2026高考数学复习高效培优专题04 函数与导数（选填题）（解析版）

专题04函数与导数（选填题）目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式题型01抽象函数问题 题型02分段函数问题题型03构造函数问题题型04零点问题题型05不等式恒（能）成立问题题型06新定义问题第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01抽象函数问题【例1-1】（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：①存在在上单调递增的函数使得恒成立；②存在在上单调递减的函数使得恒成立；③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．其中正确结论的序号是．【答案】②③【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，故时，，故，故即，矛盾，故①错误；对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，故②正确；对于③，取，此时，由可得有无穷多个，故③正确；对于④，若存在，使得，令，则，但，矛盾，故满足的函数不存在，故④错误.故答案为：②③【例1-2】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A.1.抽象函数的定义域：(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由求出．(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域．2.对称轴：或者关于对称；3.对称中心：或者关于对称；4.周期：如果同时关于对称，又关于对称，则的周期.【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数 C． D．【答案】C【详解】对于A：令，则，又，所以，故A错误；对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误；对于C：令，则，即，得.由的任意性可知，故C正确；对于D：令，则，，则，所以，可得，可知是周期为6的周期函数．所以，故D错误．故选：C．【变式1-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由的定义域为，得的定义域为.所以或，综上，的定义域为.故选：C.【变式1-3】（2025·江西南昌·模拟预测）（多选题）已知定义在上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（

）A． B．可能是单调递减函数C．为奇函数 D．若，则【答案】ACD【详解】因为定义在R上的单调函数，则，.对于A，令，则或，若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，故，故A正确；对于B，令，则或（舍），则，因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数；对于C，令，则（舍），则，取，取，则，又定义为R，则为奇函数，故C正确；对于D，令，则，令，则，则，故D正确.故选：ACD题型02分段函数问题【例2-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.【例2-2】（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是．【答案】【详解】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.“分段函数，分段解决”遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式.（1）求函数值：在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可.（2）求自变量的值：由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解，求参数值（范围）也是如此.（3）技巧方法:①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式.②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集.③借助单调性和奇偶性求解.【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数，在上单调递增，所以，即.所以实数的取值范围是.故选：D【变式2-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为，由函数的值域为R，得函数在上的值域包含，当时，函数，求导得，而，当时，，函数在上单调递增，函数值集合为，而恒成立，则；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，，函数值集合为，于是，解得，则，所以a的取值范围是.故选：A【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）已知函数，下列说法正确的有（

）A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则【答案】BCD【详解】对于A：，即，其判别式，所以该方程无解，即不存在实数a，使得成立，故A错误；对于B：若为奇函数，则，当时，，则，，其对都成立，解得；当时同理可得；当时，也符合题意，故，B正确；对于C：函数在单调递增；当时，，单调递增，又，即处连续，所以在单调递增，符合题意；当时，，即在单调递减，单调递增，又处连续因此，函数在单调递增，所以，，得，则；当时，，又处连续，因为，所以在单调递增，因此，函数在单调递增，符合题意，综上可知，若在上单调递增，则，故C正确.对于D：由单调性可知，当时在单调递增，则方程有一个实根；当时，在单调递减，在单调递增，则，所以方程有两个不等实根；综上可知，方程有两个不等实根，则.故选：BCD题型03构造函数问题【例3-1】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】已知，将等式进行移项可得.根据对数运算法则，进一步变形为.因为，则，所以，令，对求导可得，所以在上单调递增.因为，，，所以，根据的单调性可知，即，再根据对数函数的性质，所以，C错，D对；若，此时，且，而，所以，则，此时，排除A，若，此时，且，若时，，必有，排除B；故选：D.【例3-2】（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，在上单调递增，，即，，又，，即；令，则，令，则，在上单调递减，，在上单调递减，，即，；综上所述：.故选：C.1.与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.2.添项同构乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.3.常见结构①；②；③④；5.常见函数的变形（1）对于不等式，构造函数（2）对于不等式，构造函数（3）对于不等式，构造函数（4）对于不等式，构造函数（5）对于不等式，构造函数（6）对于不等式，构造函数（7）对于不等式，构造函数【变式3-1】（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，当时，，故函数在单调递增.构造函数，，故函数在单调递减，则.故选：C.【变式3-2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（

）.A． B． C． D．【答案】A【详解】设函数，求导得，由，得，函数在R上单调递减，，即，由，得，因此，解得，所以原不等式的解集为.故选：【变式3-3】（2025·四川·模拟预测）若实数，且，则、的关系不可能是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为实数，且，所以，则，对于A选项，则，令，其中，则，故函数在上单调递减，当时，；当时，，故当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，则.A选项不合乎要求；对于B选项，，令，其中，则，当时，，即函数在上为增函数，当时，，即函数在上为减函数，故函数在处取得最大值，即，综上所述，当时，，B选项不合乎要求；对于C选项，由A选项可知，当时，，此时，则.C选项不合乎要求；对于D选项，，令，其中，则，由得，可得，解得，由得，可得，解得.故函数的减区间为，增区间为，所以函数在处取得最小值，即，故，故，D选项合乎题意.故选：D.题型04零点问题【例4-1】（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由函数，可得，当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增；又由，可得，当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增，画出函数，和的图象，如图所示，可得或，可得，又由，①当时，即，可得，即，所以，所以.②又由，可得，即，所以，所以，综上可得：.故选：A.【例4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】中取，，得，即，取，，得，即，所以，得，是周期为2的周期函数，，作出函数的图象及直线，可得两图象有7个交点，故选：B.

