九年级数学“一元二次方程求根公式的深化应用与根的判别式”教学设计（第二课时）

九年级数学“一元二次方程求根公式的深化应用与根的判别式”教学设计（第二课时）一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生在掌握配方法、已初步了解一元二次方程求根公式的基础上，对公式法解方程的深化与拓展。从知识技能图谱看，其核心在于精准理解求根公式中根号下部分（即判别式）的数学意义，掌握其用于判定一元二次方程实数根情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）的方法，这是对“方程与不等式”主题下解方程技能的精细化与理论提升，并为后续学习二次函数与一元二次方程的关系、乃至高中函数与方程思想奠定关键基石。在过程方法路径上，本节课是发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算素养的绝佳载体。通过从具体方程求解到一般化分析判别式符号的探究过程，学生将经历从特殊到一般、从具体运算到符号抽象的完整数学思维训练。素养价值渗透方面，判别式作为沟通方程系数与根的性质的“桥梁”，其简洁性与普适性体现了数学的和谐与统一之美，引导学生体会数学公式不仅是计算的工具，更是洞察事物内在规律（系数决定根的性质）的理性之眼，培养严谨求实的科学态度。  学情诊断方面，学生已具备运用公式求解具体一元二次方程的操作能力，但对公式来源（配方法的产物）的理解可能流于表面，对计算过程中出现的“根号下为负数”情形往往仅视为“无解”结果，缺乏从代数结构层面进行归因分析的意识。认知难点在于跨越具体数值计算，抽象出系数a,b,c的代数关系对根的性质的支配规律，这一思维跨度较大。因此，教学对策上，需设计环环相扣的探究任务，引导学生从求解一组精心设计的方程（含不同判别式情形）入手，通过观察、对比、归纳，自主发现规律。课堂中应通过“追问为什么根的情况不同？”、“能否不解方程就预知根的情况？”等设问，并观察学生小组讨论中的观点碰撞与随堂练习的解答情况，动态评估理解层次。对于抽象思维暂有困难的学生，提供系数赋值对比的“脚手架”；对于思维敏捷的学生，则引导其尝试解释判别式几何意义或推导过程，实现差异化的认知攀登。二、教学目标  知识目标：学生能准确叙述一元二次方程根的判别式概念，深刻理解判别式的值（Δ>0，Δ=0，Δ<0）与方程实数根情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）之间的一一对应关系，并能在不解方程的前提下，熟练运用判别式判断给定方程的根的情况，实现从机械套用公式求解到理性预判根的性质的认知飞跃。  能力目标：学生能够从一组具体方程求解的实例中，通过观察、比较、归纳，抽象出判别式判定根情况的普遍规律，发展数学抽象与归纳推理能力；在面对含有字母系数或参数的一元二次方程时，能够基于判别式进行有效的分类讨论，提升逻辑思维的严谨性与条理性。  情感态度与价值观目标：学生在探究判别式奥秘的过程中，体验数学结论从特殊案例中浮现的发现乐趣，感受数学内在的逻辑力量与形式简洁之美；在小组协作归纳规律时，养成倾听他人观点、有理有据表达自己见解的科学交流习惯。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号意识与分类讨论思想。通过将具体的数字系数抽象为一般字母a,b,c，进而聚焦于判别式Δ=b²4ac这个核心符号，强化用代数符号表征和操作数学对象的能力。通过依据Δ的符号对根的情况进行不重不漏的分类，系统训练分类讨论这一重要的数学思维方法。  评价与元认知目标：引导学生建立运用判别式进行“预判”的解题策略意识，在解决相关问题时，能自觉反思：“我是否先考虑了判别式？”；通过对比“直接代入公式求解”和“先用判别式判定”两种策略的优劣，学会根据问题特征选择最优解题路径，提升元认知监控能力。