大题06 概率统计（10大题型）（原卷版）

大题06概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立大事、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，留意学问的综合应用与实际应用。重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的力量。题型一：离散型随机变量及其分布列（2025·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业班级开展了“我们的元宵节”主题学问竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参与其中的一项，依据各位同学答题状况，获奖同学人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550（1）从获奖同学中随机抽取1人，若已知抽到的同学获得一等奖，求抽到的同学来自高一的概率；（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）依据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量全部可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）依据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要留意随机变量是否听从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。）1．（2025·四川成都·成都七中模拟猜测）甲、乙两人进行羽毛球竞赛，竞赛实行七局四胜制．已知甲每局竞赛获胜的概率为，输掉的概率为，每局的竞赛结果互不影响．（1）求甲最终获胜的概率；（2）记总共的竞赛局数为，求的分布列与数学期望．2．（2025·云南德宏·高三统考期末）设有甲、乙、丙三个不透亮     的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规章如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最终摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最终摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布（2025·广东广州·广州市培正中学校考二模）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖玩耍：预备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字.（1）实行放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；（2）实行不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布（1）定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验大事发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．推断随机变量是否听从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某大事在这n次独立重复试验中发生的次数．（2）定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中大事发生的概率．（3）列表，依据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．（4）求值，依据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2、超几何分布的适用范围及本质（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一大事发生的概率是不相同的。3、超几何分布与二项分布的区分（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一大事发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一大事发生的概率是相同点。1．（2025·全国·校联考模拟猜测）“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参与闯关挑战（个人赛）．（1）求甲闯过四关的概率；（2）设随机变量为该四人小组闯过四关的人数，求．2．（2025·浙江绍兴·高三统考期末）接近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现接受分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设A为大事“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求大事A发生的概率.题型三：均值与方差的实际应用（2025·广东·惠州一中校联考模拟猜测）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较精彩，但操控水平需要格外娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立.（1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；（2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则其次次连续使用该类型设备；若初次操作不成功，则其次次使用另一类型进行操作；方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，其次次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.利用随机变量的均值与方差可以挂念我们作出科学的决策，其中随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好坏、预报的精确     与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关。1、若我们期望实际的平均水平较抱负时，则先求随机变量，的均值。当时，不应误认为它们一样好，还需要用，来比较这两个随机变量的偏离程度。2、若我们期望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近。1．（2025·山西吕梁·统考一模）吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮竞赛，每轮竞赛结果互不影响．竞赛规章如下：每一轮竞赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮竞赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．（1）若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估量小李在一轮竞赛中的通关状况，试猜测小李在一轮竞赛中通关的概率；（2）若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为推断依据，试猜测小李能否进入决赛？2．（2025·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）从2025年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）.现甲乙两名同学独立解题.（1）假设每道题甲全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为；乙全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；（2）对于第12题，甲同学只能正确地推断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地推断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有期望得到更抱负的成果，请你挂念甲或者乙做出决策（只需选择挂念一人做出决策即可）.题型四：正态分布与标准正态分布（2025·广东湛江·高三统考期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）听从正态分布，且.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法（1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1：①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．1．（2025·江苏常州·高三统考期末）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似听从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求；（2）假如允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．可供查阅的（部分）标准正态分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99742．（2025·全国·一模）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的状况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．（1）已知电源电压（单位：）听从正态分布，且的累积分布函数为，求；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述大事发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且听从指数分布，其累积分布函数为.（ⅰ）设，证明：；（ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．附：若随机变量听从正态分布，则，，．题型五：线性回归与非线性回归（2025·湖北武汉·统考模拟猜测）随着科技进展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速进展．其中利用人工智能生成的虚拟角色由于拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2025年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额状况统计．年月2025年8月2025年9月2025年10月2025年11月2025年12月2025年1月月份编号123456销售金额／万元15.425.435.485.4155.4195.4若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；（2）试求关于的阅历回归方程，并据此猜测2025年2月份该公司的销售金额．附：阅历回归方程，其中，，样本相关系数；参考数据：，．1、线性回归分析问题的类型及解题方法（1）求线性回归方程：=1\*GB3①利用公式求出回归系数，；=2\*GB3②利用回归直线过样本中心点求系数；（2）利用回归方程进行猜测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；（3）利用回归直线推断正、负相关：打算正相关函数负相关的系数是；（4）回归方程的拟合效果可以利用相关系数推断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。2、非线性回归阅历回归方程的求法（1）依据原始数据作出散点图；（2）依据散点图，选择恰当的拟合函数；（3）作恰当的变换，将其转化成线性函数，求阅历回归方程；（4）在（3）的基础上通过相应的变换，即可得非线性阅历回归方程。1．