专题15平面解析几何(选择填空题)(第一部分)（解析版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优 质模拟题（新高考卷与全国理科卷）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）专题15平面解析几何(选择填空题)(第一部分)1．【2024年新高考2卷第5题】已知曲线C：x2+y2=16（y>0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'A．x216+y24=1（C．y216+x24=1（【答案】A【详解】设点M(x,因为M为PP'的中点，所以y0=2又P在圆x2所以x2+4即点M的轨迹方程为x2故选：A2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第5题】已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，BA．23 B．23 C．−23【答案】C【详解】将直线y=x+m与椭圆联立y=x+mx23+y因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36设F1到AB的距离d1,F2到AB则d1=|S△F1ABS故选：C.3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第5题】设椭圆C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 D【答案】A【详解】由e2=3e1，得e22故选：A4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第6题】过点0,−2与圆x2+y2−A．1 B．154 C．104 D【答案】B【详解】方法一：因为x2+y2−4x−过点P0,−2作圆C因为PC=22可得sin∠APC=则sin∠APB=cos∠APB=即∠APB为钝角，所以sinα=法二：圆x2+y2−过点P0,−2作圆C的切线，切点为A可得PC=22因为PA且∠ACB=π−∠APB，则即3−cos∠APB=即∠APB为钝角，则cosα=且α为锐角，所以sinα=方法三：圆x2+y2−若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d=若切线斜率存在，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−则2k−2k2设两切线斜率分别为k1,k可得k1所以tanα=k1−k则sin且α∈0,π，则sinα>0故选：B.

5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第5题】已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【详解】由题，a2=9,所以MF1⋅故选：C．6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第3题】抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+A．1 B．2 C．22 D．【答案】B【详解】抛物线的焦点坐标为p2其到直线x−y+1=0解得：p=2(p=−6故选：B.7．【2017年新课标Ⅲ卷理科第5题】已知双曲线C:x2a2−yA．x24−C．x25−【答案】A【详解】由椭圆的标准方程为x212+y2因为双曲线C的焦点与椭圆x212+y2又因为双曲线C:x2a2又由a2+b2=c2所以双曲线C的方程为x2故选：A．8．【2017年新课标Ⅲ卷理科第10题】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A．63 B．C．23 D．【答案】A【详解】以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为r=a直线bx−ay+2ab=0整理可得a2=3b2从而e2=c故选A.9．【2017年新课标Ⅱ卷理科第9题】若双曲线C:x2a2−y2得的弦长为2，则C的离心率为

A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【详解】由几何关系可得，双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>即4(c2−a210．【2017年新课标Ⅰ卷理科第10题】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),D(2k12+411．【2016年新课标Ⅲ卷理科第11题】已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点A．13 B．12 C．23【答案】A【详解】如图取P与M重合，则由A(−a,0),M(12．【2016年新课标Ⅱ卷理科第4题】圆x2+y2A．−43 B．−34 【答案】A【详解】由x2+y2−2x−8y+13=0配方得13．【2016年新课标Ⅱ卷理科第11题】已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在EA．2 B．3C．3 D．2【答案】A【详解】由已知可得，故选A.14．【2016年新课标Ⅰ卷理科第5题】已知方程x2m2A．(–1,3) B．(–1,3) C．(0,3) D．(0,3)【答案】A【详解】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以m2+n+3m2−n=4，解得m2=1，因为方程15．【2016年新课标Ⅰ卷理科第10题】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则CA．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【详解】如图，设抛物线方程为y2=2px，AB,DE交x轴于C,F点，则AC=22，即A点纵坐标为22，则A点横坐标为4p，即