1.零点存在定理：连续函数在满足，则在一定存在零点2.判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数3.根据函数零点的存在情况求参数①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决【变式4-1】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是【答案】【详解】作出的图象，令，则方程，即为，有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根，所以，解得，所以实数m的取值范围为.故答案为：.【变式4-2】（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知为正实数，且，化简得到，进一步变形为；同理，由，可得到，即；由，可得到，即；令，，对求导得，当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递减；当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递增；当时，；满足的即为函数与交点的横坐标；满足的即为函数与交点的横坐标；满足的即为函数与交点的横坐标；

在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示：

从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为.故选：A.【变式4-3】（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，令，则，，令，得，且，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，又，，所以函数仅有两个零点，所以恰有4个零点，即方程和共有4个根，令，则，当时，，即在上单调递增，故和至多各一个根，不合题意；当时，，令，得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，，且时，，时，，要使方程和共有4个根，则，即，解得，综上，实数的取值范围为.故选：C.题型05不等式恒（能）成立问题【例5-1】（2025·河南·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【详解】设函数，可得，当时，可得，在上单调递减；当时，可得，在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，再设函数，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在上单调递增，在单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，所以，要使得不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：.【例5-2】（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围．【答案】【详解】由，得，即不等式在上能成立.设，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即实数a的取值范围为.故答案为：1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2.单变量不等式：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），（2），（3），（4），3.双变量不等式：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．【变式5-1】（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【详解】设函数，则，所以是奇函数，且时，单调递增，则单调递增，且，所以，即，，则不等式恒成立，，设，，设，，，所以在上单调递增，，所以恒成立，则恒成立，则在上单调递增，，根据洛必达法则可知，.故答案为：【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则.【答案】4【详解】显然时，无意义，当时，由可得，即函数定义域为，此时，若，则，即，解得，故在定义域上不恒成立，不合题意；当时，由可得，即函数定义域为，由，解得，当时，，由，需，当时，，由，需，由于，上述两种情况都需成立，所以只需，即,此时，对于，都有恒成立.故答案为：4【变式5-3】（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为.【答案】【详解】当时，由，可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，此时不存在；当时，由对任意的恒成立，作出的大致图象，如图所示：由题意可知，又是整数，所以或或.故答案为：.题型06新定义问题【例6-1】（2025·山东临沂·模拟预测）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数的图象关于原点对称的图象，判断其与函数图象交点个数即可，如图所示：当时，，当时，，且，观察图象可得：它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个.故选：B．【例6-2】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则，且，，由题意可得，可得，解得，因此，函数在区间上的“中值点”的个数为.故选：C.审题，结合题意处理问题.【变式6-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，令，则，如图，作出函数的图象，由图可知函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，且，令，则或，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，极小值点为.对于A，函数在上单调递减，在单调递增，所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；对于B，函数在上单调递增，在单调递减，所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；对于C，，当或时，，当时，，所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；对于D，，则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.故选：C.【变式6-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为；当，..【答案】【详解】第一空：当，，所以，当，，，当，，所以，所以当时，的值域为；第二空：，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：①；②.【变式6-3】（2025·广东肇庆·一模）（多选题）不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（

）A．只有1个不动点B．若（）没有不动点，则没有零点C．若（）没有不动点，则方程无实根D．有3个不动点【答案】AC【详解】对于A，令，，，当且仅当时取“=”，则在上单调递减，而，即在上只有一个零点，函数只有一个不动点，A正确；对于B，没有不动点等价于的图象与直线没有交点，没有零点等价于的图象与轴没有交点，显然，当对称轴在轴左边，的图象与没有交点时，不能推出与轴没有交点，B错误；对于C，依题意，没有不动点等价于方程无实数根无实数根，即，当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，所以函数（）没有不动点，则方程无实根，C正确；对于D，由，得，易知当时，，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；当时，，单调递减，且；当时，，单调递增.令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点.所以直线与曲线共有两个交点，所以只有两个不动点，故D错误；故选：AC．1.（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线，因为有三个零点，不妨令，所以有三个不相等的根，即与图象有三个不同的交点，作出图象，如图所示

所以，因为为方程，即的两个不相等实根，所以，因为为方程的根，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以.故选：D2.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，故当时，，所以，函数在上为减函数，由可得，所以，，整理可得，解得或.故选：D.3.（2025·河北保定·三模）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，求导得，则当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，即当时，，由奇函数的性质可知时，，故时有，如图所示，，都有，所以，故由恒成立可得.故选：C.4.（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】构造函数，则，由，得，故在上单调递减.计算.将变形为，即.因单调递减，故，解得.故选：C5.（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则，，．其中．取，此时，，，此时x最大．又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故．同理比较与，可得，故，故．综上，当时，．故A是可能的．取．此时，，，故且．比较y和z，即与，，且是增函数，所以，又底数，所以，故．综上，当时，．故B是可能的．取极小正数，取，此时，，，易知x最小．现在比较和，即比较与，即和，比较和，易知，故．综上，取，．故C是可能的．下面证明D选项不可能．若，则和同时成立．若，则．当时，，当时，，同理可得，故存在，使得，所以成立的必要条件是．若，则，设，则，且取时，，等价于，又，等价于，，易知其在时成立，已证当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，，即恒成立，故和不可能同时成立，即D不可能．故选：D．6.（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于．【答案】/0.5【详解】，①．则交换可得，,化为②由①②可得③，③中令可得，化简可得，当时等号成立，所以的最大值等于．故答案为：7.（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，