪些方法可以用于求解？（）A.数值优化方法B.符号计算方法C.解析求解方法D.实验验证方法3.最优控制问题的最优控制量中，下列哪些条件是常见的？（）A.控制量必须是状态变量的线性函数B.控制量必须是时间变量的线性函数C.控制量必须是目标函数的线性函数D.控制量必须是协状态变量的线性函数4.最优控制问题的最优性原理中，下列哪些条件是假设？（）A.状态方程必须满足线性时不变条件B.目标函数必须满足凸性条件C.控制量必须满足约束条件D.最优值函数必须满足平滑性条件5.最优控制问题的最优解中，下列哪些方法可以用于验证？（）A.数值仿真方法B.解析验证方法C.实验验证方法D.理论推导方法6.最优控制问题的最优性原理中，下列哪些条件是应用前提？（）A.状态方程必须满足线性时不变条件B.目标函数必须满足凸性条件C.控制量必须满足约束条件D.最优值函数必须满足平滑性条件7.最优控制问题的最优控制量中，下列哪些条件是常见的？（）A.控制量必须是状态变量的线性函数B.控制量必须是时间变量的线性函数C.控制量必须是目标函数的线性函数D.控制量必须是协状态变量的线性函数8.最优控制问题的最优性原理中，下列哪些条件是关键？（）A.目标函数的凸性B.状态方程的线性性C.控制量的连续性D.最优值函数的平滑性9.最优控制问题的最优解中，下列哪些方法可以用于求解？（）A.数值优化方法B.符号计算方法C.解析求解方法D.实验验证方法10.最优控制问题的最优性原理中，下列哪些条件是应用前提？（）A.状态方程必须满足线性时不变条件B.目标函数必须满足凸性条件C.控制量必须满足约束条件D.最优值函数必须满足平滑性条件四、案例分析（每题6分，共18分）1.问题描述：考虑一个线性时不变最优控制问题，状态方程为：\[\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\quadx(0)=x_0\]目标函数为：\[J=\frac{1}{2}x(T)^TQx(T)+\frac{1}{2}\int_0^Tx(t)^TRx(t)\,dt\]控制量\(u(t)\)满足约束：\[|u(t)|\leq1\]请写出该问题的哈密顿函数，并说明如何利用极值原理求解最优控制量\(u(t)\)。2.问题描述：考虑一个非线性最优控制问题，状态方程为：\[\dot{x}(t)=x(t)+u(t)^2,\quadx(0)=1\]目标函数为：\[J=\int_0^1(x(t)^2+u(t)^2)\,dt\]请写出该问题的哈密顿函数，并说明如何利用动态规划方法求解最优控制量\(u(t)\)。3.问题描述：考虑一个最优控制问题，状态方程为：\[\dot{x}(t)=-x(t)+u(t),\quadx(0)=1\]目标函数为：\[J=\int_0^2(x(t)^2+u(t)^2)\,dt\]控制量\(u(t)\)满足约束：\[|u(t)|\leq1\]请写出该问题的最优性原理，并说明如何利用极值原理求解最优控制量\(u(t)\)。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述题：请论述最优控制问题的最优性原理，并说明其在实际工程中的应用价值。2.论述题：请论述最优控制问题的动态规划方法，并说明其在求解复杂控制问题时的优势与局限性。---标准答案及解析一、判断题（每题2分，共20分）1.√最优控制问题的目标函数通常假设为连续可微，以保证优化问题的可解性。2.×最优控制问题的状态方程可以是线性的或非线性的，不一定满足时不变条件。3.√动态规划方程是贝尔曼方程的另一种表述形式，用于求解最优控制问题。4.√哈密顿函数是状态变量、协状态变量和控制量的函数，用于描述最优控制问题的最优性条件。5.√极值曲线必须满足横截条件，以保证最优解的可行性。6.×最优控制量的形式可以是线性的或非线性的，不一定必须是状态变量的线性函数。7.√最优性原理是动态规划方法的理论基础，用于求解最优控制问题。8.×最优解不一定是唯一的，可能存在多个最优解。9.√最优控制量可以是分段常值函数，例如在约束条件下。10.×最优性原理适用于某些类型的最优控制问题，但不适用于所有问题。二、单选题（每题2分，共20分）1.C控制量必须满足约束条件，这是最优控制问题的基本要求。2.C最优值函数的梯度是贝尔曼方程的核心部分。3.B协状态变量是哈密顿函数中的状态变量对应的时间导数。4.B协状态变量的终端值必须为零，这是横截条件的关键。5.A目标函数的凸性是最优性原理的关键条件。6.D以上都是，数值优化方法、符号计算方法和解析求解方法都可以用于求解最优控制问题。7.A控制量通常是状态变量的线性函数，这是常见的最优控制形式。8.B目标函数必须满足凸性条件，这是最优性原理的假设。9.A数值仿真方法可以用于验证最优控制问题的最优解。10.B目标函数必须满足凸性条件，这是最优性原理的应用前提。三、多选题（每题2分，共20分）1.A,D目标函数的凸性和最优值函数的平滑性是关键条件。2.A,B,C数值优化方法、符号计算方法和解析求解方法都可以用于求解最优控制问题。3.A,B控制量通常是状态变量或时间变量的线性函数。4.A,B,C状态方程的线性性、目标函数的凸性和控制量的约束条件是假设条件。5.A,B,C数值仿真方法、解析验证方法和实验验证方法都可以用于验证最优解。6.A,B,C状态方程的线性性、目标函数的凸性和控制量的约束条件是应用前提。7.A,B,D控制量通常是状态变量、时间变量或协状态变量的线性函数。8.A,D目标函数的凸性和最优值函数的平滑性是关键条件。9.A,B,C数值优化方法、符号计算方法和解析求解方法都可以用于求解最优控制问题。10.A,B,C状态方程的线性性、目标函数的凸性和控制量的约束条件是应用前提。四、案例分析（每题6分，共18分）1.哈密顿函数：\[H=\frac{1}{2}x^TQx+\frac{1}{2}\int_0^Tx^TRx\,dt+\lambda^T(Ax+Bu)\]极值原理：-最优性原理：\[\frac{\partialH}{\partialu}=0\Rightarrow\lambda^TB=0\]\[\dot{\lambda}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-Qx-Rx\]-横截条件：\[\lambda(T)=0\]求解步骤：1.由\(\lambda^TB=0\)得到最优控制量\(u(t)\)的形式。2.代入状态方程和协状态方程，求解微分方程组。3.利用横截条件确定终端协状态变量。2.哈密顿函数：\[H=x^2+u^2+\lambda(x+u^2)\]动态规划方法：-贝尔曼方程：\[V(x)=\min_{u}\left\{x^2+u^2+\lambda(x+u^2)+V(x+u)\right\}\]-求解步骤：1.对\(u\)求导并令其为零，得到最优控制量\(u^\)。2.代入贝尔曼方程，求解最优值函数\(V(x)\)。3.最优性原理：\[H=x^2+u^2+\lambda(-x+u)\]-最优性条件：\[\frac{\partialH}{\partialu}=0\Rightarrow2u+\lambda=0\Rightarrowu=-\frac{\lambda}{2}\]\[\dot{\lambda}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-2x+\lambda\]-横截条件：\[\lambd