16．【2015年新课标Ⅱ理科第7题】过三点A(1,3)，B(4,2)，CA．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【详解】由已知得kAB=3−21−4=−13，kCB=2+74−117．【2015年新课标Ⅱ理科第11题】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A．5 B．2 C．3 D．2【答案】D【详解】设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，如图所示，AB=BM，，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在RtΔBMN18．【2015年新课标Ⅰ理科第5题】已知M(x0,y0)是双曲线C：x22−yA．(−33,33) B．【答案】A【详解】由题知F1(−3,0),F2(3,0)，19．【2024年新高考1卷第11题】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于−2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<A．a=−2 B．点(22,0)C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点x0,y0【答案】ABD【详解】对于A：设曲线上的动点Px,y，则x>−因为曲线过坐标原点，故0−22对于B：又曲线方程为x−22+故x−2当x=22,故22对于C：由曲线的方程可得y2=16则y2=6449−故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y故−4故选：ABD.20．【2024年新高考2卷第10题】抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y−4A．l与⨀A相切B．当P，A，B三点共线时，|C．当|PB|D．满足|PA|=【答案】ABD【详解】A选项，抛物线y2=4⨀A的圆心(0,4)到直线x=−1故准线l和⨀A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则由yP2=4x此时切线长PQ=C选项，当PB=2时，xP=1，此时y当P(1,2)时，A(0,4),B(−不满足kPA当P(1,−2)时，A(0,4),B不满足kPA于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线Δ=16即存在两个P点，使得PA=方法二：（设点直接求解）设Pt24,t，由PB⊥l可得B根据两点间的距离公式，t416+Δ=16即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD21．【2023年新课标全国Ⅱ卷第10题】设O为坐标原点，直线y=−3x−1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，且与CA．p=2 B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形【答案】AC【详解】A选项：直线y=−3x−1过点1,0，所以抛物线C所以p2=1,p=2,2p=4B选项：设Mx由y=−3x−1y2解得x1=3,x2=C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线因为d=1即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线y=−3x−1O到直线3x+y−3=所以三角形OMN的面积为12由上述分析可知y1所以OM=所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

