河南省焦作市2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

河南省焦作市2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.2．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B.C. D.3．若双曲线的渐近线方程为，则实数a的值为（）A B.C.2 D.4．已知空间向量，，则（）A. B.19C.17 D.5．若某群体中成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.6．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎7．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A.13 B.14C.15 D.168．已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（）A. B.C. D.不能确定9．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定10．已知圆的方程为，则圆心的坐标为（）A. B.C. D.11．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.12．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（）A.6 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.14．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为___________.15．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.16．若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程18．（12分）已知，.（1）若，为假命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线（1）求及线段BC的长；（2）求△ADE的面积20．（12分）已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.21．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围22．（10分）已知直线和的交点为P，求：（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；（3）从下面①②两个问题中选一个作答，①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.【详解】如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.故选：D.2、D【解析】根据长方体中，异面直线和所成角即为直线和所成角，再结合余弦定理即可求解.【详解】解：连接、，如下图所示由图可知，在长方体中，且，所以，所以异面直线和所成角即为，又，，由余弦定理可得∶故选：D.3、D【解析】由双曲线的渐近线方程结合已知可得.【详解】双曲线方程为所以渐近线为，故，解得：.故选：D4、D【解析】先求出的坐标，再求出其模【详解】因为，，所以，故，故选：D.5、A【解析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.6、A【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.7、C【解析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了天，然后建立关于的方程，求出即可【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了天，则，解得或（舍去），所以，故选：8、B【解析】利用余弦定理结合椭圆的定义可求得、，即可得出结论.【详解】在椭圆中，，，，则，，可得，所以，，解得，此时点位于椭圆短轴的顶点.因此，满足条件的点的个数为.故选：B.9、B【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.【详解】连接，，.因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.因为平面内，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因为，平面，平面，所以平面∥平面.又因为P点在线段上，所以∥平面.故选：B.10、A【解析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.故选：A.11、C【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.【详解】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得故选:C【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.12、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.5【解析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】依题意，，，所以.故答案：14、【解析】将展开图还原成正方体，通过建系利用空间向量的知识求解.【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，.则.设平面的法向量为，由令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：15、【解析】将双曲线的方程化为标准式，可得出、，由此可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，所以，，解得.故答案为：.16、【解析】首先根据圆与圆的位置关系得到公共弦方程，再根据弦长求解即可.【详解】根据得公共弦方程为：.因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.所以，解得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）理由见解析，圆的方程为.【解析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.【小问1详解】因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，，因此，，解得，，所以椭圆C的标准方程是：.【小问2详解】由消去y并整理得：，依题意，，设，，因，则，于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.18、（1）（2）【解析】（1）分别求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、都为假命题，求出的取值范围，即可得解；（2）依题意可得是的必要不充分条件，则真包含于，即可得到不等式组，解得即可；【小问1详解】由，解得，即，由，可得，所以，当时，解得，即，因为为假命题，则、都为假命题，当为假命题时：或当为假命题时：或故当、都为假命题，或综上可得；【小问2详解】因为是的必要不充分条件，由（1）可知，，所以真包含于，所以，解得，即19、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得，结合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面积，结合角平分线、中线的性质求得三角形的面积.小问1详解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.【小问2详解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD为BC边的中线，∴，∴.20、（1）；（2）.【解析】（1）将条件化为基本量并解出，进而求得答案；（2）通过裂项法即可求出答案.【小问1详解】由，.得：解得：故.【小问2详解】当时，.所以时，.21、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】，恒成立.构造函数，，，构造函数，，所以在上递增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范围是.22、（1）（2）（3）答案见解析【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由直线和的交点为P，联立方程组，解得，即，因为直线与直线垂直，所以直线的