48综合与实践专题几何中的综合与实践

综合与实践专题2几何中的综合与实践类型1课题活动类1．[2025·无锡]某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．【活动主题】测量物体的高度【测量工具】卷尺，标杆【活动过程】活动1：测量校内旗杆的高度该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(示意图1)．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E和旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F，Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m.(1)求旗杆MN的高度；活动2：测量南禅寺妙光塔的高度南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一，该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动(示意图2)．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E和塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′和塔顶A在同一条直线上．已知AB，EF，PQ，E′F′和P′Q′在同一平面内，点B，F，Q，F′，Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m.(2)求妙光塔AB的高度．解：(1)如图1，PH⊥MN于点H，交EF于点G，则四边形PQFG，PQNH均为矩形，∴HN＝GF＝PQ＝1.4m，GP＝QF＝2m，HP＝NQ＝NF＋FQ＝16＋2＝18(m)，∴EG＝EF－GF＝2.8－1.4＝1.4(m)，由题意知EF∥MN，∴∠M＝∠GEP，∠MHP＝∠EGP，∴△MHP∽△EGP，(2)如图2，P′I⊥AB于点I，交EF于点M，交E′F′于点M′，∵PQ＝P′Q′＝1.4m，∴点P在线段P′I上，四边形PQFM，PQBI，P′Q′F′M′，P′Q′BI均为矩形，∴IP＝BQ，MP＝FQ＝1.2m，M′P′＝F′Q′＝2.2m，IB＝MF＝M′F′＝PQ＝P′Q′＝1.4m，∴EM＝E′M′＝2.8－1.4＝1.4(m)，2．[2024·山东]【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图，如图1.【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离；(参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．(2)乙小组的方案用到了_____；(填序号)①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．解：(1)(示例)如图，过点B作BH⊥AP于点H，∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，∴AH＝AB·cos79°≈60×0.19＝11.4(米)，BH＝AB·sin79°≈60×0.98＝58.8(米)．∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°，类型2

项目式学习类3．[2025·山西]项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径活动内容利用视图，三角函数等有关知识进行测量与计算活动过程方案说明图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径图中点A，B，C，D在同一条直线上．图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF.BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF.图中各点都在同一竖直平面内．活动过程数据测量在点A处测得，点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计计算……交流展示……请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长(结果精确到1米．参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．解：由题意得∠AEF＝90°，四边形AEFD为矩形，∴EF＝AD＝26，AD∥EF，∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，设BE＝CF＝x米，则CE＝(26－x)米，BC＝(26－2x)米，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠AEB＝90°，tan∠ABE＝，∴AE＝BE·tan∠ABE＝x·tan37°，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，tan∠ACE＝，∴AE＝CE·tan∠ACE＝(26－x)·tan8.5°，∴x·tan37＝(26－x)·tan8.5°，解得x＝，∴BC＝26－2×≈17(米)，答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．类型3

操作实践及解决问题类4．[2025·山东]【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.【问题提出】部件主视图如图2所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱)．操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC′的长度y.【问题解决】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm～2.1cm.(1)求∠BAO的度数；(2)已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求；(参考数据：≈1.73)【结果反思】(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．解：(1)∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，∴AB＝AD，∴Rt△OBA≌Rt△ODA(HL)，∠OAB＝∠OAD＝∠CAD＝30°；(3)能，将圆柱换成正方体(答案不唯一)．如图，设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.∴BC＝BD＝a.∵∠CAD＝60°，5．[2025·自贡]如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．(1)制作工具如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK.测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM；(2)获取数据如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°.如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm.在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，则tan5.1°≈____，tan9.1°≈____，tan14.5°≈____；(结果保留小数点后两位)(3)计算塔高请根据小蕊的数据，计算该塔高度；(结果取整数)(4)反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议(总字数少于50字)．解：(1)证明：∵四边形HIJK为矩形，∴∠H＝90°，∵QM∥HK，∴∠IQM＝∠H＝90°.又∵OG∥HI，∴∠MOG＝∠IQM＝90°，∴OG⊥QM；(2)0.09；0.16；0.26；(3)如图，延长DR交TU于点F，延长PS交TU于点E，则∠DFE＝∠PEF＝∠DFT＝∠DPE＝90°，∴四边形DPEF为矩形，∴DP＝EF，DF＝PE，由题意可得DP＝(25－15)×3＝30(米)，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，(4)提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．(答案不唯一)6．[2025·河北]综合与实践【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图1)，需找到合适的切割线．【模型】已知矩形ABCD(数据如图2所示)．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分．【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．【探究】根据以上描述，解决下列问题．(1)图2中，矩形ABCD的周长为_______；(2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)；(3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求．【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．(4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；②当∠BCH最大时，直接写出CH的长．解：(1)10；(2)(示例)如图1所示，以点E为圆心、EO为半径画弧，交BC于点M，连接MC并向两边延长，交AD于点N，直线MN即为所求作；(3)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC.∵BG＝AB＝1，∴∠AGB＝45°，CG＝3，∵AN＝MG，∴四边形AGMN是平行四边形，∴MN∥AG，∴∠NMG＝∠AGB＝45°.∴BM＝DN，∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN，∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴直线MN符合要求；②如图3所示，连接BD交PQ于点O，∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴点O为BD和PQ的中点，∵BH⊥PQ，∴点H在以BO为直径的⊙L上，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大，∵AB＝1，AD＝4，过点L作LT⊥BC，∴∠BTL＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD，∴△BLT∽△BDC，类型4

多学科融合类7．[2025·鼓楼区一模]【立竿见影】如图1，在平地上竖立一根直竿OA，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹(直竿影子顶端的轨迹)在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图2所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索．(1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图1所示，则他的这次观测大约在_____季节；(填“春夏”或“秋冬”)(2)4月20日，乙同学从10：00到14：00每隔10min标记一次影端的位置．①当天的影端轨迹最接近图2中的哪条线？②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理；(3)如图3，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿OA的影端轨迹为正东西向的直线l”，丁同学提出：在地平面上放置一个