抢分专练01 概率统计（教师版）

抢分专练01概率统计一、单选题1．（2025·四川成都·三模）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必需等待的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设甲船到达泊位的时间为，乙船到达泊位的时间为，则，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必需等待，则，画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分，，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必需等待的概率为.故选：C2．（2025·全国·模拟猜测）陪伴是最好的亲情．某地政府倡议年轻人平常多陪伴父母，多措并举，制造就业机会，尽量让年轻人在家四周工作．一年后，该地政府对在家四周工作的年轻人进行了调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则样本中位数为（

）

A．150.5 B．152.5 C．154.5 D．156.5【答案】B【详解】由条件可得，故.由于，，所以样本中位数为.故选：B.3．（2025·全国·模拟猜测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天际队、谛听队、洪荒队参与竞赛，天际队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设大事A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天际队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天际队、洪荒队”，且相互互斥，则，故选：B．4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否宠爱冰雪运动与同学性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中宠爱冰雪运动的人数占男生人数的，女生中宠爱冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否宠爱冰雪运动与同学性别有关，则被调查的同学中男生的人数不行能是（

）附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．48 B．54 C．60 D．66【答案】A【详解】设男生人数为，由于被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，依据题意列出列联表：男生女生合计宠爱冰雪运动不宠爱冰雪运动合计则，由于依据的独立性检验，认为是否宠爱冰雪运动与同学性别有关，所以，即，解得，又，所以B、C、D正确，A错误.故选：A5．（2025·宁夏石嘴山·三模）某班有同学人，现将全部同学按，，，，随机编号，若接受系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为，，，，号同学在样本中，则（

）A． B． C．14 D．【答案】A【详解】由于，所以组距为10，由于第一个被抽取的编号为4，所以，所以.故选：A6．（2025·河北·二模）已知随机变量听从正态分布，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由于，则，，若则，即，故充分性成立，若，则，解得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．（2025·河南信阳·模拟猜测）从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（

）A．12个 B．10个 C．8个 D．7个【答案】B【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数，当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，因此一共有个，故选：B8．（2025·北京东城·一模）已知，若，则的取值可以为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【详解】令，有，即或.故选：A.二、多选题9．（2025·全国·模拟猜测）2025年10月26日，神舟十七号载人飞船成功放射，我国在航天事业中取得举世瞩目的成就．为了普及航天学问，某校进行了航天学问竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为．记表示甲的得分，则（

）A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为【答案】CD【详解】由该题有2个正确选项的概率为，得该题有3个正确选项的概率为，对于A，若甲得2分，则该题有3个正确选项，甲选择了2个正确选项，概率为，因此甲得2分的概率，A错误；对于B，若甲选择2个选项，则的可能取值为，则，，则，B错误；对于C，若甲选择3个选项，则的可能取值为0，5，则，，因此，C正确；对于D，由选项BC知，甲得5分的概率为，D正确．故选：CD10．（2025·河北·二模）已知，，其中，．若，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】二项式开放式的通项为（且），，所以，，由于，所以，解得（舍去）或，故A正确；由，令可得，故B正确；由，令可得，令可得，所以，故C错误；将两边对求导可得，，令可得，故D错误.故选：AB11．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）现有一款闯关玩耍，共有4关，规章如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观看向上面的点数并做记录，假如这n次抛掷所消灭的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（

）A．直接挑战第2关并过关的概率为B．连续挑战前两关并过关的概率为C．若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少消灭一个5点”，则D．若直接挑战第4关，则过关的概率是【答案】ACD【详解】对于A：，所以两次点数之和应大于，点数之和大于的状况有种，抛掷两次基本大事有种即直接挑战第关并过关的概率为，A正确；对于B：，挑战第一关通过的概率为，所以连续挑战前两关并过关的概率为，B错误；对于C：抛掷三次基本大事有种，抛掷3次至少消灭一个5点的大事共有种，故，而大事同时发生包含：的1种，的有种，共7种，故，所以，C正确；对于D：当时，，而“4次点数之和大于20”包含以下35种状况:含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，含3，6，6，6的有4种所以，D正确.故选：ACD.12．（22-23高二下·江西南昌·期中）甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的大事；再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的大事，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由题意知，是两两互斥的大事，,，则A正确；，则B正确；，则C错误；，则D正确.故选：ABD13．（23-24高二下·浙江·期中）盒中有编号为1，2，3，4的四个红球和编号为1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用大事表示“第次首次取出红球”，用大事表示“第次取出编号为1的红球”，用大事表示“第次取出编号为1的白球”，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对于A：依题意，，，即，故A正确；对于B：，，所以，故B正确；对于C：，，所以，故C正确；对于D：，，所以，故D错误.故选：ABC14．（2025·全国·模拟猜测）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“其次次取得黑球”为，“其次次取得白球”为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、其次次取得黑球的概率，第一次取得白球、其次次取得白球的概率，则，所以A错误；对B，第一次取得黑球、其次次取得白球的概率，第一次取得白球、其次次取得黑球的概率，则，所以B正确；对C，由，得，所以C正确；对D，由，得，所以D正确．故选：BCD．15．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（

）A． B．C．互斥 D．【答案】BCD【详解】由题意，，所以，A不正确；从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以，B正确；由互斥大事的概念可知，互斥，C正确；，D正确.故选：BCD16．（2025·湖南邵阳·模拟猜测）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2025年中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查总人数中的占比，依据该图，下列说法正确的是（

）A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于C．图中各类亲子活动占比的中位数为D．图中10类亲子活动占比的极差为【答案】AB【详解】对于A，亲子阅读阅读占比，为最大，A正确；对于B，由于，B正确；对于C，图中各类亲子活动占比的中位数为，C错误；对于D，图中10类亲子活动占比的极差为，D错误.故选：AB17．（2025·全国·模拟猜测）下列说法中正确的是（

