培优点06概率与统计的创新题型（2大考点+强化训练）（学生版）

培优点06概率与统计的创新题型（2大考点+强化训练）名目题型归纳 1题型01概率和数列的综合问题 1题型02概率和函数的综合问题 3【考情分析】概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增加，难度加深，主要考查同学的阅读理解力量和数据分析力量．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析推断猎取关键信息，搞清各数据、各大事间的关系，建立相应的数学模型求解．【核心题型】考点一：概率和数列的综合问题规律方法概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后依据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．(3)利用等差、等比数列的性质，争辩单调性、最值或求极限．【例题1】（2025高三·全国·专题练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（

）A．，B．数列是等比数列C．数列是等比数列D．的数学期望【变式1】（多选）（2025·福建泉州·三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从其次次抽盲盒开头，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（

）A． B．数列为等比数列C． D．当时，越大，越小【变式2】（22-23高三上·福建漳州·阶段练习）漳州是福建省重点城市，它不仅有着深厚的历史.积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来漳州参观旅游的人数不胜数，其中八卦楼与古城被称为两张名片.为合理配置旅游资源，现对已巡游八卦楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩古城记1分，若连续游玩古城记2分，每位游客选择是否巡游古城景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列；(2)（ⅰ）若从游客中随机抽取人，记总得分恰为的概率为，求数列的前10项和；（ⅱ）在对全部游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.【变式3】（2025·上海宝山·一模）甲乙两人轮番掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗．(1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率；(2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率；(3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时竞赛结束；否则，由另一人连续投掷，直到竞赛结束.例如，甲乙先后轮番掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者.设甲先投掷，求甲最终获胜的概率.考点二:概率和函数的综合问题规律方法构造函数求最值时，要留意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．【例题2】（多选）（22-23高二下·湖南·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某乒乓球协会组织职工竞赛，竞赛规章接受五局三胜制，当参赛选手甲和乙两位中有一位赢得三局竞赛时，就由该选手晋级且竞赛结束.每局竞赛皆须分出胜败，且每局竞赛的胜败相互独立.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要竞赛局数的期望值记为，则（

）A．打满五局的概率为B．的常数项为3C．函数在上单调递增D．【变式1】（2025·浙江·一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，消灭的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的全部人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们接受K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．(1)证明：；(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中或许率恰有一人为阳性．【变式2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）某爱好小组利用所学统计与概率学问解决实际问题．(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若爱好小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望．(2)现有乙池塘，已知池塘中有外形大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有条，身为爱好小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设大事A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当时，大事A发生的概率最大，求的值．【变式3】（2025高三上·全国·专题练习）某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的亲密接触进行传染．我们把与患者有过亲密接触的人群称为亲密接触者，每位亲密接触者被感染后即被称为患者．已知每位亲密接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位亲密接触者，其中被感染的人数为，假设每位亲密接触者不再接触其他患者．(1)求一天内被感染的人数X的概率与的关系式和的均值；(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第2天又有位亲密接触者，从某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值记为．①求数列{En}的通项公式，并证明数列{En}为等比数列；②若戴口罩能降低每位亲密接触者患病概率，降低后的患病概率，当p′取最大值时，计算此时p′所对应的E6′值和此时p对应的E6值，并依据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a＝10）（结果保留整数，参考数据：）【强化训练】一、单选题1．（2025·陕西西安·一模）斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（

）A． B． C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）已知都是定义在R上的函数，，，，在有穷数列中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（

）A． B． C． D．3．（20-21高三上·湖南·阶段练习）新型冠状病毒肺炎（COVID－19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步成功.面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门打算进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎亲密接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测.若任一成员消灭阳性，则该家庭定义为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p(0＜p＜1).该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，此时p0＝（

）A． B． C． D．4．（2025·上海浦东新·三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人商定一种玩耍规章如下：第一局中两人轮番摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从其次局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题推断正确的是（

）①，且；②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题二、多选题5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”.某次乒乓球竞赛接受五局三胜制，当参赛甲，乙两位中有一位赢得三局竞赛时，就由该选手晋级而竞赛结束.每局竞赛皆须分出胜败，且每局竞赛的胜败不受之前竞赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际竞赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（

）A．三局就结束竞赛的概率为 B．的常数项为3C． D．6．（2025·黑龙江大庆·一模）某学校足球社团进行传球训练，甲､乙､丙三名成员为一组，训练内容是从某人开头随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开头传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题7．（24-25高三上·河北·阶段练习）若袋子中有大小且外形完全相同的黑球个，白球个，现从中随机抽取3个球，表示抽到2个黑球1个白球的概率，则取得最大值时．8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）小王和爸爸玩卡片玩耍，小王拿有2张标有A和1张标有B的卡片，爸爸有3张标有B的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A卡片的概率记为，则，．四、解答题9．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规章如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”．(1)证明：；(2)若，，求和．10．（24-25高三上·四川自贡·期中）某学校为丰富同学活动，乐观开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局连续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.(1)求乙同学第2局赢的概率；(2)记甲同学第i局赢的概率为；（ⅰ）求（ⅱ）若存在i，使成立，求整数k的最小值．11．（2025·福建·模拟猜测）为庆祝祖国周年华诞，某商场打算在国庆期间进行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；(2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；(3)设大事为第个顾客参与时获得最终一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．12．（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次呈现在参与者面前，参与者可以选择当前呈现的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动马上结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能连续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的肯定留在最终，打算始终选择最终一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙接受了如下策略：不取前件产品，自第件开头，只要发觉比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最终一件，设他取到最大价值产品的概率为．(1)若，求和；(2)若价值最大的产品是第件（），求；(3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取）13．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）近年来，数学标准化测试中消灭了一种新题型：多项选择题.该类型题目是在A，B，C，D这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规章为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确的每个正确选项得3分，有三个选项正确的，每个正确选项得2分），有选错的得0分.(1)某考生有一道正确答案为ABC的多