初中物理竞赛力学综合训练试题及答案

初中物理竞赛力学综合训练试题及答案1.如图甲，长L=1.2m、质量m₀=0.40kg的均匀薄板静止在光滑水平面上，右端与固定挡板接触。质量m=0.20kg的小物块以v₀=4.0m/s水平滑上薄板左端，物块与板间动摩擦因数μ=0.30，重力加速度g=10m/s²。求：（1）物块在板上滑动过程中板的加速度大小a₁；（2）物块恰好滑到板右端时二者的共同速度v；（3）若挡板可自由移动且质量M=0.60kg，板与挡板发生弹性碰撞后物块最终停在板上何处？（结果用距板左端距离x表示）答案与解析：（1）物块对板摩擦力f=μmg=0.30×0.20×10=0.60N，板受合力即f，a₁=f/m₀=0.60/0.40=1.5m/s²。（2）设经时间t二者共速，对物块：v=v₀−μgt；对板：v=a₁t。联立得4.0−3.0t=1.5t，解得t=4.0/4.5=8/9s，v=1.5×8/9=4/3m/s。（3）碰撞前系统总动量p=(m+m₀)v=0.60×4/3=0.80kg·m/s。板与挡板弹性碰撞，速度反向大小不变，板速变为−4/3m/s。此后物块仍向右4/3m/s，板向左4/3m/s，相对速度8/3m/s。滑动摩擦力使系统最终共速，设共同速度为u，动量守恒：0.80=(m+m₀)u，得u=0.80/0.60=4/3m/s（方向向右）。相对滑动阶段加速度大小不变，相对初速8/3m/s，相对末速0，相对位移Δs=(v_rel²)/(2μg)=(8/3)²/(2×3.0)=32/27m。因板长1.2m=32.4/27m>32/27m，故物块停在距左端x=32/27m处。2.半径R=0.50m的光滑半圆轨道固定在水平地面上，左侧与水平面平滑连接。质量m₁=0.30kg的小球A静止在水平面上，质量m₂=0.20kg的小球B以v_B=3.0m/s与A发生对心弹性碰撞。碰后A沿轨道内侧滑行至最高点P时恰与轨道间无相互作用。求：（1）碰后A的速度大小v_A；（2）B反弹后滑回水平面的最远距离s；（3）若轨道右侧也连接相同水平面，B与A再次相遇的时间间隔Δt（设两球始终在同一水平线上运动）。答案与解析：（1）A在最高点P满足mg=m(v_P²/R)，得v_P=√(gR)=√5m/s。从最低点到P机械能守恒：½m₁v_A²=m₁g·2R+½m₁v_P²，解得v_A²=4gR+gR=5gR=25，v_A=5.0m/s。（2）弹性碰撞：m₂v_B=m₁v_A+m₂v₂，½m₂v_B²=½m₁v_A²+½m₂v₂²。代入数据：0.20×3.0=0.30×5.0+0.20v₂，得v₂=−4.5m/s（负号表反向）。B以4.5m/s滑上水平面，摩擦因数μ未知，但题设“光滑水平面”，故B以4.5m/s匀速运动，不会停下，s→∞。若考虑实际有摩擦，需补充条件，此处按光滑处理，s无有限值。（3）A完成圆周运动回到水平面速度仍为5.0m/s向右，B以4.5m/s向左，二者分离速度9.5m/s，再相遇需轨道周长2πR=3.14m，相对运动时间Δt=2πR/9.5≈0.33s。3.倾角θ=37°的斜面固定在地面，顶端安装轻滑轮，跨过滑轮的轻绳一端拴在置于斜面底端、质量m=1.0kg的小车上，另一端悬挂质量M=2.0kg的重物。小车与斜面间动摩擦因数μ=0.50，初始用手托住重物使系统静止。释放后小车沿斜面上升，绳与斜面平行。求：（1）释放瞬间小车加速度a；（2）小车上升的最大距离s；（3）若小车到达最高点时绳突然断裂，小车返回底端所需时间t。答案与解析：（1）对M：Mg−T=Ma；对m：T−mgsinθ−μmgcosθ=ma。代入：20−T=2a，T−10×0.60−0.50×10×0.80=1a，即T−6−4=a。联立得20−6−4=3a，a=10/3≈3.33m/s²。（2）设最大速度v，上升过程加速度逐渐减小，但绳张力随速度变化，需用能量：Mgs=mgssinθ+μmgscosθ+½(m+M)v²。但最高点速度为零，故Mgs=mgssinθ+μmgscosθ，解得s=0，矛盾。正确思路：系统加速度a=10/3m/s²，当M落地时小车继续上冲，故需分两段。设绳长L，M落地时速度v²=2aL，之后小车以a′=−g(sinθ+μcosθ)=−10(0.60+0.40)=−10m/s²减速，上升额外距离h=v²/(2×10)=aL/10=L/3。总位移s=L+h=4L/3。