河北省-唐山市高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）

2025－2026学年度高二年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列{an}中，A.2 B.3C.32 D.2.已知直线l的方程为x+3yA.30° B.60°C.120° D.150°3.三棱锥A−BCD的所有棱长都为2，E，F分别是AB，ADA.−1 B.1C.−2 D.24.椭圆x2a2+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2A.12 B.C.32 D.5.在正方体ABCD−A1B1C1DA.−1 B.−3C.1 D.36.已知圆C经过A(1,2)，B(3,4)两点，圆心在直线x−A.(x−1)C.(x−2)7.过圆C:(x−4)2+(y−4)2=2上的动点MA.8 B.16C.217+2 8.经过抛物线y2=3x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A.3 B.4 C.5 D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，A.d=2 B.aC.S7=49 10.已知点A(−2,0)，B(1,0)，动点P满足|PA|=2|PBA.C的方程为(B.C上存在点M在直线y=C.C上存在点N到点(−2,3)的距离为8D.C与圆x2+11.在正三棱柱ABC−A1B1A.直线A1C与B.直线A1C与平面ABC.若M为直线B1C上一动点，则AD.三棱锥A1−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知n=(m,2,1)是平面α的一个法向量，直线l的一个方向向量为v=(4,−5,2)，且13.已知斜率为1的直线与抛物线x2=4y交于A，B两点，O为坐标原点，OA14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知等差数列{an}的首项a（1）求数列{a（2）令bn=1anan16.（15分）已知圆C：x2+y2+4（1）求C的圆心坐标与半径；（2）求直线l被圆C截得的弦AB的长度；（3）过点P(0,5)17.（15分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=3（1）求{a（2）求证：数列bn3n18.(17分)如图，△ABC和△BCD所在的平面垂直，且AC=2，BC=(1)当AD⊥(2)当a=2（3）求平面ACD和平面BCD夹角的余弦值.19.(17分)已知椭圆Γ:x2a2+y（1）求Γ的方程；（2）过Γ的左焦点F的直线与Γ交于A，B两点.（ⅰ）求△OAB（O为坐标原点）面积的最大值；（ⅱ）Mi(−4,i)为l上的动点，记直线AMi，BMi的斜率之和为ki，2025－2026学年度高二年级第一学期期末考试数学参考答案一.选择题（单选）：1～4CDAD5～8CCCB二.选择题（多选）：9.ACD10.AD11.ACD三.填空题：12.213.(2,6)14.6四.解答题：（若有其他解法，请参照给分）15.解：（1）因为a1=1，且a1+a则公差d=2所以an（2）由（1）得b=1所以S=1===n16.解：（1）圆C:(所以C的圆心坐标为(−2,1)，半径为r=4（2）圆心C到直线l的距离d=所以|AB（3）易知点P在圆外，且切线l'的斜率存在.设切线l'所在直线的方程为y=kx+5，即kx−y+5=0，则圆心整理得3k2+4k=0所以切线所在直线的方程为y=5或417.解：（1）当n=1时，a当n≥2时，a当n=1时，a综上，an（2）因为bn所以bn所以数列bn3n是以bbnbn18.解：解法一：（1）如图，在平面BCD内，过点C作CE⊥BC交BD于点E；在平面ABC内，过点C作CF⊥BC交因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CE⊥所以CE⊥平面ABC以C为坐标原点，分别以CF，CB，CE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,−1,0)，AD→=−当AD⊥BC时，所以−a2+1（2）设平面ACD的法向量为m=(x1当a=2时，CA→=⟨3，−1，0⟩，CD→=⟨0，−1，3⟩则{m⋅CA→=0,m⋅CD→=0,即{3x1−y1=0,−y1+3z1=0,取m=(1,3,1)。 9分所以点B到平面ACD的距离d=|BC→·m||m|=|-23|5=2155。 12分（3）由题意可知平面ACD的一个法向量为m=(1,3,1)，与a无关。 14分平面BCD的一个法向量为n=(1,0,0)。 16分|cos⟨m所以平面ACD和平面BCD的夹角的余弦值为55。 17分解法二：（1）如图，过点D作DO⊥BC交BC的延长线于点连接AO。又AD⊥BC，所以BC⊥平面ADO。又AO⊂平面所以BC⊥AO。 2分因为∠ACB所以∠ACO所以∆ACO≅∆DCO， 4分所以AC=CD=2，即a=2。 6分（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，DO⊥所以DO⊥平面ABC以点O为原点，分别以OA，OB，OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。如图：O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,1,0)，D(0,0,3)。 8分CA→=⟨3，-1，0⟩，CD→=⟨0，-1，3⟩，BC→=⟨0，-2，0⟩。 9分设平面ACD的法向量为m=(则{m⋅CA→=0,m⋅CD→=0,即{3x1−y1=0,−y1+3z1=0,取m=(1,3,1)。 10分所以点B到平面ACD的距离d=|BC→·m||m|=|-23|5=2155。 12分（3）由题意可知平面ACD的一个法向量为m=(1,3,1)，与a大小无关。 14分平面BCD的一个法向量为n=(1,0,0)。 16分|cos⟨m所以平面ACD和平面BCD的夹角的余弦值为55。 17分19.解：