解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形（6大题型）（教师版）

解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形题型一：三角恒等变换与三角函数（24-25高三上·河南·月考）已知向量，函数.(1)求的最小正周期;(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1），的最小正周期；（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，令，作出的图象与直线，如图.由图知，当时，的图象与直线有两个交点，实数的取值范围为.此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通过帮助角公式“化一”，化为3、帮助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最终利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。1．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，已知函数的图象过点和，且满足.(1)求的解析式；(2)当时，求函数值域.【答案】(1);(2)【解析】（1）由，得，则又，即得，由，得依据图象可知，解得.（2），故，，即的值域为0,2.2．（24-25高三上·北京·期中）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求不等式的解集；(3)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求的取值范围.①在有恰有两个极值点；②在单调递减；③在恰好有两个零点.注：假如选择的条件不符合要求，0分；假如选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析【解析】（1）由于.所以的最小正周期为.（2）由于，即，则，解得，所以不等式的解集为.（3）由于，所以.若选择①：由于在有恰有两个极值点.则，解得，所以的取值范围；若选择②：由于在单调递减当时，函数递增，所以在不行能单调递减，所以②不符合题意；若选择③：由于在恰好有两个零点.则，解得，所以的取值范围.题型二：正余弦定理解三角形的边与角（24-25高三上·福建南平·期中）在锐角中，角所对的边分别为.已知(1)求；(2)当，且时，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，即，所以，所以，又由于为锐角，所以，所以（2）由（1）知且为锐角，所以，所以，即，所以.解之得利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较简单，要留意依据式子结构特征机敏化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并留意利用数形结合求出三角形的边、角或推断出三角形的外形等。1．（24-25高三上·江苏苏州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)证明：；(2)若，，求.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由已知结合正弦定理，得，化简得，即，所以，又，所以，故由正弦定理得.（2）由于，所以，所以，所以，结合，可得，故，由（1）知，由余弦定理得，则，化简得，代入，整理得，所以，所以，故.2．（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知．(1)若，，求；(2)若，，求的周长．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）依据余弦定理，已知，，.将，，代入余弦定理公式可得：化简得解得（由于边长不能为负，舍去）.（2）已知，由正弦定理可得.由于，可得.由于，，时有两解（为锐角或钝角）.当为锐角时，.，，.则.再由正弦定理，可得.，可得.此时三角形周长为.当为钝角时，..由正弦定理，可得.，可得.此时三角形周长为.则的周长为或.题型三：利用正弦定理求三角形外接圆（24-25高三上·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求的大小；(2)若面积为，外接圆面积为，求周长.【答案】(1)；(2)18【解析】（1），，，，．（2）设外接圆的半径为，由，得，由于，解得，，所以，又，所以49=，故，所以.利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。1．（24-25高三上·海南·月考）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且，，为钝角，.(1)求；(2)若，求△BCD的面积．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于为钝角，，所以，由余弦定理得，整理得，解得（负根舍去），由正弦定理得.（2）由于圆的内接四边形对角互补，所以且为锐角，则，在三角形中，由余弦定理得：，，解得（负根舍去），所以三角形的面积为.2．（23-24高三下·浙江·模拟猜测）如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，.(1)求面积的取值范围；(2)若四边形存在外接圆，求外接圆面积.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由三角形的性质可知，，即，且，即，所以，中，，所以，则，，所以面积的取值范围是；（2）中，，中，，即由于四边形存在外接圆，所以，即，即，得，，此时，即，由，四边形外接圆的面积.题型四：解三角形中边长或周长的最值范围（24-25高三上·四川绵阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求证：；(2)，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）在锐角中，由余弦定理及，得，由正弦定理得，则，由，得，所以，即.（2）在锐角中，由正弦定理得，则，于是，由，得，则，，所以的取值范围是.利用正、余弦定理等学问求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理。1．（24-25高三上·山西·月考）在中，角的对边分别是，且．(1)证明：．(2)若是锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）由题设，所以，则，即，又，则，且，所以，得证.（2）由题设，即，得，由，而，故.2．（24-25高三上·贵州遵义·月考）记的内角，，对应的三边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求的周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，即，由于B∈0,π，所以，即（2）由于，，由正弦定理得，则，又，则，且，所以由于，所以，则，所以，综上可知，三角形的周长的取值范围是．题型五：解三角形中面积的最值范围（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知中，角的对边分别为，满足．(1)求角．(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，由正弦定理得，由于，可得，所以，所以，又由于，所以，解得.（2）由（1）知，且，又由正弦定理得，可得，所以，由于为锐角三角形，所以，且，可得，则，所以，所以面积的取值范围是．1、常用三角形的面积公式：（1）；（2）；（3）（为三角形内切圆半径）；（4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。留意函数思想的应用。1．（24-25高三上·江西·期中）已知中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，且，综上，.（2）由于，由余弦定理，得，所以，当且仅当时取等号，由于，所以面积，即面积的最大值为.2．（24-25高三上·河南·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求C的值；(2)若内有一点P，满足，，求面积的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，由正弦定理得，，所以，即，所以，即，又由于是三角形得内角，明显，所以，即，所以.