抢分专练04 导数（教师版）

抢分专练04导数一、单选题1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由变形得，从而有，，所以，由于，所以，则，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以，，又，而，所以，综上，.故选：D.2．（2025·河北·二模）某地方案对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造，在扇形内取一点使得，以为半径作扇形，且满足，其中，，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，则图中阴影部分的面积，由于，，所以，所以，令，则，由，得，由于，所以，令，得，所以，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，最小，即图中阴影部分的面积取最小值.故选：A.3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式肯定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则，由于当时，有恒成立，所以当时，，即在上单调递减，所以，即，即，A错误，B正确，，即，即，CD错误.故选：B.4．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，所以在上单调递增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：C5．（2025·全国·模拟猜测）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】方法一：，明显在上单调递增，故存在唯一的，使得，即，且当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，因此的最小值为，则，即.对两边取对数得，则，代入得.设，则，所以在单调递减且，可知不等式的解为，因此.又，则.方法二：即，即，而与互为反函数，依据互为反函数的函数图象关于直线对称，问题转化为即可，即恒成立.设，则，当时，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故，即得.方法三：，构造，则转化为.，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以有微小值，且，则转化为，即，设，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故，即得.故选：C6．（2025·全国·模拟猜测）若，，，则，，的大小挨次为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】构造函数，则，，，由，令得，令得，则在上单调递增，在上单调递减．由于，所以，所以；由于，所以，所以；令，且，则，令，，则，所以在上单调递增，又，所以，所以，由于，且，所以，所以.故选：B二、多选题7．（2025·全国·模拟猜测）已知函数下列结论中正确的是（

）A．若，则是的极值点B．，使得C．若是的微小值点，则在区间上单调递减D．函数的图象是中心对称图形【答案】BD【详解】A：由于，所以，当时，，则在R上单调递增，不是极值点，故A错误；B：由选项A的分析知，函数的值域为，所以，使得，故B正确；C：由选项A的分析知，当时，在上单调单调递增，在上单调递减，所以若为的微小值点时，在上先递增再递减，故C错误；D：，而，则，所以点为的对称中心，即函数的图象是中心对称图形，故D正确.故选：BD．8．（2025·全国·模拟猜测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，即，所以，即，所以．又由于为奇函数，所以，当时，，即，所以选项B正确．又由于，所以，即函数的周期为4，所以．由于，所以，所以选项C正确．由为奇函数可知，即的图象关于点成中心对称，不妨取，则满足周期为4，关于成中心对称的条件，由于，可知选项A，D错误．故选：BC．9．（2025·全国·模拟猜测）函数在区间上可能（

）A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值【答案】AD【详解】由于，，所以，且，由图象可知，函数在上不行能有零点，故选项B错误；函数取不到最低点，故无最小值，故C错误；当，即时，在上单调递增，故选项A正确；当时，即时，在上先递增后递减，有极大值，故D正确，故选：AD．10．（2025·黑龙江大庆·模拟猜测）已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于点对称C． D．【答案】BC【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则由，可得，又，所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，所以，即，即函数的周期为4，由，可得，由于的周期为4，所以，则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；由于的图象关于直线对称，则，所以，所以，由于的周期为4，所以的周期也为4.由，可得，所以，故C正确；由，可得，所以，即，故D错误.故选：BC三、填空题11．（2025·全国·模拟猜测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上全部点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】设的最小正周期为T，则由图象知，所以，则，由在处取得最小值，可得，，得，．