22．【2022年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点A．C的准线为y=−1 B．直线AB与CC．OP⋅OQ>|【答案】BCD【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=ykAB=1−(联立y=2x−1x2=y，可得设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P联立y=kx−1x2所以Δ=k2−4>0又|OP|=所以|OP|⋅因为|BP|=所以|BP|⋅|BQ|故选：BCD23．【2022年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，BA．直线AB的斜率为26 B．C．|AB|>4|【答案】ACD【详解】对于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得点A在代入抛物线可得y2=2p⋅3p4=3对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为x=12设B(x1,y1)，则62p+则OB=p3对于C，由抛物线定义知：AB=3p对于D，OA⋅OB=又MA⋅MB=又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<18故选：ACD.24．【2021年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知点P在圆x−52+y−52=A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，PBD．当∠PBA最大时，PB【答案】ACD【详解】圆x−52+y−5直线AB的方程为x4+y圆心M到直线AB的距离为5+所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155−4<2，最大值为如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0−52+2−故选：ACD.25．【2021年新课标全国Ⅱ卷第11题】已知直线l:ax+by−r2=0与圆A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【详解】圆心C0,0到直线l的距离d=若点Aa,b在圆C上，则a则直线l与圆C相切，故A正确；若点Aa,b在圆C内，则a则直线l与圆C相离，故B正确；若点Aa,b在圆C外，则a则直线l与圆C相交，故C错误；若点Aa,b在直线l上，则a所以d=r2a2+b2=故选：ABD.26．【2020年新课标全国Ⅱ卷第10题】已知曲线C:mx2A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【详解】对于A，若m>n>0，则mx2因为m>n>0，所以1即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m=n>0，则mx2此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B对于C，若mn<0，则mx2此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2对于D，若m=0,n>0，则my=±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故故选：ACD.27．【2024年新高考1卷第12题】设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1【答案】3【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设得y=±b2a，即Ac,又AF1−AF2=2a故c2=a2+故答案为：328．【2023年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知直线l:x−my+1=0与⨀C:x−12+y2=4交于【答案】2（2,−【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB=所以S△ABC=12由d=1+11+m2=2故答案为：2（2,−29．【2023年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为【答案】355【详解】方法一：依题意，设AF2=在Rt△ABF1中，9m2+(2所以AF1=4a故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c方法二:依题意，得F1(−c因为F2A=−23又F1A⊥F1又点A在C上，则259c2a2所以25c2b整理得25c4−50a2c又e>1，所以e=355或故答案为：3530．【2022年新课标全国Ⅰ卷第14题】写出与圆x2+y2=【答案】y=−34x+5【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0于是|c|故c2=1+b2①，再结合①解得b=0c=1或b=−所以直线方程有三条，分别为x+1=0，(填一条即可)[方法二]：设圆x2+y2=圆(x−3)2+则|OC由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1又由方程(x−3)2+即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x−直线OC与直线x+1=0设过该点的直线为y+43=k(x+从而该切线的方程为7x−24[方法三]：圆x2+y2=圆(x−3)2+(y−两圆圆心距为32如图，当切线为l时，因为kOO1=O到l的距离d=|t|1+916当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，由题意p1+k2当切线为n时，易知切线方程为x=故答案为：y=−34x+5431．【2022年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12【答案】13【详解】∵椭圆的离心率为e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2−12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为判别式Δ=∴DE=∴c=138，得a=∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE故答案为：13.32．【2022年新课标全国Ⅱ卷第15题】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a【答案】1【详解】解：A−2,3关于y=a对称的点的坐标为A'−2,2a−所以A'B所在直线即为直线l，所以直线l为y=a−3−圆C:x+32+依题意圆心到直线l的距离d=−即5−5a2≤故答案为：133．【2022年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，【答案】x+【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB的中点为E，设Ax1,y1设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出再根据MN求出k、m，即可得解；解：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以设Ax1,y1，B所以x12所以y1+y2y1−y2令x=0得y=m，令y=0得x=−mk，即所以E−即k×m2−m2又MN=23，即MN=m所以直线AB:y=−2故答案为：x+[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点，设Ax1,y1，Bx2则M−mk,0，N0,m联立直线AB与椭圆方程得y=kx+mx26+其中Δ=∴AB中点E的横坐标xE=−2mk1+∵k<0，m>0，∴k=−22所以直线AB:y=−34．【2021年新课标全国Ⅰ卷第14题】已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若FQ【答案】x=−【详解】抛物线C：y2=2px(p>∵P为C上一点，PF与x轴垂直，所以P的横坐标为p2，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p不妨设P(因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，又∵|∴Q因为PQ⊥OP，所以PQ⋅∵p>0,所以C的准线方程为x=−故答案为：x=−335．【2021年新课标全国Ⅱ卷第13题】若双曲线x2a2−y【答案】y=±【详解】解：由题可知，离心率e=ca=又a2+b2=故此双曲线的渐近线方程为y=±3故答案为：y=±336．【2020年新课标全国Ⅱ卷第14题】斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=．【答案】16【详解】∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的焦点又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：y=代入抛物线方程消去y并化简得3x解法一：解得x1=1所以|解法二：Δ=设A(x1过A,B分别作准线x=−|故答案为：1637．【2017年新课标Ⅰ卷理科第15题】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆【答案】2【详解】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=32b∴|OP|=|OA设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tanθ=|又tanθ=ba∴32ba2−34b∴e=1+答案：238．【2017年新课标Ⅱ卷理科第16题】已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，Μ是C上一点，FΜ的延长线交y轴于点Ν．若Μ为【答案】6【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，作MB⊥l与点B，NA⊥l与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为x=−2，则AN=2,FF'=4，在直角梯形ANFF'中，中位线BM=AN+FF'239．【2016年新课标Ⅲ卷理科第16题】已知直线l：mx+y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与【答案】4【详解】因为AB=23，且圆的半径为r=23，所以圆心0,0到直线mx+y+3m−3=0的距离为r2−AB22=3故答案为440．【2015年新课标Ⅰ理科第14题】一个圆经过椭圆x216+y2【答案】(【详解】设圆心为（a，0），则半径为4−a，则(4−a)2=1．（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线C:y2a2−xA．y=±3x B．y=±33x 【答案】B【分析】设双曲线C:y2a2−x2b【详解】设双曲线C:y2双曲线的渐近线方程为by±ax=0由点到直线的距离公式可得|b×c±a×又双曲线C:y2a2所以双曲线C的渐近线方程为3y±3x=故选：B.