（2025·四川巴中·统考一模）下图是某市2016年至2025年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）与年份t的散点图.（1）依据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），猜测2025年该市生活垃圾无害化处理量.参考数据：，，，.参考公式：，；相关系数.2．（2025·重庆·高三重庆一中校考开学考试）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛进展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动将来社会进展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．12345611.53612（1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请依据已知数据，确定方案①和②的阅历回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最终结果保留到小数点后一位）（2）依据下表数据，用打算系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，猜测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?阅历回归方程残差平方和参考公式及数据：，，，，，，，，．题型六：独立性检验及应用（2025·四川内江·高三威远中学校校考开学考试）2025年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评比出的2025年国内十大科技新闻揭晓．某高校一同学社团随机调查了本校100名同学对这十大科技的了解状况，依据性别和了解状况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）推断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名同学依据性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则这2人中至少有1人为女生的概率．附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联．独立性检验的一般方法（1）依据题目信息，完善列联表；（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。（3）依据列联表中的数据及计算公式求出的值；（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。1．（2025·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考开学考试）为了争辩体育熬炼对某年龄段的人患某种慢性病的影响，某人随机走访了个该年龄段的人，得到的数据如下：慢性病体育熬炼合计经常不经常未患病患病合计（1）定义分类变量、如下：，，以频率估量概率，求条件概率与的值；（2）依据小概率值的独立性检验，分析经常进行体育熬炼是否对患该种慢性病有影响．附：2．（2025·河南·高三专题练习）为了答谢全国人民的真情关爱，湖北省举办“与爱同行，惠游湖北”活动．从2020年8月8日开头，全省近400家A级旅游景区对全国游客免门票开放，活动将始终持续到年底．在“十一”黄金周期间，武汉黄鹤楼景区迎来了大批游客，同时也带动了当地旅游经济的进展．某机构随机调查了黄金周期间的180名游客的旅游消费状况，整理数据，得到如下表格：消费金额（元）购买人数5040403020（1）估量“十一”黄金周期间，游客的旅游消费不少于300元的概率（保留两位小数）；（2）估量“十一”黄金周期间，游客的旅游消费金额的平均值（保留两位小数）（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）依据以上数据完成以下2×2列联表，并推断是否有99.9%的把握认为游客的旅游消费金额少于300元与年龄有关？不少于300元少于300元总计年龄大于等于5050年龄小于5016总计附：，．0.100.050.250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式（2025·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序把握每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.（1）求第4次闪光为红光的概率；（2）求第次闪光为红光的概率.1、条件概率：一般地，设，为两个大事，且，称为在大事发生的条件下，大事发生的条件概率．2、全概率公式：；3、贝叶斯公式：一般地，当且时，有1．（2025·江西南昌·南昌二中校联考模拟猜测）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设大事为“取得的球是合格品”，大事分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．（1）求；（2）求．2．（2025·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟猜测）全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受宽敞球迷的宠爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的全部竞赛中，甲球员是否上场时该球队的胜败状况如表.甲球员是否上场球队的胜败状况合计胜负上场4045未上场3合计42（1）完成列联表，并推断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜败与甲球员是否上场有关；（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，依据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.（i）当甲球员上场参与竞赛时，求球队赢球的概率；（ii）当甲球员上场参与竞赛时，在球队赢了某场竞赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828题型八：概率与统计图表的综合应用（2025·四川·校联考模拟猜测）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）估量该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估量该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；（3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.1、概率与统计图表的综合应用题关键点：（1）从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息；（2）=1\*GB3①进行概率与统计的正确计算；=2\*GB3②此类问题中的概率大多是古典概型、条件概率，求解时留意运用对立大事的概率。2、频率分布直方图（1）频率、频数、样本容量的计算方法①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．（2）频率分布直方图中数字特征的计算=1\*GB3①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．=2\*GB3②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．=3\*GB3③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．1．（2025·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步凝.启息.老师甲、乙这七天的步数状况如图1所示.（1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；（2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数内，求的分布列及数学期望；2．（2025·北京海淀·高三101中学校考开学考试）“双减”政策执行以来，中同学有更多的时间参与志愿服务和体育熬炼等课后活动．某校为了解同学课后活动的状况，从全校同学中随机选取100人，统计了他们一周参与课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估量概率，且每个同学参与课后活动的时间相互独立．（1）估量全校同学一周参与课后活动的时间位于区间的概率；（2）从全校同学中随机选取3人，记表示这3人一周参与课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；（3）设全校同学一周参与课后活动的时间的中位数估量值为､平均数的估量值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系．题型九：概率与其他学问的交汇应用（2025上·河南驻马店·高三统考期末）一枚质地均匀的小正四周体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四周体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.（1）当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；（2）求能被3整除的概率.概率统计常与排列组合、函数、数列等学问交汇考查。求解此类问题要充分理解题意，依据题中已知条件，联系所学学问对已知条件进行转化。这类问题的命题方向总的来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等学问为载体的概率问题，求解时需要利用相关学问把所给问题转化为概率模型，然后利用概率学问求解；2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为某一变量的该函数，然后利用函数、导数学问进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系，再通过构造特殊数列求通项或求和。1．（2025·山东威海·高三统考期末）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.（1）求，；（2）证明：是等比数列，并求；（3）已知：若随机变量听从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．2．（2025·全国·校联考模拟猜测）公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的争辩，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒商定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：假如消灭无人先赢局则赌博意外终止的状况，甲、乙便依据赌博再连续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比安排赌注．（1）甲、乙赌博意外终止，若，，，，，求甲应分得的赌注；（2）记大事为“赌博连续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博连续进行下去甲赢得全部赌注的概率；当时，求大事发生的概率的最大值．题型十：利用概率解决决策类问题（2025·山东聊城·高三统考期末）乒乓球起源于英国的19世纪末，由于1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，而使国人兴奋，从今乒乓球运动在中国风靡，成为了事实上中国的国球的体育项目.国球在校内中的普及也丰富了老师、同学们的业余生活.某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参与社区共建活动.共建活动共分3批次进行，每次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选.已知这5名选手中，2人有竞赛阅历，3人没有竞赛阅历.