三、教学重点与难点  教学重点：一元二次方程根的判别式及其应用。确立依据在于，判别式是求根公式不可分割的组成部分，是从理论上理解一元二次方程解的本质属性的核心“大概念”。它不仅是衔接方程系数与根的性质的枢纽，更是后续学习二次函数图象与x轴交点问题的理论基础。从中考考查视角看，判别式是高频考点，常直接考查其判定作用，或作为解决含参方程、函数综合问题的关键工具，分值权重高且能力立意鲜明。  教学难点：对判别式（Δ=b²4ac）作为决定方程实数根存在性与个数的“代数条件”这一抽象本质的理解，以及面对含字母系数（参数）的方程时，能正确运用判别式进行讨论。预设难点成因在于，学生首次接触用一个代数式的符号来“预言”方程的解的性质，思维需要从具体的“算”转向抽象的“判”，认知跨度大。常见错误表现为：忽视二次项系数a≠0的前提；对Δ的符号与根的情况记忆混淆；在含参数问题中，不知如何将判别式作为关于参数的不等式或方程来处理。突破方向在于，通过具体到抽象的探究过程，让学生亲手“发现”规律，并设计针对含参问题的梯度练习，在应用中深化理解。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式电子白板课件，内含：①一组预设的一元二次方程（如：x²+5x+6=0，4x²4x+1=0，x²2x+3=0）；②求根公式及判别式Δ=b²4ac的动态推导或强调展示；③分层巩固练习题组。  1.2文本与材料：设计并印制《课堂探究学习任务单》，包含探究表格、分层练习区和课堂小结引导框架。  2.学生准备  2.1知识预备：复习上节课内容，熟练运用公式法解数字系数的一元二次方程。  2.2物品携带：常规文具、练习本。  3.环境布置  3.1座位安排：采用便于小组讨论的“岛屿式”座位布局，每组46人，成员异质。  3.2板书记划：预留主板书区域，规划为“公式回顾探究实例规律归纳（判别式定义、表格）应用要点”的逻辑板块。五、教学过程第一、导入环节  1.情境回顾与认知冲突创设  同学们，我们上节课推导出了解一元二次方程的“万能钥匙”——求根公式。现在，请大家快速用公式法解这三个方程（课件同步呈现：①x²+5x+6=0，②4x²4x+1=0，③x²2x+3=0）。看谁算得又快又准！  （学生计算，教师巡视，预计大部分学生能顺利解出①和②，但解③时会遇到√(8)，产生困惑。）  1.1问题提出  教师请学生汇报结果。对于方程③，学生会说“根号里是负数，算不下去，无解”。教师追问：“都是标准的一元二次方程，都用同一个求根公式，为什么前两个方程能算出两个解，第三个方程却‘卡壳’了，告诉我们‘此路不通’呢？难道是公式失灵了吗？”（等待学生思考片刻）其实，公式本身完美无缺，问题就出在根号下面这个部分b²4ac。它就像一个“先知”，决定了方程根的命运。今天，我们就来揭开这位“先知”——根的判别式的神秘面纱，学习如何不解方程，就能预判它根的情况。  1.2路径明晰  本节课，我们将首先从你们刚才解的这三个方程出发，当一回“数学侦探”，寻找b²4ac的值与根的情况之间的隐秘联系；然后总结出普适的判定规律；最后，我们将运用这个强大的工具，去解决更复杂、更有挑战性的问题。第二、新授环节  任务一：回顾与聚焦——从求解过程中锁定关键对象  教师活动：首先，邀请三位学生板演或用实物投影展示三个方程的完整公式法求解过程。随后，教师用彩色笔在所有板演过程的求根公式中，将“b²4ac”部分圈画出来并加注强调。“请大家把目光聚焦在这里。无论最终解是什么，这个式子b²4ac都是我们必须计算的一步。为了研究和表述方便，我们用一个希腊字母Δ（德尔塔）来表示它，即Δ=b²4ac。”教师在黑板清晰板书定义。接着，引导学生计算刚才三个方程对应的Δ值：①Δ=1，②Δ=0，③Δ=8。“现在，请将每个方程的Δ值和它的实数根情况（两个不同的？两个相同的？还是没有实数根？）对应着看，你有什么初步的发现吗？