2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A，与y轴交于点CA．33 B．223 C．2【答案】C【分析】由题意可求得AA'=p,A的坐标为p【详解】∵AF=FC，∴F为AC的中点，过点A作AA'垂直于y轴于点则AA'=p,∴A的坐标为p,2p，而故选：C．

3．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆y2m2+2+xA．±2 B．±2 C．±2【答案】B【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解.【详解】由椭圆y2m2+2+x所以e2=c故选：B.

4．（2024·广东汕头·三模）已知椭圆C：x216+y212=1的两个焦点分别为F1A．C的离心率为12 B．PC．PF1⋅PF2【答案】D【分析】求出椭圆C的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.【详解】椭圆C：x216+y212=对于A，C的离心率e=c对于B，由PF1+PF对于C，|PF1对于D，当P不在x轴上时，cos∠=24|P当P在x轴上时，cos∠F1PF故选：D

5．（2024·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出e2e1=a【详解】由椭圆x2a2双曲线x2a2−y令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过25则0<k2≤4则e2e1故选：B.

6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F作直线l与渐近线A．65 B．54 C．43【答案】B【分析】设E的左焦点为F',QF=t，由双曲线的定义，得QF'=t+2a，又PF=b，cos∠OFP=b【详解】设Fc,0,O为坐标原点，则设E的左焦点为F',QF=t，连接QF'在△QF'F中，由余弦定理，得(t+2a由FQ=3PF，得b所以e=c故选：B.

7．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线C上任意一点Px0,y0的切线l:x0A．32 B．233 C．53【答案】C【分析】利用切线长定理求得直线I1I2【详解】令圆I1切AF1,A|F1T|−因此x0−(−c)−(c−x0)=2即直线I1I2的方程为x=a，设A(x1xa2−y1整理得x=a2(y2于是x=a2(y2因此S△II1I2故选：C8．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线C:y2−x2=1的上焦点为F，圆A的圆心位于x轴上，半径为2，且与A．23−2 B．2 C．6【答案】B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得x1+x2,【详解】由题可知F0,2．设圆A:(x−a)联立y2−x2=因此x12+因为y12−x1故BF+又y12+y22=3，且所以BF===≥==2当a=1时，有B0,1，D1,所以BF+DF的最小值是故选：B.9．（2024·山西太原·三模）已知曲线C:x2A．曲线C可能是直线 B．曲线C可能是圆C．曲线C可能是椭圆 D．曲线C可能是双曲线【答案】ACD【分析】因为α∈(0,π)【详解】因为α∈(0,π)对于A，当cosα=0时，曲线C：x=±对于B，如果曲线C是圆，则cosα=1，矛盾，故曲线对于C，当cosα∈(0,1)时，曲线C可化为x2+y对于D，当cosα∈(−1,0)时，曲线故选：ACD.

10．（2024·广东茂名·一模）已知圆C:x2A．圆C的圆心坐标为−B．圆C的周长为2C．圆M:x+3D．圆C截y轴所得的弦长为3【答案】BC【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的点的纵坐标即可判断.【详解】对于AB，圆C的方程可化为x−1可得圆心的坐标为1,1，半径为5，则周长为25π，可知A错误，对于C，由M−3,−1，对于D，令x=0，可得y2−可得圆C截y轴所得的弦长为4，可知D错误.故选：BC.

11．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆x2a12+y2b12=1aA．aB．1C．bD．若e2∈3【答案】BCD【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中4c2=【详解】根据题意，设F1对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得a12−即a1对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得PF所以PF又由余弦定理得F1可得4c所以14对于C中，由a12−对于D中，因为e2∈3由14e12+故选：BCD.

