大题培优03概率与分布列归类（10大题型）（原卷版）

大题培优03概率与分布列归类名目TOC\o"1-1"\h\u【题型一】超几何分布型分布列 1【题型二】二项分布型分布列 2【题型三】正态分布型 3【题型四】分布列均值与方差 6【题型五】竞技竞赛型分布列 8【题型六】多人竞赛竞技型分布列 9【题型七】递推数列型 10【题型八】三人传球递推数列型 11【题型九】导数计算型分布列最值 13【题型十】机器人跳棋模式求分布列 15【题型一】超几何分布型分布列总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件，，其中为与的较小者，，称听从参数为的超几何分布，记作，此时有公式。一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，.其中n，N，，，，，.假如随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X听从超几何分布_..1.（2025·湖北·模拟猜测）某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物争辩小组方案在该区域中捕获个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.(1)求的分布列；(2)记随机变量.已知，；（ⅰ）证明：，；（ⅱ）该小组完成全部试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.接受和分别代替和，给出，的估量值.2.（23·24高三上·江苏南通·阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小玩耍：在一个不透亮     箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位同学从中一次随机摸出3个球，观看颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一同学既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位同学分得月饼数的概率分布和数学期望.3.（2025·广东广州·二模）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物掩盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物掩盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.(1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物掩盖面积x（单位：公顷）的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数【题型二】二项分布型分布列若在一次试验中大事发生的概率为，则在次独立重复试验中恰好发生次概率，称听从参数为的二项分布，记作，=，.1.（2025·云南昆明·一模）谈天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给谈天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款谈天机器人进行测试时，假如输入的问题没有语法错误，则应答被接受的概率为80%，若消灭语法错误，则应答被接受的概率为30%.假设每次输入的问题消灭语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被接受的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被接受相互独立，记这些应答被接受的个数为，大事（）的概率为，求当最大时的值.2.（2025·全国·模拟猜测）某地文旅部门为了增加游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的进展，在2025年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评比活动，在坚持“公正、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评比投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评比活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面对本地的高校生群体进行重点推介、再选取另一个景区面对本地的中同学群体进行重点推介，记面对高校生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为大事A，面对中同学群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为大事B，求，；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．3.（2025·广东肇庆·二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续放射信号次，每次放射信号“0”和“1”是等可能的.记放射信号1的次数为.(1)当时，求(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.依据该不等式可以对大事“”的概率作出下限估量.为了至少有的把握使放射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估量信号放射次数的最小值.【题型三】正态分布型（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为，（其中是参数，且，）。其图像如图13-7所示，有以下性质：=1\*GB3①曲线在轴上方，并且关于直线对称；=2\*GB3②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延长时，渐渐降低，呈现“中间高，两边低”的外形；=3\*GB3③曲线的外形由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；=4\*GB3④图像与轴之间的面积为1.（2）=，=，记作.当时，听从标准正态分布，记作.（3），则在，，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。1.从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行状况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：路线一44586650344250386256路线二62566862586161526159将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.(1)求.(2)假设路线一的全程时间X听从正态分布，路线二的全程时间Y听从正态分布，分别用作为的估量值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲､乙去机场应当分别选哪条路线？2.2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发觉定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．附：若，则，，．3.据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长．针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线．已知该包装胶带的质量以某项指标值作为衡量标准．为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值，并分成以下组：，，…，，其统计结果及产品等级划分如下表所示：质量指标值产品等级级级级级废品频数试利用该样本的频率分布估量总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地听从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．求的值；（2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：（）质量指标值利润假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由．参考数据：若随机变量，则，，，．江苏省南通市西亭高级中学2020-2025学年高三上学期省模考模拟二数学试题【题型四】分布列均值与方差（1）总体方差和标准差：假如总体中全部个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称_为总体方差，_为总体标准差．（2）总体方差的加权形式：假如总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中消灭的频数为，则总体方差为_．（3）设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为．1.（2025·江苏泰州·模拟猜测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行其次轮注射，再次检验．假如被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．2.（22-23高二下·福建福州·期末）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体状况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，接受逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k（且）份血液样本，记接受逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；接受混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①若，求P关于k的函数关系式；②已知，以检验总次数的期望为依据，争辩接受何种检验方式更好？参考数据：．3.（23-24高三上·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的确定值之和，即为．回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离①求出X的分布列与期望；②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）【题型五】竞技竞赛型分布列1.