先独立思考，然后和同桌小声交流一下。”  学生活动：回顾求解过程，观察教师强调的部分。理解Δ的符号表示及其计算方法。计算三个方程的Δ值。观察并初步思考Δ的符号（正、零、负）与方程实数根个数和类型之间的可能关联，并与同伴进行初步的意见交换。  即时评价标准：1.能否准确计算出给定方程的Δ值。2.在观察与交流中，是否尝试用语言描述Δ的符号与根的情况之间的对应关系（即使不完整）。3.倾听同伴意见时是否专注，能否吸收或补充他人观点。  形成知识、思维、方法清单：  1.★核心概念引入：我们把b²4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ=b²4ac。教学提示：强调Δ是一个整体，代表一个数值，其正负由a,b,c共同决定。  2.▲认知起点确认：求根公式x=[b±√(b²4ac)]/(2a)揭示了方程的解由系数a,b,c完全确定，而√(b²4ac)是导致解出现不同情况的“分水岭”。认知说明：此处建立新旧知识联系，让学生明白判别式并非外来物，本就蕴含于公式之中。  任务二：探究与归纳——发现Δ的符号奥秘  教师活动：在任务一初步观察的基础上，教师发放《探究学习任务单》，上面有多个空行，要求学生以小组为单位，每人至少构造一个系数为整数的一元二次方程（鼓励多样化，如Δ>0且为完全平方数、非完全平方数，Δ=0，Δ<0），计算Δ并求解（或判断根的情况），将数据填入表格（列包括：方程、a,b,c值、Δ值、根的情况）。教师巡视各组，关注学生构造的方程是否覆盖三种情形，并适时提问引导：“你们组构造的方程里，有没有Δ>0但得到两个相等实根的？为什么？”、“Δ的值能决定根是整数、分数还是无理数吗？”。待各组数据充实后，请小组代表分享数据，教师将典型数据汇总到黑板的表格中。  学生活动：以小组为单位，积极构思并书写方程，独立或协作计算Δ值和方程的根。认真填写表格，观察本组和全班汇总的数据。围绕教师提出的引导性问题进行组内深入讨论，尝试归纳出确切的规律。  即时评价标准：1.能否成功构造出符合不同Δ取值情况的方程。2.小组讨论是否围绕核心问题展开，成员参与度如何。3.归纳结论时，语言是否朝着“当Δ>0时，……；当Δ=0时，……；当Δ<0时，……”的结构化表述努力。  形成知识、思维、方法清单：  3.★核心规律（判别定理）：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根（或称一个实数根）；当Δ<0时，方程没有实数根。教学提示：这是本节课的“定海神针”，务必通过大量实例由学生自己归纳得出，确保理解而非死记。  4.学科思维方法：经历了从特殊案例（个人举例）到一般规律（小组及全班汇总）的归纳推理过程。认知说明：这是数学发现的基本方式，让学生体验规律是如何从数据中“浮现”出来的。  任务三：辨析与深化——理解“两个相等实根”与Δ=0  教师活动：针对学生可能产生的疑惑点进行深入剖析。提问：“当Δ=0时，求根公式变成了x=b/(2a)，这时候我们说方程有两个相等的实数根。为什么是两个，而不是一个？这和‘一个解’的说法矛盾吗？”教师可通过代数与几何两个视角解释：从代数结构看，求根公式本身包含“±”，当Δ=0时，“+”和“”得到的是同一个值，但它仍源自两个相同的代数表达；从二次函数图象（可简要提及，为后续铺垫）看，抛物线与x轴相切于一点，这一点是唯一的交点，但体现了“双重”接触的性质。所以，严格来说，“两个相等的实数根”更准确。强调在回答“根的情况”时，应使用规范术语。  学生活动：思考教师的提问，理解“两个相等实根”这一表述的深层含义。尝试从公式结构上理解“两个”的来源。接受数学概念的严谨性要求。  即时评价标准：1.能否理解“两个相等实根”与“一个实根”在本质描述上的差异。2.是否认同并愿意在后续表述中使用规范术语。  形成知识、思维、方法清单：  5.★易错点澄清：Δ=0时，方程有两个相等的实数根。