天津市静海区重点中学2026届高二数学第一学期期末检测试题含解析

天津市静海区重点中学2026届高二数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（）（次数/分钟）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.变量，呈正相关关系C.若的值增加1，则的值约增加0.25D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃2．已知向量，且与互相垂直，则k=（）A. B.C. D.3．已知函数，若在处取得极值，且恒成立，则实数的最大值为（）A. B.C. D.4．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.85．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（）A. B.C. D.8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为()A B.C. D.9．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（）A. B.C. D.10．已知函数在处取得极小值，则（）A. B.C. D.11．等差数列的通项公式，数列，其前项和为，则等于（）A. B.C. D.12．已知等差数列的前n项和为，且，，则为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.14．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）15．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______16．若两条直线与互相垂直，则a的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且满足（1）证明数列是等比数列；（2）若数列满足，证明数列的前n项和18．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和19．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，（1）求证：；（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值20．（12分）如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值21．（12分）已知圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线截得的弦长为4.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.22．（10分）物联网(Internetofthings)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为，每月库存货物费（单位：万元）与x之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元.（1）求的值；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可.【详解】由题意，得，，则，故A正确；由线性回归方程可知，，变量，呈正相关关系，故B正确；若的值增加1，则的值约增加0.25，故C正确；当时，，故D错误.故选：D.2、C【解析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.【详解】由与互相垂直得，解得故选：C.3、D【解析】根据已知在处取得极值，可得，将在恒成立，转化为，只需求，求出最小值即可得答案【详解】解：，，由在处取得极值，得，解得，所以，，其中，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故函数在处取得极小值，，恒成立，转化为，令，，则，，令得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，即得，故选：D4、C【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，由题意可知过圆的圆心，则，解得，点A坐标为，，切点为B则，故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.5、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B6、A【解析】由函数在上单调递增，可得，从而可求出实数的取值范围【详解】由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：A7、A【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.【详解】因为椭圆的面积为，所以长半轴长与短半轴长的乘积，因为的周长为，所以根据椭圆的定义易知，，，，则的离心率，故选：A.8、A【解析】由题意可得，令，可得，再由三角形的面积公式，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程【详解】由题意可得，即，即有，令，则，可得，则，即，解得，，∴椭圆的方程为故选：A9、C【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，∴为等边三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故选：C.10、A【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.【详解】由条件可知，，，解得：，，检验，时，当，得或，函数的单调递增区间是和，当，得，所以函数的单调递减区间是，所以当时，函数取得极小值，满足条件.所以.故选：A11、D【解析】根据裂项求和法求得，再计算即可.【详解】解：由题意得====所以.故选：D12、C【解析】直接由等差数列求和公式结合，求出，再由求和公式求出即可.【详解】由题意知：，解得，则.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求解定义域，由导函数小于0得到递减区间，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】显然，且，由，以及考虑定义域x>0，解得:.在区间，上单调递减，∴，解得:.故答案为：14、②③【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件故答案为：②③15、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：16、4【解析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.【详解】由题可知，.故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）可根据已知的与的递推关系，利用求解出数列的首项，然后当时，递推做差，利用消掉，即可得到与之间的关系，从而完成证明；（2）利用第（1）问求解出的数列的通项公式，带入到中，再使用错位相减法进行求和，根据最后计算的结果与比较即可完成证明.【小问1详解】由题意得，当时，，∴，当时，，∴，∵，∴，于是有，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.得证.【小问2详解】由（1）可知，∴，，①，②，②−①得：，∴，∵，故，∴得证.18、（1）（2）【解析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；（2）利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】设数列的公差为，∵成等比数列，∴，即，∴，由题意故，得，即.【小问2详解】，∴19、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.【小问1详解】在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小问2详解】取BC中点F，连接AF，DF，如图，因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，令，则，因，即有，由(1)知，，则有，过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，显然E是斜边中点，则，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系后得到相关向量，再运用数量积证明；（2）求出相关平面的法向量，再运用夹角公式计算即可.【小问1详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：，，，，，∴，故.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量为，由，令，则，取平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，易知：为锐角，故，即平面与平面夹角的余弦值为.21、（1）；（2）证明见解析，定点和.【解析】(1)根据给定条件设出圆心坐标，再结合点到直线距离公式计算作答.(2)设点，求出圆的方程，结合方程求出其定点.【小问1详解】因圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，设圆心，且，圆心到直线的距离为，又由解得，从而，而，解得，所以圆M的方程为.【小问2详解】由(1)知：，设点，，设动圆上任意一点当与点P，M都不重合时，，有，当与点P，M之一重合时，对应为零向量，也成立，，，，化简得：，由，解得或，所以以MP为直径的圆必过定点和.【点睛】方法点睛：待定系数法求圆的方程，由题设条件，列出等式，求出相关量．一般地，