四川省绵阳市涪城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A.四叶玫瑰线 B.阿基米德螺线

C.心形线 D.笛卡尔叶形线2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（ac≠0）有一根为x=m,则关于x的一元二次方程cx2-bx+a=0（ac≠0）必有一根为（）A.-m B. C.m D.3.如图，有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏：小新将这扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字.小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为（）

A. B. C. D.4.如图，AB是圆O的直径，AE交圆O于点F，且与圆O的切线CD互相垂直，垂足为D.若CD=4，AD=8，则圆的半径是（）A.

B.5

C.10

D.

5.若双曲线与直线y=-5x一定有交点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△ABP的内心.其中所有正确说法的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.下列语句中正确的说法是（）A.垂直于弦的直径平分弦

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

C.长度相等的弧是等弧

D.圆内接矩形是正方形8.已知直线y=-x与抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有两个公共点，则函数y=ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接OA，OD，则∠AOD的度数为（）A.55° B.60° C.65° D.70°10.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（）

A. B. C. D.11.如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，分别以△ABC的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S1+S2+S3=（）A.3

B.

C.

D.12.如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y=（x＞0）相交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则△ABO的面积为（）A.3

B.

C.

D.6二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC.若∠AOC=114°，则∠ADC的度数为

°.

14.在平面直角坐标系中，点A（a,-5）与点B（2，b）关于原点成中心对称，则ab的值为

.15.将抛物线y=-3x2+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线是

.16.某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为

.17.如图1.将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为

.

18.已知⊙O的弦AB=1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为

.三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为（2，3），（1，1），（4，1）.

（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，写出C1的坐标，求出OA扫出的面积.

（2）作出△ABC的外接圆⊙P，不写作法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标.20.(本小题12分)

已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m+1=0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．21.(本小题12分)

在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球.

（1）估计袋子中白球的个数约为

.

（2）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率.（用树状图或列表法）22.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=kx-2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m,2）.

（1）求直线AB的表达式；

（2）将直线AB沿y轴方向向上平移n个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若S△ABC≤18，请求出n的取值范围.23.(本小题12分)

某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，问题如下：

（1）若获得的利润为1000元，应该如何定价？

（2）如何定价才能使利润最大？24.(本小题14分)

如图，▱ABCD的顶点A，D在⊙O上，边BC切⊙O于点M，连接AM，DM，CD交⊙O于点N.

（1）如图1，求证：AM=DM；

（2）如图2，若圆心O在边AD上，连接AN，MN，若MN2=AN•CN，AN=8CN，AB=5，求⊙O的半径.25.(本小题16分)

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）.

（1）求b.c的值；

（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t,△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图2，在（2）的条件下，t=-2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF=CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CM=RB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA=RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC=135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT=2DH，求直线CT的解析式.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】123

14.【答案】-10

15.【答案】y=-3（x-2）2+4

16.【答案】

17.【答案】2-2

18.【答案】0≤d＜0.6

19.【答案】（1）△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，如图1即为所求;

C1的坐标为（1，-4），OA扫出的面积为

（2）△ABC的外接圆⊙P，如图2即为所求;

圆心的坐标为（2.5，1.5）

20.【答案】解：（1）证明：关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m+1=0的根的判别式Δ=[-（m+2）]2-4×1×（m+1）=m2+4m+4-4m-4=m2，