（2025·山西临汾·模拟猜测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年创造的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力玩耍之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方外形通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力玩耍界的三大不行思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成果打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．(1)小王和小吴同学竞赛三阶魔方，已知小王每局竞赛获胜的概率均为，小吴每局竞赛获胜的概率均为，若接受三局两胜制，两人共进行了局竞赛，求的分布列和数学期望；(2)小王和小吴同学竞赛四阶魔方，首局竞赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局成功，则他赢得下一局竞赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局竞赛的概率为0.5，为了赢得竞赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？2.（2025·山东·模拟猜测）国际竞赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场竞赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局竞赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局竞赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜败．现在四人进行乒乓球竞赛，竞赛赛制接受单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；其次轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与竞赛，A的胜率分别为；B与竞赛，B的胜率分别；C与D竞赛，C的胜率为．任意两局竞赛之间均相互独立．（1）在C进入其次轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；（2）记A参与竞赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．3.（23·24高三下·浙江·开学考试）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球竞赛，商定赛制如下：每场竞赛胜者积2分，负者积0分；竞赛前依据相关规章打算首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得竞赛成功，竞赛结束.已知甲与乙竞赛时，甲获胜的概率为，甲与丙竞赛时，甲获胜的概率为，乙与丙竞赛时，乙获胜的概率为.(1)若，求竞赛结束时，三人总积分的分布列与期望；(2)若，假设乙获得了指定首次竞赛选手的权利，为获得竞赛的成功，试分析乙的最优指定策略.【题型六】多人竞赛竞技型分布列竞赛模式，要考虑：竞赛几局？“谁赢了”；有没有平局赢了的必赢最终一局；竞赛为啥结束？1.（2025·全国·模拟猜测）已知甲､乙､丙三人进行一个项目的竞赛.在一轮竞赛中，每两人之间均进行一场竞赛，且每场竞赛均无平局消灭，三场竞赛结束后，若有人赢得两场竞赛，则该人获胜，竞赛结束：若三人各赢得一场竞赛，则三人连续进行下一轮竞赛，以此类推，直至有人在其中一轮竞赛中赢得两场竞赛，该人获胜，竞赛结束.已知甲胜乙､甲胜丙､乙胜丙的概率分别为(1)求恰好在两轮竞赛后竞赛结束的概率；(2)设竞赛结束时，共进行了轮竞赛，且当进行了四轮竞赛后仍无人赢得竞赛则通过抽签决出胜败，不再进行第五轮竞赛，求的分布列及数学期望，2.（23·24高三·海南海口·阶段练习）甲、乙两队进行围棋擂台赛，竞赛规章如下：两队各出三人参与竞赛，并按1，2，3号排定先后出场次序，第一局由双方1号队员出场竞赛.每场竞赛后，获胜的队员留下连续竞赛，告负的队员淘汰出局，由该队下一号队员上场竞赛.当某队三名队员都被淘汰出局时竞赛结束，有队员未被淘汰的一方获得擂台赛成功.假设各局竞赛相互独立，甲队第m号队员胜乙队第n号队员的概率为下表中第m行、第n列中的数据.第1列第2列第3列第1列0.50.30.2第2列0.60.50.3第3列0.80.70.6(1)求甲队2号队员把乙队三名队员都淘汰出局的概率；(2)在第三局竞赛中，甲队和乙队哪个队获胜的可能性更大?说明你的理由.3.（23·24高三·江苏·开学考试）第19届亚运会将于2025年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参与男子100米竞赛．竞赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和，其中，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．(1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望．【题型七】递推数列型马尔可夫链：若，即将来状态只受当前状态马尔科夫不等式设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．证明：当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对全部满足的指标所对应的求和．的影响，与之前的无关.1.（23·24高三上·湖北·期中）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，其次次没有投中的概率；(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，其次组投篮2次，投中次，求；(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的状况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再连续投），证明：.2.（2025高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续消灭三次正面对上的概率为.(1)求，，和；(2)写出的递推公式，并指出增减性.3.（20·21高三·福建福州·期中）一只蚂蚁从正方形的顶点动身，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为.（1）求，；（2）设经过步到达点的概率为，求的值；（3）求.【题型八】三人传球递推数列型多人竞赛或者传球模型，一般状况下涉及到独立大事与互斥大事的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，假如符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。假如限制条件较多，可以进行排列方式进行分类争辩计算1.（22·23高三·江苏·）第22届世界杯于2025年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方始终扑点球，而且门将即使方向推断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成果的取得离不开平常的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开头，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．①试证明：为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．2.（22·23高三山东潍坊·阶段练习）学校篮球队30名同学依据1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规章要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．(1)求的值；(2)证明：是等比数列；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．3.（22·23高三·广东·阶段练习）足球是一项大众宠爱的运动.2025卡塔尔世界杯揭幕战将在2025年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.(1)为了解宠爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：宠爱足球运动不宠爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为宠爱足球运动与性别有关?(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开头传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．（i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并推断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．【题型九】导数计算型分布列最值1.（22-23高三浙江）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立(1)若，求数学期望；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的争辩团队理论争辩发觉概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行试验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的试验结果绘制成频数分布图，如图所示.

（i）试写出大事“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估量.依据这一原理和团队A，B提出的函数模型，推断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估量，并求出最大似然估量.参考数据：.2.（22-23高三·福建福州）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体状况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，接受逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k（且）份血液样本，记接受逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；接受混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①若，求P关于k的函数关系式；②已知，以检验总次数的期望为依据，争辩接受何种检验方式更好？参考数据：．3.（20-21高三·重庆沙坪坝·阶段练习）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接