抢分专练03 圆锥曲线（教师版）

抢分专练03圆锥曲线一、单选题1．（2025·四川德阳·三模）设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【详解】令双曲线的焦点，设，则，即有，，同理，而，故，因此，即，所以双曲线C的离心率.故选：D2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，在第一象限存在点，且点在双曲线上，满足，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由得，由于点在第一象限，所以为锐角，所以，由于，所以，由双曲线定义得，在中，由余弦定理有，整理得，又，所以，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：B3．（2025·全国·模拟猜测）已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】取BC的中点M，设，，，，则．∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得，即，∴．∵，∴，连接OM，则，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的离心率.故选：D．4．（2025·河北·二模）已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，由，是圆上的两个动点，且，即，又，则，可得，所以，则动点的轨迹方程为，且圆心到直线的距离为，所以的最小值为.故选：D5．（2025·全国·模拟猜测）已知点P为抛物线上的动点，A，B为圆上的两个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于，要使最小，则当最大时，此时与圆相切，则，所以，要求的最小值，则需最大，即需最小．设，则，所以当时，，此时，即的最小值为.故选：C．6．（2025·全国·模拟猜测）已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】如图所示：由于为等腰三角形，且顶角为，所以，过点作轴，垂足为，在中，则，故，代入双曲线方程得，解得，即，所以，解得.故选：D7．（2025·四川成都·三模）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【详解】设的坐标为，则，抛物线的焦点，准线方程为，当点在直线上及右侧，即时，，当且仅当是与直线的交点时取等号，此时，当且仅时取等号，当点在直线左侧，即时，点关于的对称点是，则，，当且仅当是与直线的交点，且时取等号，而，所以的最小值为.故选：C8．（2025·湖南衡阳·模拟猜测）已知椭圆的中心为原点，焦点为，，以为圆心，为半径的圆交椭圆于、两点，且，则椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接、，依据对称性可知，又，所以为等边三角形，即，所以点为椭圆的短轴的顶点，又，所以，则，所以椭圆方程为.故选：C9．（2025·全国·模拟猜测）若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【详解】依据双曲线的几何性质可知，右焦点，其到渐近线的距离为，由于，所以.故选：D．10．（2025·全国·模拟猜测）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知点，要使圆：上存在点，使得，由于点在直线上移动，而当与圆相切时取最大值，此时，，只有点移动区域满足时，才能找到符合条件的点，，满足题意的．故选：A．二、多选题11．（2025·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（

）A． B．C． D．直线与抛物线的准线相交于点【答案】ACD【详解】由抛物线过点，可得，则，故A正确；由上可知抛物线，准线方程为，所以，故B错误；由已知可得，所以直线的方程为，即，联立方程组，得，解得或，故，所以，故C正确；由直线的方程，令，得，所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确.故选：ACD12．（2025·全国·模拟猜测）已知圆关于直线对称，则下列结论中正确的是（

）A．圆的圆心是 B．圆的半径是4C． D．的取值范围是【答案】ACD【详解】将圆的方程化为标准方程可得，所以该圆的圆心为，半径为2，故选项A正确，选项B不正确．由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故选项C正确．由选项C知，所以，所以的取值范围是，故选项D正确．故选：ACD．13．（2025·全国·模拟猜测）设F为抛物线的焦点，点在C上，过点的直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．抛物线C的方程为 B．抛物线C的焦点为C．直线与C不相切 D．【答案】BD【详解】由于点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的方程为，焦点坐标为，故A错误，B正确．可求得直线，又直线与对称轴不平行，由得，所以，故C错误．设过点B的直线方程为，与抛物线在第一象限交于两点，联立消去y并整理可得，则，所以，所以，故D正确．故选：BD．14．（2025·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（