（1）求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；（2）求其次次抽选时，选到没有竞赛阅历的选手的人数最有可能是几人？请说明理由；（3）现在需要2名乒乓球选手完成某项特殊竞赛任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，假如前一位选手不能赢得竞赛，则再派另一位选手.若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且，各人能否完成任务相互独立.试分析以怎样的挨次派出选手，可使所需派出选手的人员数目的数学期望达到最小.决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。1．（2025·浙江·高三镇海中学校联考开学考试）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球竞赛，商定赛制如下：每场竞赛胜者积2分，负者积0分；竞赛前依据相关规章打算首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得竞赛成功，竞赛结束.已知甲与乙竞赛时，甲获胜的概率为，甲与丙竞赛时，甲获胜的概率为，乙与丙竞赛时，乙获胜的概率为.（1）若，求竞赛结束时，三人总积分的分布列与期望；（2）若，假设乙获得了指定首次竞赛选手的权利，为获得竞赛的成功，试分析乙的最优指定策略.2．（2025·河北·校联考模拟猜测）近年来，新能源汽车产业大规模进展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家供应甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能选择一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.（1）若参与的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；（2）对全部车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为,求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，汽车厂商打算总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.1．（2025·江苏南通·高三统考期末）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．2．（2025·广东广州·广州六中校考一模）某电商特地生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.（1）在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的，处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；（2）通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的，，处，求小灯泡发亮的概率.3．（2025·山东日照·统考一模）随着科技的不断进展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为转变人类社会进展的重要力气．某科技公司创造了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，假如输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若消灭语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题消灭语法错误的概率为．（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；（2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？4．（2025·浙江杭州·高三浙江省杭州其次中学校考开学考试）“英才方案”最早开头于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2025年已经培育了6000多名具有创新潜质的优秀中同学，为选拔培育对象，某高校在暑假期间从中学里选择优秀同学参与数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组进行了一次学科学问竞答活动，规章如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮成功.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.5．（2025·江苏镇江·高三扬中市其次高级中学开学考试）为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对比试验．依据个简洁随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病未患病患病合计未服用服用合计（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；（2）用频率估量概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8286．（2025·陕西西安·统考一模）某市为提升中同学的环境爱护意识，举办了一次“环境爱护学问竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成果排名前三百名的同学参与复赛．已知共有12000名同学参与了预赛，现从参与预赛的全体同学中随机地抽取100人的预赛成果作为样本，得到频率分布直方图如图：（1）规定预赛成果不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成果不低于60分的同学中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成果优良的概率，并求预赛成果优良的人数X的分布列及数学期望；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参与预赛同学的预赛成果Z听从正态分布，其中可近似为样本中的100名同学预赛成果的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成果为91分，利用该正态分布，估量小明是否有资格参与复赛？附：若，则，，；．7．（2025·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足同学的不同口味和需求．（1）现在对同学性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与同学性别有关联？性别就餐区域合计南区北区男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，假如前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；假如前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；假如前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6358．（2025·全国·高三专题练习）某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7．年份20142015201620172018年投资金额万元12345年利润万元2.42.76.47.9（1）求表中实数的值；（2）求关于的线性回归方程．参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估量公式分别为，．9．（2025·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了争辩生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：.（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似听从正态分布.记大事：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似听从正态分布.在这个条件下，求，并推断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若，则.参考数据：.10．（2025·山东淄博·高三统考期末）第19届亚运会于2025年9月23日至10月8日在杭州进行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增加熬炼身体意识，某学校举办一场羽毛球竞赛．已知羽毛球竞赛的单打规章是：若发球方胜，则发球方得1分，且连续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打竞赛，依据以往甲、乙两名运动员对阵的竞赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；②已知：若随机变量听从两点分布，且，，2，…，n，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合竞赛后，甲的总得分的期望．1．（2025·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育竞赛，竞赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目竞赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的竞赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．（2025·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规章如下：若命中则此人连续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮状况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量听从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．3．（2025·全国·统考高考真题）某争辩小组经过争辩发觉某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以大事发生的频率作为相应大事发生的概率．（1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．4．（2025·全国·统考高考真题）一项试验旨在争辩臭氧效应.试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只安排到试验组，另外20只安排到对比组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对比组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.（1）设表示指定的两只小白鼠中安排到对比组的只数，求的分布列和数学期望；（2）试验结果如下：对比组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：对比组试验组（ii）依据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6355．（2025·全国·统考高考真题）一项试验旨在争辩臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只安排到试验组，另外20只安排到对比组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对比组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对比组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2