12．（2024·河北唐山·二模）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点4,0的直线与C交于Ax1A．x1x2=16 C．以AB为直径的圆过坐标原点 D．△ABF【答案】AC【分析】设过点4,0的直线为x=ty+4，联立直线和抛物线的方程求出x1x2=16可判断A；以AB为直径的圆的圆心为2t2+4,2t【详解】设过点4,0的直线为x=ty+4对于A，联立y2=4Δ=16t2所以x1对于B，因为x=184所以，AB的中点为2t2+4,2t又AB=设圆的半径为r，则r=2所以r2又圆心2t2+4,2t而d12=4t所以以AB为直径的圆与l相离，故B错误；对于C，圆心到坐标原点的距离为d2d2所以r2=d所以以AB为直径的圆过坐标原点，故C正确；对于D，因为联立y2=4若t=32，则上述方程为y2−6取y1=−2，则x取y2=8，则x又抛物线过焦点F1,0，所以FA=0,FA⋅所以△ABF故选：AC.

13．（2024·山西太原·二模）已知两定点A−2,0，B1,0，动点M满足条件MA=2MB，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线A．PQ取值范围是2B．当点A，B，P，Q不共线时，△APQ面积的最大值为6C．当直线l斜率k≠0时，AB平分D．tan∠PAQ最大值为【答案】ACD【分析】分析可知曲线C是以D2,0为圆心，半径r=2的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设l:x=my+1,Px1,【详解】设Mx,y因为MA=2MB，即x+可知曲线C是以D2,0为圆心，半径r=对于选项A：因为1−22+02=1<且BD=1，则PQ的最大值为2r=所以PQ取值范围是23设l:联立方程x=my+1x−22+则y1对于选项B：可得y1令t=4m2可得y1因为ft=t+1t在3,即t+1t≥可得△APQ的面积S△APQ所以△APQ面积的最大值为33对于选项C：因为kPA又因为y1则2m即kPA+kAQ=0，可知对于选项D：因为AB平分∠PAQ，则∠PAQ=2可知当PA与曲线C相切时，∠PAB取到最大值，此时sin∠PAB=DAAD=2即∠PAB的最大值为π6，则∠PAQ的最大值为π所以tan∠PAQ最大值为tan故选：ACD.14．（2024·广东·二模）抛物线τ：x2=2pyp>0焦点为F，且过点A4,4，斜率互为相反数的直线AC，AD分别交τ于另一点C和A．直线CD过定点B．τ在C，D两点处的切线斜率和为−C．τ上存在无穷多个点到点F和直线y=5D．当C，D都在A点左侧时，△ACD面积的最大值为256【答案】BCD【分析】对于A，代入已知点求得抛物线τ：x2=4y，不妨设AC:y=kx−4+4,k>0，AD:y=−kx−4+4，【详解】对于A，因为抛物线τ：x2=2pyp>0过点所以抛物线τ：x2=4y，设点A关于抛物线对称轴即y轴的对称点为点因为AD,AC斜率互为相反数，不妨设则AD:联立AC:y=kx−4+4与抛物线Δ=设Ax则x1所以x2=4直线CD的方程为：y−y整理得y==−即直线CD的方程为：y=−2随着k的变化，这条可能直线会平行移动，不妨取k=1,0，此时CD的方程依次是y=−显然这两条直线是平行的，它们不会有交点，这就说明直线CD过定点是错误的，故A错误；对于B，对y=x24求导，可得y'=x2，从而τ对于C，设τ上存在点Px0,y0由抛物线定义可知，PF+d=y0+1+y注意到当−1<y这意味着τ上存在无穷多个点到点F和直线y=5对于D，设CD与AB交与点G，联立直线CD的方程：y=−2x+4k2解得x=2k2−4,设△ACD面积为S，则S=1注意到C，D都在A点左侧时，意味着2k2−4<0，且从而S=16设fk=64所以当0<k<