）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为8【答案】ABD【详解】由于，所以,故，因此，故，所以椭圆，对于A，焦距为，故A正确，对于B，短轴长为，B正确，对于C，离心率为，C错误，对于D，的周长为，D正确，故选：ABD三、填空题15．（2025·全国·模拟猜测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为．【答案】/【详解】设，设圆与轴相切于点M，N，T，所以，所以，即，所以．由椭圆的其次定义可知，所以，所以，由等面积法得到，所以．由于，所以，所以，即．故答案为：16．（2025·全国·模拟猜测）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆C于P，Q两点，且，则的内切圆半径为．【答案】1【详解】由于椭圆，所以，连接，由椭圆的对称性知，．又，所以四边形为矩形．设，则得到．设的内切圆半径为r，圆心为，所以

则，由于，，所以，即，解得．故答案为：.17．（2025·河北·二模）阅读下列两则材料：材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．材料2．某课外学习爱好小组通过对反比例函数的图象的争辩发觉：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，．完成下列填空：已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为．【答案】/【详解】直线和轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线.由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得，解得：或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为.若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为.故答案为：18．（2025·全国·模拟猜测）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为．

【答案】【详解】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，

可知平面与正方体相交的截面即为正六边形，其边长为，因此面积为．由上可知，平面，且垂足H为的中点，如图2，动直线是以为轴、直线与直线的夹角为的圆锥的母线，点Q的轨迹为圆锥底面圆．

图2由于，所以底面圆的半径，所以点Q的轨迹长度为．故答案为：；四、解答题19．（2025·全国·模拟猜测）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．(1)求双曲线C的标准方程；(2)求证：直线m与直线的斜率之积为定值；(3)求的最小值．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)3【详解】（1）由于虚轴长为2，即，所以．又由于有一条渐近线方程为，所以，所以双曲线C的标准方程为；（2）由题意，点A与点P关于原点对称．设，则．由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k，记直线m的方向向量为，又直线m为的平分线，则．由于，所以，同理，又，代入得，，化简得．所以，即直线与直线m的斜率之积为定值；（3）由（2）可知．又，所以，将代入得，，所以．设直线m的方程为，将代入得，所以直线m的方程为．由点到直线距离公式得，．又直线的斜率为，设直线的方程为，将代入得，所以直线的方程为．将其与联立得．设，则．由得，所以．所以，当且仅当，即时等号成立，所以当且仅当时，的最小值为3．20．（2025·全国·模拟猜测）已知A，B分别为双曲线的左，右顶点，四点中恰有三点在双曲线E上．若P为直线上的动点，与E的另一交点为与E的另一交点为D．(1)求双曲线E的方程；(2)若，求直线的方程；(3)过点B作于点Q，是否存在定点G，使得为定值．【答案】(1)(2)(3)存在定点【详解】（1）方法一：由题意可知点与点关于原点对称，故双曲线肯定过和两点．当双曲线过点时，有方程无解；当双曲线过点时，有解得故双曲线E的方程为．方法二：由题意可知点与点关于原点对称，故双曲线肯定过和两点．设双曲线E的方程为，当双曲线过点时，有方程无解；当双曲线过点时，有解得故双曲线E的方程为．（2）

如图，由（1）知，设，则直线的方程是，联立消元，得，由韦达定理得，即，代入直线的方程得，即．直线的方程是，联立消元，得，由韦达定理得，即，代入直线的方程得，即．所以直线的斜率，所以直线的方程是，整理得．由于，所以直线的方程为.（3）