（2）法一：由（1）得：，设，在中，由余弦定理得，，同理在中有：，，又由于是直角三角形，所以，所以，即，所以，由于，所以，即，所以，，，，当且仅当，即时取等号.的面积的最小值为．法二：在中，设，由余弦定理可得，.由勾股定理可得:，即.而.由基本不等式，所以，可解得(由上)，当且仅当时等号成立，所以面积最小值为.题型六：三角形的角平分线、中线、垂线（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若BD是角B的平分线，，求线段BD的长．【答案】(1)；(2)4.【解析】（1）已知，由正弦定理（为外接圆半径），可得.由于，所以，那么.依据两角和的正弦公式，则.开放可得.移项可得.由于，所以，两边同时除以得，解得.又由于，所以.（2）由于BD是角的平分线，依据角平分线定理，已知，，所以，设，则.在中，依据余弦定理，，，则.即，解得，所以，.在中，依据余弦定理，由于，所以.设，则.即，整理得.分解因式得，解得或.当，在中，,舍去.当，在中，,满足.故BD的长度为4.1、解三角形角平分线的应用如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，（1）利用角度的倍数关系：∠（2）内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则AB说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量学问解决起来都较为简捷。（3）等面积法：由于S∆ABD+S所以b+cAD=2bccosA22、解三角形中线的应用（1）中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB【点睛】机敏运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中（2）向量法：AD【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD3、解三角形垂线的应用（1）分别为边上的高，则（2）求高一般接受等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。1．（24-25高三上·福建福州·月考）的内角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若D为中点，，，求的周长．【答案】(1)；(2)【解析】（1），由正弦定理得，,即，由于，所以，所以，化简得，又，可得，，.（2）由于是的中点，所以，则，即，整理得，解得或（舍去），在中，由余弦定理可得，，所以的周长为.2．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知的三个内角所对的边分别是．已知(1)求角；(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．①为的角平分线；②为的中线．【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，由正弦定理知，所以，又，所以，，又，，化简得，即，又，所以．（2）选①，为的角平分线，由得：，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.选②，为的中线，则，平方得，所以，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)延长到，使，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）已知，正弦定理得，则有，所以，而，则，即，锐角中，，则，由，因此.（2）在中，由正弦定理得①．在中，由正弦定理得②．，，得，由①②可得，解得．2．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.(1)若,，求的面积；(2)求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1），由于，，故，由于为钝角，所以，，由正弦定理得，故，其中，所以，解得，，；（2）由（1）知，，，由于为钝角，所以，且，解得，所以，.3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.(1)若，求；(2)若，求的面积的最大值.【答案】(1)；(2)3【解析】（1）由于，所以由正弦定理得，又，所以，，从而.（2）由余弦定理可知，则，又，故，即，故，即，从而，当时取等号，即的面积的最大值为3.4．（24-25高三上·辽宁大连·月考）在中，角、、的对边分别为、、，满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值．【答案】(1)；(2)4【解析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，由于是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，由于，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，此时为等边三角形．5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在中，已知.(1)若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围;(2)若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值.【答案】(1)；；(2)【解析】（1）由题意，所以，所以，所以，易知，所以，则，由于为锐角三角形，所以，即，所以，由知，所以，即的取值范围为；（2）设中点为，则，在中，由正弦定理得，即，所以，由于线段的中垂线交边于点，可知，所以，则，解之得，此时，正切不存在，舍去；或，解之得；综上.6．（24-25高三上·天津·月考）在中，角对应边分别为，外接圆半径为，已知.(1)证明：；(2)求角和边；(3)若，求.【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3).【解析】（1）设的外接圆半径为，由正弦定理可得，又，所以，，，又，所以，所以；（2）由余弦定理可得，又，所以，又，所以，由（1），所以，所以，；（3）由于，，所以，，所以，故为锐角，所以，由于，，所以，所以.所以.1．（2025·上海·高考真题）已知，(1)设，求解:的值域;(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，由于，所以令，由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，所以，故，（2）由题意得，所以，可得，当时，，，即，，当时，，不符合题意，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，符合题意，所以，即，故.2．（2025·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，由于，所以，从而，又由于，即，留意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.3．（2025·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．【答案】(1)；(2)【解析】（1）方法一：常规方法（帮助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，明显时，，留意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，依据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，依据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，依据万能公式，，整理可得，，解得，依据二倍角公式，，又，故（2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为4．（2025·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）设，，则依据余弦定理得，即，解得（负舍）；则.（2）法一：由于为三角形内角，所以，再依据正弦定理得，即