热点5-2 数列通项与前n项和常用求法（8题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

热点5-2数列通项与前n项和常用求法三年考情分析2025考向猜测以选择题和填空题为主，间或消灭在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前项和公式，以及错位相减法、裂项相消法等求和方法．估计2025年高考数列中与之间的互化关系照旧是一个热点．要留意函数思想、方程思想、分类争辩思想的机敏应用，解答题的难度有逐年增大的趋势，尤其是新颖题型的消灭．题型1由与的关系求通项若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要留意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种状况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，，则.【答案】【解析】①，∴当时，，解得；当时，②，①-②得，而，故，.∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴数列的通项公式为.2．（23-24高三下·广东湛江·模拟猜测）数列满足，则.【答案】【解析】由于，当时，当时，所以，所以，当时不成立，所以.3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且，，则．【答案】【解析】由于，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，当时，，又不符合上式，所以.4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，则.【答案】【解析】由于，所以，所以，所以是等差数列，公差为3，又，所以，即.题型2累加法与累乘法求通项1、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解．2、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解．1．（24-25高三上·贵州六盘水·模拟猜测）已知数列的首项，且，则（

）A．810 B．820 C．830 D．840【答案】B【解析】数列中，，，则.故选：B2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列中，，则（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【解析】在数列中，即,所以故选：A.3．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知数列的项满足，而，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以，则，，，，，，累乘可得，所以，又，所以，经检验时也成立，所以.故选：B4．（23-24高三下·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则.【答案】【解析】当时，，即，，则，即，则有，，，，则，当时，，符合上式，故.题型3利用构造法求通项1、形如（其中均为常数且）型设，开放移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．2、形如型（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列；（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入帮助数列（其中），得：．1．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知数列的首项，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，，易知，所以，即，又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以.故选：A.2．（24-25高三上·山西忻州·月考）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，可得，可知数列为等差数列，又由于，即，即，可知是2为公差的等差数列，且，则，可得，即，全部.故选：B.3．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知数列满足，且，则的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，即，所以，解得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以．故选：C.4．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】由，，，可得，所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，则，.题型4斐波那契数列的求解1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，．2、求和问题=1\*GB3①前项和：；=2\*GB3②奇数项和：；=3\*GB3③偶数项和：；=4\*GB3④平方和：（利用正方形面积公式推导）．1．（24-25高三上·江西上饶·月考）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依据斐波那契数列性质可得中的数字呈现格外数、奇数、偶数循环的规律，因此新数列即为依据成周期消灭的数列，周期为，易知，一个周期内的三个数字之和为；所以数列的前项的和为.故选：C2．（24-25高三上·重庆·月考）数学家斐波那契有段时间痴迷于争辩好玩的数列问题，意外发觉了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则．【答案】2025【解析】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，由,得,所以，，，...，将这个式子左右两边分别相加可得：所以.所以,所以.3．（23-24高三下·黑龙江大庆·模拟猜测）意大利有名数学家斐波那契在争辩兔子繁殖问题时，发觉有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第项．【答案】2025【解析】依题意有：，所以：，故答案为：2025.4．（24-25高三下·福建·开学考试）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为．【答案】8【解析】由，得，得，得，得，，所以，令，则数列即为斐波那契数列，，则，明显数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列，由，得，，，，，，由于，，所以使得成立的的最小值为8．题型5利用公式法求和（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）常用公式：=1\*GB3①平方和公式：；=2\*GB3②立方和公式：．（4）假如一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；；(2)【解析】（1）易知故求数列的通项公式分别为.（2）由（1）知：设数列的前项和为，数列的前项和为，则则数列的前n项和.2．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，.(1)证明：数列是等差数列.(2)求的通项公式.(3)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【解析】（1）由于，所以，所以.由于，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列；（2）由（1）可得，则，故；（3）由（2）可得，则.3．（24-25高三上·湖北黄冈·模拟猜测）已知数列满足．(1)若，且成等差数列，求；(2)若，且，求数列的通项公式及前项和．【答案】(1)；(2)，【解析】（1）当时，，依据题意有，所以，化简得，解得．（2），则，由，①所以，②②①得，即，所以且．所以为等差数列，首项为，公差为，所以．所以．4．（24-25高三上·甘肃兰州·模拟猜测）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）设的公差为，由，得，则．由成等比数列，得，则，而是单调递增的等差数列，所以，所以．解方程组得所以的通项公式为．（2）由，可得，所以．故是以为首项，公比为的等比数列，所以．题型6奇偶（并项）分组求和1、常见类型（1）通项含有或或或；（2）型；（3）型；（4）．2、留意事项：①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”；②假如需要争辩奇偶，一般状况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最终的奇数项通项;若通项公式不确定，则依据求偶的方式求奇即可；③并项后要留意新数列的项数．1．（24-25高三上·河北保定·期末）（多选）已知数列满足，，，为其前项和，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】在数列中，，，当时，，则，对任意的，由可得，上述两个等式作差可得，对于A选项，，A对；对于B选项，，可得，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，因此，D对.故选：ACD.2．（24-25高三下·湖南·月考）已知数列的前项和．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）当时：已知，那么，所以.当时：，先开放式子.则，所以.当时，，上式也成立.所以.（2）已知，把代入可得：.可以发觉相邻两项相加为，除了第一项中的和最终一项中的.所以.3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)设求数列的前20项和.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由于，①所以有.②②-①得.所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.又数列是等差数列，且.所以，所以.（2）由于设数列的前项和为，所以.故.4．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和为，且.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；(2)【解析】（1）当时，，且，所以；当时，由，得，则，可得，即，且，可得，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，可得，且，可知是以为首项，为公差的等差数列，所以，即.（2）由（1）可知，可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.当时，；当时，；综上所述：.题型7利用裂项相消法求和1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发觉被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【留意】利用裂项相消法求和时，既要留意检验通项公式裂项前后是否等价，又要留意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不行漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）1．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求数列的前项积.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，则，所以的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，所以.2．（24-25高三上·广东惠州·模拟猜测）记为等差数列的前项和，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和，并比较与的大小.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于为等差数列，设公差为，由于，，所以，解得，故.（2）由于，所以，则对，，又，故.3．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由题意，当时，，得，，当时，，①，②①-②得，由于，所以则，，，所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以，则（2）由，则，所以的前n项和4．（23-24高三下·天津·月考）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和；(3)若数列满足：，求．【答案】(1)，；(2)；(3)【解析】（1）设公差为，公比为，，，，解得或，，，故数列的通项公式为，，，，，解得，，故数列的通项公式为；（2）依据题意，，则，①，②①－②：，所以；（3）依据题意，，则．题型8利用错位相减法求和1、解题步骤2、留意解题“3关键”①要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确     写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种状况求解．3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．1．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】（1）①，当时，②，由①-②得，所以，当时，，所以，满足，所以.（2）由于，所以，即③，所以④，由③-④可得，即，所以，整理得.2．（24-25高三上·陕西汉中·期末）在数列中，，．(1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，；(2).【解析】（1），又，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴．（2）由（1）知，则，∴，①，②，①②，得，∴．3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由于数列的各项都为正数，且（，），所以数列是等比数列，设等比数列的公比为（），由，，得，即，解得或（舍），所以.设等差数列的公差为，由题意得，解得所以.（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以.4．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和为.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，得，两式相减得，由于，，所以，所以，故，所以数列是以为首项，以为公差的等比数列，所以；（2）由（1）知：，所以，则，两式相减得，，，所以.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（