虽然数值相同，但基于一元二次方程的次数和求根公式的结构，强调“两个”是规范性要求。教学提示：明确告知学生，在填空题或判断题中，表述为“一个实数根”可能被判为不准确。  任务四：应用与总结——归纳判别式应用的一般步骤  教师活动：引导学生面对一个新的、需要判断根的情况的方程时，梳理出清晰的思维步骤。以方程“2x²3x+1=0”为例，师生共同演绎。“第一步，我们需要做什么？对，先确认它是标准形式ax²+bx+c=0，并明确a,b,c的值，特别注意a≠0。”“第二步呢？计算Δ=b²4ac。”“第三步，也是最关键的一步，根据Δ的符号，下结论。”教师板书三步法：①化标准，定系数；②算Δ值；③依符号，判情况。随后，快速口述两个简单方程（如x²6x+9=0，x²+x+1=0）让学生进行步骤操练。“很好！现在我们已经掌握了‘预判’的基本流程。但数学的魅力在于它能处理更一般的情形。”  学生活动：跟随教师的引导，共同总结应用判别式的三个步骤。参与口述练习，巩固步骤记忆。为迎接更具挑战性的问题做好准备。  即时评价标准：1.能否流畅复述应用判别式的三步流程。2.在口述练习中，能否快速、准确地进行判断。  形成知识、思维、方法清单：  6.★方法程序化：运用判别式判定一元二次方程根的情况，遵循三步法：一化（化为一般式），二算（计算Δ=b²4ac），三判（根据Δ>0,=0,<0下结论）。教学提示：程序化步骤能降低初学者的应用难度，提高解题规范性。  7.思维严谨性强调：第一步中必须检查a≠0，否则不是一元二次方程，判别式无意义。认知说明：这是学生容易忽略的前提条件，尤其是含参方程中，需反复强调以培养思维的严密性。  任务五：挑战与迁移——含字母系数方程的判别式讨论  教师活动：提出进阶问题：“关于x的方程x²2x+m=0，它有实数根，你能告诉我m的取值范围吗？”给予学生12分钟独立思考或小组讨论。提示：“现在方程的根的情况不是明确的，而是受字母m控制。我们如何利用今天学的‘先知’——判别式来建立一个关于m的关系呢？”引导学生说出：方程有实数根，等价于Δ≥0。列出不等式(2)²41m≥0，即44m≥0，解得m≤1。“看，我们通过判别式，将一个关于根的存在性问题，转化成了一个关于参数m的不等式问题。这就是判别式威力的体现！”可进一步追问：“如果要求有两个不相等的实根呢？（Δ>0，得m<1）”  学生活动：思考含参问题，尝试将“有实数根”的条件翻译为“Δ≥0”这个数学不等式。在教师引导下，列出不等式并求解。理解判别式作为桥梁，连接了方程根的性质与参数取值范围。  即时评价标准：1.能否将文字条件“有实数根”正确转化为“Δ≥0”这一符号条件。2.能否顺利建立关于参数的不等式（或方程）并求解。  形成知识、思维、方法清单：  8.▲高阶应用（含参问题）：判别式是处理含字母系数（参数）的一元二次方程根的情况问题的核心工具。将根的情况（如“有实根”、“有两个不等实根”）翻译为Δ的符号条件（Δ≥0，Δ>0），从而得到关于参数的方程或不等式。认知说明：这体现了数学的“转化与化归”思想，是判别式应用的价值升华。第三、当堂巩固训练  设计核心：构建分层、变式训练体系，并提供及时反馈。  基础层（全员必做，巩固程序）：  1.不解方程，判断下列方程根的情况：(1)3x²4x1=0;(2)9x²12x+4=0;(3)2x²+3x+4=0。  综合层（多数学生挑战，熟悉变形与初步应用）：  2.已知关于x的一元二次方程x²+2xk=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。  3.证明：无论p取何值，方程x²(p+2)x+1=0总有实数根。（提示：计算Δ并判断其符号）  挑战层（学有余力选做，联系实际与开放探究）：  4.（跨学科联系）在物理匀变速直线运动公式s=v₀t+(1/2)at²中，若已知s,v₀,a，要求解时间t，则得到关于t的一元二次方程。请问：从数学角度，这个方程在什么情况下有正数解