如图，由（2）得直线：过定点．由于，所以为直角三角形，取的中点，则，即为定值．综上，存在定点，使得为定值．21．（2025·全国·模拟猜测）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．已知点A在圆C上．(1)求A到直线l距离的最小值；(2)若点B在圆C上，且，直线OA的斜率为2，直线OA，OB与直线l分别交于点M，N，求的值．【答案】(1)1(2)【详解】（1）将圆C的参数方程（为参数）中的参数消去，得圆C的一般方程为．直线l的极坐标方程可化为，将，代入上式，得l的直角坐标方程为．圆C的圆心（0，0）到直线l的距离为，故A到直线l距离的最小值为．（2）如图所示由于点A在圆C上，点在圆C上,所以，又，所以为等腰直角三角形，故．由于直线OA的斜率为2，所以直线OA的方程为，又，所以，即，所以直线OB的方程为，由，得，可得，由，得，可得，故，所以．22．（2025·全国·模拟猜测）已知直线l：与拋物线E：交于A，B两点，与x轴交于点M，．(1)求抛物线E的标准方程；(2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线，，若与的交点为P，P到y轴的距离为d，直线，与y轴的交点分别为C，D，且，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）设，，由，可得，满足，则，，由题意知，，所以，∴，∴抛物线E的标准方程为．（2）设，拋物线E在点A处的切线方程为，由，可得，由切线与抛物线只有一个公共点得及，可得，故的方程为，即，同理可得的方程为，设，由，可得．得，，则，则，得，又，，所以，得，故直线l的方程为或．23．（2025·全国·模拟猜测）在平面直角坐标系中，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线E相交于A，B两点，直线交抛物线E的准线于点C．(1)当时，求抛物线E的方程；(2)当抛物线E的准线为时，证明：直线轴．【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）由题意设直线，联立，则，所以，解得，即抛物线E的方程为．（2）由题意得，抛物线E的方程为，设直线的方程为，令，可得，设直线l的方程为，代入方程得，所以，所以，所以直线轴．

24．（2025·河北·二模）已知椭圆的离心率．(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程．(2)若直线，均过点且相互垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.（ⅰ）求；（ⅱ）记，求数列的前项和．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【详解】（1）由于，，所以，所以椭圆的方程为，由于椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）（ⅰ）当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线与轴重合，不符合题意.故直线的斜率均存在且不为0.设直线的方程为，,联立方程，消去并整理得，由于直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以，依据韦达定理得，，则，同理可得，由于三点共线，所以，易知，则，由于，所以.（ⅱ）结合（ⅰ）可知，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前项和.25．（2025·全国·模拟猜测）已知O为坐标原点，椭圆C：的焦距为，离心率，过点作两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．(1)求椭圆C的标准方程．(2)记直线AM与BN的斜率分别为，且，推断是否存在非零常数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；【详解】（1）解：由题意得，，所以，，则，所以椭圆C的标准方程为．（2）如图所示：由题意可知A，M是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，M关于坐标原点O对称，设，则，，，且，．设直线：，，联立方程可得，消去y，得，则，所以．由于，，所以，所以，所以．同理，设直线：，，由于，，所以，所以，所以．由于直线AM与BN的斜率分别为，，所以，，所以，所以存在非零常数，使得，且．26．（2025·全国·模拟猜测）在直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且．(1)求的方程；(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，解得．由于点M在上，所以，解得，所以，所以，则，即，又，所以，所以椭圆方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为，与椭圆方程联立，消去y得．由于点在椭圆内，所以，设，则，，所以．当时，，则直线的方程为，与椭圆方程联立得．设，则．由，得，所以点Q在定直线上．当时，由条件可得，，则点也在直线上．当k不存在时，由条件可得，可知点也在直线上．综上，点Q在定直线上．27．（2025·广东深圳·二模）设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．(1)求C的方程；(2)若直线，且与C相切于点N，证明：的面积不小于．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）

设点，，由题可知，当时，明显有；当时，直线OM的方程为，点．联立直线AB与C的方程得，，所以，，由于直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，所以．即，，化简得．将代入上式得，则，所以曲线C的方程为．（2）

（法一）设直线：，联立C的方程，得．由，得，点，设AB的中点为E，由于，，则点．由于，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的．记△AMN的面积为S，点到直线AB：的距离，所以，当时，等号成立．所以命题得证．（法二）设直线：，联立C的方程，得．由，得，点．所以直线MN与x轴垂直．记△AMN的面积为S，所以．当时，等号成立．所以命题得证．28．（2025·全国·模拟猜测）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线与C交于点，，C在点A，B处的切线交于点P．(1)求的值．(2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）由题意，得，解得．所以C的方程为．由于直线AB的斜率必存在，故可设直线AB的方程为．将其