由于，所以，所以；（或由题意可得，，亦可得），由，得，所以由题意得，解得，即实数m的取值范围是．故答案为：.12．（2025·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为．【答案】【详解】由题意设，由于面积为，所以，依据题意有：，所以，则长方体的体积为，，令，有，所以时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为.故答案为：13．（2025·全国·模拟猜测）已知，函数恒成立，则的最大值为.【答案】7【详解】当为正偶数时，当时，，不符合题意，所以为正奇数，则当时，恒成立，只需争辩时，恒成马上可，当时，成立，则当时，由于此时小于0，所以恒成立，当时，恒成立，设，则，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又由于为正奇数，所以的最大值为7.故答案为：714．（2025·四川成都·模拟猜测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由函数，可得，由于函数在上有2个极值点，即在上有两解，即在上有两解，令且，可得，当时，可得，单调递增，不符合题意，（舍去）；当时，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取得微小值，微小值为，要使得在上有两解，则满足，当时，解得；当，即，设，其中，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又由于，所以，所以不等式，可得，由可得，解得，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.15．（2025·全国·模拟猜测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记的中点为E，且，四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为，此时．【答案】1【详解】由于，则平面过球O的球心O．又的中点为E，则点E是以为直径的球截面的小圆圆心，连接，如图，则，四边形为梯形．令球O的半径为R，设，则，

四棱锥的体积最大，当且仅当梯形的面积最大，并且点D到平面的距离最大，明显球面上的点D到平面的最大距离为R．梯形面积，令，，求导得．当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，，此时，于是四棱锥体积的最大值为，解得，所以球O的表面积为．故答案为：.16．（2025·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为【答案】【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为，故切线方程为，即.故答案为：.17．（2025·河北·模拟猜测）若，则的大小关系为（用“<”号连接）．【答案】【详解】令函数，求导得，即函数在上单调递增，，则，即，令函数，求导得，即函数在上单调递减，，则，即，所以的大小关系为.故答案为：18．（2025·辽宁鞍山·二模）的极大值为．【答案】【详解】，当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有极大值.故答案为：.四、解答题19．（2025·全国·模拟猜测）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线与C交于点，，C在点A，B处的切线交于点P．(1)求的值．(2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）由题意，得，解得．所以C的方程为．由于直线AB的斜率必存在，故可设直线AB的方程为．将其代入中，得，此时恒成立，所以．（2）由，得，则，所以抛物线C在点A处的切线方程为，即①同理，得抛物线C在点B处的切线方程为．②联立①②，得，则，所以点P的坐标为．设，则直线MN的方程为．由得，，即．所以．由得，，即．所以．所以．20．（2025·河北·二模）已知函数．(1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，所以切线的斜率.所以切线的方程为，即.令，得，令，得，所以切线与轴交于点，与轴交于点，所以切线与坐标轴围成的三角形的周长为.（2）设，则，由题意知在的图象上，所以，所以.由，得，即，由于存在，使成立，所以存在，使成立，设，则，又，当且仅当时等号成立，所以单调递增，所以当时，，可得，即实数的取值范围是21．（2025·全国·模拟猜测）在锐角中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理得，又，所以，由整理得，即，解得，又，所以，即；（2）由余弦定理，得①，由得，即，解得．下面用三种方法求的取值范围．思路1：用余弦定理切入．由于为锐角三角形，所以，即，将①代入得，同理，由，得，故．思路2：用正弦定理切入．由于为锐角三角形，所以解得，由正弦定理得．思路3：用极限方法求解．由于为锐角三角形，当时，；当时，；故．接下来换元构造函数求最值．设，则．设，则，由得，又，所以，由得，所以在单调递增，在单调递减，故．所以．方法二：思路1，齐次化不等式处理由得，两边平方得，令，则，则，当即时等号成立，故的最大值为．思路2：正弦定理函数处理由，得，两边平方得．又由于，则，代入得．又由于为锐角三角形，所以，解得，当即时，的最大值为，所以．方法三：设的中点为外接圆的圆心为O，则，所以，，所以，，所以，所以．所以，当且仅当A,O,D三点共线时等号成立，此时为锐角三角形．22．