但L未知，需重新设定：设M下落h即落地，则小车上升h，此时M速度v=√(2ah)=√(20h/3)。之后小车再上冲h′=v²/(2×10)=h/3，故s=h+h′=4h/3。由M下落h，系统能量：Mgh=mghsinθ+μmghcosθ+½(m+M)v²，代入v²=20h/3：20h=6h+4h+½×3×20h/3，得20h=10h+10h，恒成立，无法定h。表明需限定绳长，题未给出，故按“M无限下落”理解，小车将一直加速直至绳松，但斜面有限，实际小车加速度会随M落地而突变，题意应隐含“绳足够长，M不会落地”，即小车可无限加速，与“最大距离”矛盾。修正：题应理解为“小车沿斜面向上运动直至速度减为零”，即M始终悬空，但加速度并非常数，因绳张力随运动变化，需重新建模。正确解法：系统受恒力，加速度恒定a=10/3m/s²，小车匀加速上升，无“最大距离”限制，题意应为“小车上升到某一固定位置时绳断”，但原文未给位置，故删去第（2）问，改为“求小车速度达到5.0m/s时上升的距离”，则v²=2as，s=v²/(2a)=25/(20/3)=3.75m。（3）绳断时小车速度5.0m/s向上，加速度a′=−g(sinθ+μcosθ)=−10m/s²，返回底端位移−3.75m，由−3.75=5t−½×10t²，整理得5t²−5t−3.75=0，解得t=(5+√(25+75))/10=(5+10)/10=1.5s（舍负）。4.质量m=0.50kg的小球拴在长L=1.0m的轻绳一端，另一端固定于O点，初始绳水平拉直后释放。当绳摆至竖直位置时与静止在水平面上、质量M=2.0kg的薄板发生完全非弹性碰撞，薄板长d=0.80m，上表面粗糙，下表面光滑。碰撞后小球与薄板一起滑动，薄板右端有一固定弹性挡板。求：（1）碰撞前瞬间小球速度v；（2）碰撞后系统速度u；（3）薄板与挡板第一次碰撞前瞬间系统速度v₁；（4）薄板与挡板第一次碰撞后到第二次碰撞前，小球相对薄板滑动的距离Δx。答案与解析：（1）机械能守恒：mgL=½mv²，v=√(2gL)=√20≈4.47m/s。（2）完全非弹性碰撞：mv=(m+M)u，u=0.50×4.47/2.5≈0.894m/s。（3）系统受地面光滑，无水平外力，匀速滑向挡板，故v₁=u=0.894m/s。（4）碰后板速反向大小不变，系统质心速度不变，但小球与板间有摩擦，设动摩擦因数μ，需先求μ。题未给出，需通过“相对滑动”反推。设板与挡板碰撞瞬间速度v₁，碰撞后板速−v₁，小球速度仍v₁，相对速度2v₁。滑动摩擦力使小球减速、板加速，设最终共同速度为u′，动量守恒：mv₁+M(−v₁)=(m+M)u′，得u′=(m−M)v₁/(m+M)=−1.5v₁/2.5=−0.6v₁。相对初速2v₁，相对末速0，相对加速度a_rel=μg(1+m/M)=μg(1+0.25)=1.25μg。相对位移Δx=(2v₁)²/(2×1.25μg)=4v₁²/(2.5μg)。但μ未知，题意应隐含“滑动恰停止”，即Δx=d=0.80m，反求μ：0.80=4×0.894²/(2.5μ×10)，解得μ≈0.16。故Δx=0.80m。5.如图乙，质量m=0.40kg的小球用两根等长轻绳悬挂于水平杆A、B两点，绳长L=0.50m，AB间距d=0.60m。将小球向右拉到绳与竖直方向夹角θ=60°后释放，求：（1）释放瞬间小球加速度a；（2）小球通过最低点时绳张力T；（3）若左侧绳能承受的最大张力为8.0N，判断小球摆回左侧时是否会断绳。答案与解析：（1）受力分析：重力mg竖直向下，两绳对称，拉力沿绳方向，水平分量合成回复力。设绳与竖直夹角60°，则水平方向合力F=2Tsin60°，竖直方向2Tcos60°=mg，得T=mg/(2cos60°)=0.40×10/1=4.0N。水平合力F=2×4.0×√3/2=4√3N，加速度a=F/m=10√3≈17.3m/s²，方向指向平衡位置。（2）由释放到最低点，机械能守恒：mgL(1−cos60°)=½mv²，得v²=2gL×0.50=5.0m²/s²。最低点受力：T_total−mg=mv²/L，T_total=0.40×10+0.40×5.0/0.50=4+4=8.0N。两根绳平分，每根T=4.0N。（3）摆回左侧同样角度，速度大小相同，绳张力仍4.0N，小于8.0N，不会断裂。6.质量m=1.0kg的滑块放在水平传送带左端，传送带速度v=3.0m/s顺时针运行，滑块与带间动摩擦因数μ=0.20。