不论m取任何实数，都有m2≥0即Δ≥0成立；

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，

当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；

故该方程总有两个实数根；

（2）不妨设方程的两实数根为x1，x2且x1＞x2，

则x1-x2=2，

∴，

又∵x1+x2=m+2，x1x2=m+1，

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m+2）2-4（m+1）=4，

∴m=2或m=-2，

故m的值为2或-2．

21.【答案】解：（1）20；

（2）列表如下，①②③④①①②①③①④②②①②③②④③③①③②③④④④①④②④③共有12种等可能结果，两球放在相邻的两个区域的有8种，

∴P（两球放在相邻的两个区域）=．

22.【答案】解：（1）∵点B（m,2）在反比例函数的图象上，

∴2m=8，

∴m=4．

∴点B（4，2）．

把点B（4，2）代入y=kx-2，

得：4k-2=2，

∴k=1．

∴直线AB的表达式为：y=x-2．

（2）记平移后的直线与y轴的交点为D，则AD=n,

连接BD．

∵CD∥AB．

∴S△ABD=S△ABC．

即：n×4≤18．

∴n≤9．

23.【答案】解：（1）由题意可得：y=（x-30）（100-x）=-x2+130x-3000，

令-x2+130x-3000=1000，

解得：x1=50，x2=80，

∴当售价为50元/件或80元/件时，利润可达1000元；

（2）由题意可得：

y=-x2+130x-3000

=-（x-65）2+1225，

∴当x=65时，函数有最大值1225，

∴当定价为65元/件时，利润最大．

24.【答案】（1）证明：连接MO，并延长交AD于点E，

∵边BC切⊙O于点M，

∴BC⊥OM，

∵在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，

∴AD⊥OM，

∴AE=ED，

∴EM垂直平分线段AD，

∴AM=DM；

（2）解：在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，AB=CD=5，

∵圆心O在边AD上，

∴AD为⊙O的直径，

∴∠DMA=∠AND=90°，

∵MN2=AN⋅CN，AN=8CN，

∴MN2=8CN⋅CN，

∴，

根据（1）的证明方法，同理可得：AM=DM，

∴∠DAM=∠ADM=45°，

∵四边形AMND内接于⊙O，

∴∠DAM+∠DNM=180°，∠ADN+∠AMN=180°，

∵∠CNM+∠DNM=180°，∠DAM=∠ADM=45°，

∴∠CNM=∠DAM，

∴∠CNM=∠ADM，

∴∠CNM=∠ANM，

在平行四边形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠ADN+∠C=180°，∠DMC=∠ADM，

∴∠AMN=∠C，∠DMC=∠CNM，

∵∠AMN=∠C，∠CNM=∠ANM，

∴△CNM∽△MNA，

∴，

∵，

∴，

∴，即AM2=8CM2，

∵∠C=∠C，∠CNM=∠DMC，

∴△CNM∽△CMD，

∴，

∴MC2=CN×DC，

∵CD=5，AM2=8CM2，

∴MC2=5CN，

∴AM2=8CM2=40CN，

∴DM2=AM2=8CM2=40CN，

在Rt△AMD中，有：AD2=AM2+MD2=2AM2，

∴AD2=80CN，

在Rt△AND中，有：AD2=AN2+ND2，

∵ND=CD-CN=5-CN，AN=8CN，

∴AD2=（8CN）2+（5-CN）2=65CN2-10CN+25，

∴65CN2-10CN+25=80CN，

整理：13CN2-18CN+5=0，

解得：CN=1，或者，

在钝角△DCM中，

∵DM＞CD=5，

∴DM2=40CN＞25，

∴，

故不符合题意，舍去，

∴CN=1，

∴AD2=80CN=80，

∵，

∴⊙O的半径为：．

25.【答案】解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线y=x2+bx+c得，

，

∴，

∴；

（2）S=yP==；

（3）如图1，

作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于V，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，

则∠Q=∠NSD=∠MWC=∠MWB=∠RBC=90°，

把t=-2代入y=得，y=，

∵AJ=3-（-2）=5，

∴AJ=PJ，

∴∠PAJ=45°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ACD=90°-∠PAJ=45°，

∴∠PAJ=∠ACD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴可得四边形ABCD是正方形，

∴∠ACD=∠DBC=45°，∠FCB=∠BCD=90°，

∵CF=CD=BC，

∴∠CFB=∠CBF=45°，

∵FG∥AC，

∴∠CFG=∠ACD=45°，

∴点F、G、B共线，

∵∠FBD=∠FBC+∠DBC=90°，∠GED=90°，

∴∠FBD+∠DEG=180°，

∴点G、E、D、B共圆，

∴∠EGD=∠DBC=45°，∠EDG=∠FBC=45°，

∴∠EGD=∠EDG，

∴EG=ED，

∵∠EVG=∠DCE=90°，

∴∠EGV+∠VEG=90°，

∵∠DEG=90°，

∴∠DCE+∠VEG=90°，

∴∠DEC=∠EGV，

∴△EGV≌△DEC（AAS），

∴EV=CD，CE=GV，

设CM=x,WI=a,

∴∠ACB=45°，CM=RB，

∴WM=CW=x,RB=3x,

∵MW∥BR，

∴△MWI∽△RBI，

∴=，

∴BI=3WI=3a,

∴AB=BC=CW+WI+BI=x+4a,

∵BC∥AD，

∴△RBI∽△RAD，

∴，

∴，

∴x=2a,

∴BC=AB=x+4a=6a,RB=3x=6a,

∴BF=BC=6a,DF=2CD=12a,

∵DF∥RB，

∴△GFD∽△GBR，

∴，

∴BG=BF=2，

∴GV=BV=BG=2a,

∴CE=GV=2a,

∵BE=BC+CE=6a+2a=8a,

∴ER=，

∵RN=RA=12a,

∴EN=RN-RE=2a,

∴CE=EN=2a,

作IK⊥RN于K，

由S△RBE=S△RBI+S△RIE得，

∴，

∴IK=3a,

∴∠NRD=∠ARD，

∵RD=RD，

∴△ARD≌△NRD（SAS），

∴∠RND=∠RAD=90°，

∴∠RND=∠ECD=90°，

∵DE=DE，

∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL），

∴DN=CD=6a,

∵∠Q=∠NSO=90°，

∴∠QEN+∠QNE=90°，

∵∠E