）A．2 B．6 C．12 D．20【答案】D【解析】由得，，.故选：D2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（

）A．144 B．312 C．288 D．156【答案】C【解析】由于，所以，故选：C.3．（24-25高三上·新疆·模拟猜测）已知在正项数列中，，，，则（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【解析】依题意数列为首项为1，公差为4的等差数列，.，，.故选：A.4．（24-25高三上·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（

）A． B． C．505 D．1013【答案】A【解析】设公差为，由于成等比数列，所以，则，解得或，当时，，此时与成等比数列冲突，故排解，当时，，此时令，而其前项和为，，故A正确.故选：A5．（24-25高三上·江西·月考）设是公差为2的等差数列，且，若，则（

）A．2025 B．2025 C．4048 D．4050【答案】B【解析】由，得，则，从而．故选：B6．（24-25高三上·河北承德·月考）已知数列满足，则数列的前30项和（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】把代入整理得：，故.故选：D7．（24-25高三上·重庆·月考）已知数列满足：，，，则（

）A． B．3 C．4 D．【答案】C【解析】由，则，所以所以，，…，，各式相加得：，则.故选：C.8．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，所以由递推公式可得当时，等式两边分别相加，得，由于，则，而满足上式，所以，即，函数在上单调递减，在上单调递增，又由于，当时，，当时，，由于，所以的最小值为.故选：A.二、多选题9．（24-25高二上·福建龙岩·月考）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．B．数列为等比数列C．D．若，则数列的前10项和为【答案】BD【解析】当时，由，得，解得，当时，，即，即数列为以为首项，以为公比的等比数列，则，，，所以A、C错误，B正确；又，数列的前10项和为：，D正确.故选：BD.10．（24-25高三上·河南·三调）数列满足，记数列的前项和为，则（

）A． B．C．数列的前项和为 D．的最小值为【答案】AD【解析】对于A，由，得①，当时，；当时，②，由①－②，得，解得，当时也成立，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，数列的前项和为，故C错误；对于D，由于，当时，，当时，，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，故D正确.故选：AD.11．（23-24高三下·山东·模拟猜测）意大利有名数学家斐波那契在争辩兔子的繁殖问题时，发觉有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以，所以A错误，对于B，当时，，，，所以三式相加得，所以，所以B正确，对于C，由于数列满足：，，所以，，，……，，，，以上2025个等式相加得,由于，所以，所以C正确，对于D，由于，，所以，,,,……,,所以，所以D正确，故选：BCD三、填空题12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列满足，且，，，则数列的前10项和为.【答