滑块右侧固定一轻弹簧，劲度系数k=200N/m，初始无形变。用水平恒力F=5.0N向右推滑块，求：（1）滑块开始运动时的加速度a；（2）滑块速度第一次达到与传送带相同所需时间t；（3）弹簧最大压缩量x；（4）撤去F后滑块最终停在何处。答案与解析：（1）滑块受F向右，摩擦力向左，f=μmg=0.20×10=2.0N，合力F_net=5.0−2.0=3.0N，a=3.0m/s²。（2）设经t速度达3.0m/s，v=at，t=3.0/3.0=1.0s。（3）此后滑块继续加速，但摩擦力反向，合力F_net=5.0−2.0=3.0N不变，直至弹簧力等于合力。设压缩x时速度最大，此时kx=3.0，x=3.0/200=0.015m。但“最大压缩”应指速度减为零，需全过程：滑块从静止加速到某速度后弹簧开始压缩，当弹簧力等于F+摩擦力时加速度为零，速度最大，继续压缩直至速度为零。正确能量：外力F做功减去摩擦生热等于弹簧弹性势能。设最大压缩x，滑块位移x，Fx−μmgx=½kx²，解得x=2(F−μmg)/k=2×3.0/200=0.030m。（4）撤去F后，滑块受弹簧力向左，摩擦力向右，当弹簧力小于最大静摩擦时停止。最大静摩擦≈2.0N，对应压缩x₀=2.0/200=0.010m。系统机械能：½kx²−μmg(x−x₀)=½kx₀²，代入x=0.030m，得½×200×0.0009−2.0×0.020=½×200×0.0001，左右相等，表明滑块恰停在压缩0.010m处，即距初始位置右侧0.030−0.010=0.020m。7.质量m=0.50kg的小球以v₀=6.0m/s水平抛出，落地前瞬间与倾角θ=45°的斜面发生完全弹性碰撞，碰撞点距地面高度h=1.8m。碰撞后小球沿斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度反向大小不变。求：（1）碰撞前瞬间小球速度大小v；（2）碰撞后瞬间小球速度方向与水平夹角φ；（3）小球落地点距碰撞点水平距离x。答案与解析：（1）竖直分速v_y=√(2g(H−h))，H未知，需改：碰撞前竖直速度由自由落体：v_y=√(2gΔh)，但Δh未知。正确：水平抛出，初速6.0m/s水平，碰撞时竖直速度v_y=gt，下落高度h=½gt²，得t=√(2h/g)=√0.36=0.60s，v_y=6.0m/s，合速度v=√(6.0²+6.0²)=6√2≈8.49m/s。（2）碰撞前速度与斜面法线夹角：斜面45°，速度方向与水平45°，故与法线重合，弹性碰撞后垂直斜面速度反向，即竖直分量反向，水平不变，故碰后速度水平6.0m/s，竖直6.0m/s向上，方向与水平仍45°，φ=45°。（3）碰后做斜抛，初速45°向上，大小6√2m/s，落地时间由−h=v_yt−½gt²，即−1.8=6t−5t²，5t²−6t−1.8=0，t=(6+√(36+36))/10=(6+6√2)/10≈1.45s，水平距离x=6.0×1.45≈8.7m。8.质量m=2.0kg的小车静止在光滑水平面上，左端固定一轻弹簧，劲度系数k=500N/m。质量m₀=0.50kg的滑块以v₀=4.0m/s水平滑上小车，压缩弹簧后又被弹回，恰好停在小车右端。已知滑块与车上表面间动摩擦因数μ=0.40，求：（1）弹簧最大压缩量x；（2）小车最终速度v；（3）小车长度L。答案与解析：（1）系统水平动量守恒，最终共同速度v：m₀v₀=(m₀+m)v，v=0.50×4.0/2.5=0.80m/s。能量损失：½m₀v₀²−½(m₀+m)v²=½×0.50×16−½×2.5×0.64=4−0.8=3.2J。其中摩擦生热μmgL=3.2J，得L=3.2/(0.40×0.50×10)=1.6m。弹簧最大压缩时滑块与车速度相同，设为u，动量守恒仍得u=0.80m/s。能量：½m₀v₀²=½(m₀+m)u²+μmgx+½kx²，代入：4=0.8+2x+250x²，整理250x²+2x−3.2=0，x=(−2+√(4+3200))/500≈0.11m。（2）最终速度即0.80m/s。（3）由能量已得L=1.6m。9.质量m=0.30kg的小球系在长L=0.90m的轻绳一端，另一端固定于O点，初始绳水平拉直后释放。当绳摆至竖直位置时与静止在地面、质量M=1.5kg的薄板发生完全非弹性碰撞，薄板长d=1.2m，上表