山东省青岛平度市2026届高二上数学期末经典试题含解析

山东省青岛平度市2026届高二上数学期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y（人）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为9℃，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（）A.38 B.40C.46 D.582．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（）①函数是圆O的一个太极函数②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数③函数是圆O的一个太极函数④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件A.①② B.①③C.②③ D.③④3．不等式的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.4．数列中，，，．当时，则n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.20195．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.16．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B.C. D.7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（）A.在区间上，函数增函数 B.在区间上，函数是减函数C.为函数的极小值点 D.2为函数的极大值点8．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A. B.C. D.9．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B.C.1 D.10．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11．下列命题中的假命题是()A.若log2x<2,则0<x<4B.若与共线,则与的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sinx图象上一点12．设是等差数列的前n项和，若，，则（）A.26 B.－7C.－10 D.－13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______14．已知函数，是的导函数，则______15．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1与B1D所成角的余弦值为__.16．“”是“”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）两个顶点、的坐标分别是、，边、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹记为.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若过点作直线与轨迹相交于、两点，点恰为弦中点，求直线的方程；（3）已知点为轨迹的下顶点，若动点在轨迹上，求的最大值.18．（12分）已知在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若的前n项和为，且，，求数列的前n项和19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若E为的中点，求与所成的角20．（12分）已知函数为常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象与直线相切，求实数的值；（3）当时，在上有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积的最大值；（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.22．（10分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，E为中点（1）证明：平面；（2）证明：平面平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数.【详解】由表格得为，由回归方程中的，∴，解得，即，当时，.故选：B.2、B【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.【详解】是奇函数，且与圆O的两交点坐标为，能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故符合题意，①正确；同理函数是圆O的一个太极函数，③正确；例如，是偶函数，也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件，例如为奇函数，但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误；故选：B3、B【解析】解不等式，由此判断必要不充分条件.【详解】，解得，所以不等式的一个必要不充分条件是.故选：B4、B【解析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式，再根据裂项求和法求得，代值计算即可.【详解】因为，，则,即，则，故，又，即，解得.故选：B.5、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.6、D【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，所以AN与BM所成角的余弦值为.故选：D7、D【解析】根据导函数与原函数的关系可求解.【详解】对于A，在区间，，故A不正确；对于B，在区间，，故B不正确；对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.故选：D8、A【解析】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率公式得，再根据条件概率公式求解即可.【详解】解：记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，所以，，所以故选：A9、B【解析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得.故选：B10、D【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：D.11、B【解析】四个选项中需要分别利用对数函数的性质，向量共线的定义，等比数列的定义以及三角函数图像判断，根据题意结合知识点，即可得出结果.【详解】选项A，由于此对数函数单调递增，并且结合对数函数定义域，即可求得结果，所以是真命题；选项B，向量共线，夹角可能是或，所以是假命题；选项C，将式子变形可得，符合等比数列定义，所以是真命题；选项D，将点代入解析式，等号成立，所以是真命题；故选B.【点睛】本题考查命题真假的判定，根据题意结合各知识点即可判断真假，需要熟练掌握对数函数、等比数列、向量夹角以及三角函数的基本性质.12、C【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.【详解】，，解得，故.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.故答案为：.14、2【解析】根据基本初等函数的导数公式及导数的加法法则，对求导，再求即可.【详解】由题设，，所以.故答案为：15、【解析】以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，的坐标，由向量夹角公式可得答案.【详解】以为原点，所在直线为轴的正方向建立如图的坐标系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，则，，则，，则cos＜，＞＝＝，即AD1与B1D所成角的余弦值为，故答案为：.16、充分不必要【解析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案【详解】解：由不等式的性质可知，由得，故“”成立可推出“”，而，当，则，所以“”不能保证“”，故“”是“”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出边、所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；（3）先表示出，然后利用椭圆的性质，进而确定的最大值.【小问1详解】设点，则由可得：化简得：故顶点的轨迹的方程：【小问2详解】当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为联立方程组消去可得：设直线与轨迹的交点，的坐标分别为由韦达定理得：点为、两点的中点，可得：，即则有：解得：故求直线的方程为：【小问3详解】由（1）可知，设则有：又点满足，即由椭圆的性质得：所以当时，18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答.(2)由已知条件求出数列的通项，再利用错位相减法计算作答.【小问1详解】等差数列中，，解得，则公差，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】的前n项和为，，，则当时，，于是得，即，而，即，，因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，由(1)知，，则，因此，，，所以数列的前n项和.19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）连接，交于O，连接OD，根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面与平面法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐标，根据线线角的向量求法，即可得答案.【小问1详解】连接，交于O，连接OD，则O为的中点，在中，因为O、D分别为、BC中点，所以，又因为平面，平面，所以平面【小问2详解】由题意得，两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：设，则，所以，则，，因为平面在平面ABC内，且平面ABC，所以即为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以法向量，所以，由图象可得平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角的余弦值为【小问3详解】由（2）可得，设与所成的角为，则，解得，所以与所成的角为20、（1）答案见解析；（2）7；（3）【解析】（1）根据题意求得，讨论，，，时解，即可得出函数的单调区间；（2）设切点为则结合，得令通过求导研究单调性解得进而解出的值.（3）由已知可得解析式，观察有，求导得原题意可转化为函数在上有两个不同零点.结合根分布可得，函数的两个极值点为是在上的两个不同零点可得且，代入函数中令通过单调性求出进而可得答案.【详解】解：(1)，令，解得：①当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增；②当时，由得或由得所以在上单调递减，在上单调递增；③当时，恒成立，所以上单调递增.④当时，由得或由得所以在上单调递减，在上单调递增.综上：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递减，在上单调递增；③当时，在上单调递增.④当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)设切点为则(*)，由可得(**)，联立(*)(**)可得，设则，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，所以.（3）由已知可得令由题意知在上有两个不同零点.则，因为函数的两个极值点为，则和是在上的两个不同零点.所以且，所以令则所以在上单调递增，所以有其中，即又恒成立，所以故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21、（1）（2）（3）见解析【解析】(1)由题意求得，所以椭圆的方程为(2)联立直线与椭圆方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是(3)结论为．利用题意有．所以试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为因为椭圆的离心率是，所以，即由解得所以椭圆的方程为（Ⅱ）将代入，