（2025·北京东城·一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)设，求函数的最小值；(3)若，求实数的值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），则，所以曲线在处的切线方程为，即；（2），，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以；（3）函数的定义域为，当时，，则，即，即，由（2）得，令，则，所以在上单调递增，又当时，，由于，所以，此时不恒成立，故不符题意；当时，若，则，则，即，即，由上可知函数在上单调递增，所以，所以，解得①，若，则，即，即，由上可知函数在上单调递增，所以，所以，解得②，由①②可得，综上所述，.23．（2025·全国·模拟猜测）设函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【详解】（1）当时，的定义域为，，令，则，解得，令，则，解得.函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，则.令，其中，则.令，解得，令，解得.的单调递减区间为，单调递增区间为，.又，函数在上有两个零点，的取值范围是.24．（2025·浙江杭州·模拟猜测）已知函数.(1)当时，证明：；(2)当时，，求的最大值；(3)若在区间存在零点，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）定义域为，当时，，，由于，令，当且仅当，即时，等号成立，又，故；（2）当时，，，设，则，令，，故在上单调递增，又，故当时，，即，即，故，所以，则在恒成立，当时，同理可得，则在上恒成立，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得微小值，也是最小值，，故，所以的最大值为；（3），令，当时，，由于恒成立，故无解，舍去；当时，，令，，，下面证明,，令，，则，，其中，令，，则，，其中，令，，则，，当时，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故，即,，则，，则，，由于，而，故，则，故在上单调递增，又趋向于0时，趋向于2，故，故令，解得，此时有解，故存在零点，故的取值范围是.25．（2025·全国·模拟猜测）已知函数，曲线在点处的切线平行于直线．(1)当时，求b的值；(2)当时，若在区间各内有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）当时，，所以，所以．（2）令，有，在区间内各有一个零点，也即在区间内各有一个零点，则，（i）当时，，令，则，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，易知当时，取得最小值1，所以，当时，，于是在上递增，则与在上有一个零点冲突，舍去．（ii）当时，令，则，令，则，所以在上单调递增，又，即，使，且当时，单调递减；当时单调递增，所以，，当时，，故，使，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，故，由于当时，，当时，，故，使，综上，．所以的取值范围为．26．（2025·全国·模拟猜测）已知函数．(1)争辩的单调性；(2)若存在唯一的极值点，证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）由于，当时，，此时在上恒成立，所以在上单调递减；当时，在上单调递减，所以在上有唯一零点，当时，，在上单调递增，当时在上单调递减；当时，在上有零点，当和时，，所以在和上单调递减，当时，，所以在上单调递增．综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增．（2）由题意可知，若存在唯一的极值点，由（1）可知且．由于，要证，只需证①．由于，所以．将代入①整理可得，只需证．令，则，所以在上单调递减，所以，所以，即原不等式成立．27．（2025·全国·模拟猜测）已知函数．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．【答案】(1)(2)．【详解】（1）当时，，，则，故，，所以在点处的切线方程为，即.（2）方法一：由于，所以，明显单调递增，由于在区间上有最小值，则在上存在零点，即存在唯一的，使得，即．当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，因此的最小值就是,令，则易知在上单调递减，且，所以由的最小值为，求得，代入得，结合，解得，此时．方法二：由于在区间上的最小值为1，所以，即，解得，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，则，当且仅当时，等号成立，将代换成，得，则当时，有，即，当且仅当时，等号成立，所以当时，，当且仅当时取到等号，符合题意；当时，，不符合题意；综上，.28．（2025·云南昆明·一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由于，则切点坐标为，由于，所以切线斜率为，故切线方程为，即．（2）当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，由于，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意．综上所述，．29．（2025·全国·模拟猜测）已知函数．(1)求证：在上有唯一的极大值点；(2)若恒成立，求a的值；(3)求证：函数有两个零点．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析.【详解】（1）由于，设，则对恒成立，所以在上单调递减．又，由零点存在性定理可知在上有唯一的零点，和随x变化而变化的情祝如下．x0递增极大值递减所以在有唯一的极大值点．（2）令，由条件知恒成立，所以．由于，且在定义域上连续，所以是的一个极大