）A．用简洁随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是12%B．，当不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为32【答案】AB【详解】对于A中，用简洁随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率为，故选项A正确；对于B中，当不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，所以B正确；对于C中，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7个和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，所以C错误；对于D中，若数据的标准差为1，所以的方差为1，则数据的方差为9，所以数据的标准差为3，所以D错误．故选：AB．三、填空题18．（2025·广东深圳·二模）已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为．【答案】5【详解】由题意知，，所以，由，得，所以.故答案为：519．（2025·全国·模拟猜测）已知在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD内（不包含边界）随机取一点E，若直线AE与直线CD交于点M，则的概率为．【答案】/【详解】如图，在CD上取一点F，使得，连接AF，则在中随机取一点E，直线AE与直线CD的交点M始终满足，故所求概率，故答案为：20．（2025·全国·模拟猜测）记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则=．【答案】【详解】将样本数据按从小到大的挨次排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位数，由平均数的计算公式得，所以.故答案为：.21．（2025·全国·模拟猜测）小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，依据以往训练状况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为．【答案】【详解】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.故答案为：.22．（2025·全国·模拟猜测）某市高三班级男生的身高X（单位：）近似听从正态分布，随机选择一名本市高三班级的同学，则．【答案】0.5【详解】由题意得，，所以．故答案为：．四、解答题23．（21-22高二下·全国·期末）为提升同学身体素养，鼓舞同学参与体育运动，某高中学校同学进展中心随机抽查了100名同学，统计他们在暑假期间每天参与体育运动的时间，并把每天参与体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为，运动达标的女生与男生的人数比为，运动欠佳的男生有5人.(1)依据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“运动达标状况”与“性别”是否有关?性别运动达标状况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的同学中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式：，.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，“运动达标状况”与“性别”无关.(2)【详解】（1）2×2列联表为：性别运动达标状况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100假设：运动达标状况与性别无关..依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“运动达标状况”与“性别”无关.（2）已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，则选中2人中恰有一人是女生的概率为.24．（2025·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到兴奋，但“刷脸支付”的平安性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过平安感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.依据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)据此估量这人满足度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不接受“刷脸支付”，无任何优待，但可参与超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个外形、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．方案二：接受“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优待，但不参与超市的抽奖返现金活动，依据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优待，有的概率享受折优待，有的概率享受折优待.现小张在该超市购买了总价为元的商品．①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到）【答案】(1)68(2)①分布列见详解，；②选择方案二更划算.【详解】（1）由直方图可知，满足度的平均数为：.（2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为；摸到个红球，返消费金额的，实际付款为，所以的可能取值为，由于，所以，的分布列为：X8009001000P所以（元）.②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为，由于，所以，Y的分布列为：Y800900950P所以，（元）由于，所以选择方案二付款更划算.25．（2025高三下·全国·专题练习）“九子玩耍”是一种传统的儿童玩耍，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的玩耍项目，某学校为丰富同学们的课外活动，举办了“九子玩耍”竞赛，全部的竞赛项目均接受局胜的单败淘汰制，即先赢下局竞赛者获胜.造房子玩耍是同学们宠爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子玩耍的决赛，已知每局竞赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.(1)若，，设竞赛结束时竞赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)设接受3局2胜制时乙获胜的概率为，接受5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.【答案】(1)分布列见解析，(2)【详解】（1）由于，所以竞赛接受3局2胜制，的全部可能取值为2，3，，，的分布列为23所以.（2）由题意知，.由，得，且，则，可得，整理得，解得，所以的取值范围为.26．（2025·全国·模拟猜测）某农业高校组织部分同学进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了养分液，现统计了使用养分液十天之内该作物的高度变化天数x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414(1)观看散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；(2)小明测得使用养分液后第22天该作物的高度为，请依据（1）中的结果猜测第22天该作物的高度的残差.参考公式：.参考数据：.【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，，故，，故所求回归直线方程为.（2）由（1）可知，当时，，故所求残差为.27．（2025高三·全国·专题练习）近年来，随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车快速崛起，其因颜值高、动力充分、提速快、空间大、用车成本低等特点得到民众的追捧，但是充电难成为影响新能源汽车销量的主要缘由，国家为了加快新能源汽车的普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩．某地区2019－2025年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：年份20192020202520252025充电桩数量x/万台13579新能源汽车年销量y/万辆2537485872(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；(2)求y关于x的线性回归方程，猜测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估量公式分别为，．参考数据：，，，．【答案】(1)答案见解析(2)；157.25万辆【详解】（1）由题知，，又，，，所以，由于y与x的相关系数近似为0.999，格外接近1，所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2），，所以y关于x的线性回归方程为．当时，，故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆．28．（23-24高二下·江苏·单元测试）某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发觉这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，分组区间为，得到频率直方图（如图）．

(1)求出频率直方图中a的值和这200人的平均年龄．(2)从第组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率．(3)把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组．若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问：是否有的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)0.035，41.5岁(2)(3)没有99%的把握【详解】（1）由题意得，所以，平均数为，所以这200人的平均年龄为41.5岁．（2）由题意可知第组中人数的必为，故利用分层抽样的方法抽取5人，从第一组抽取2人，从其次组抽取3人．记从第一组抽取的2人为，从其次组抽取的3人为，则从这5人中随机抽取2人共共10种情形，其中两人恰好属于不同组别的共种情形，故所求的概率；（3）由题意知200人中属购买力强的人数占80%，有160人，故得列联表为：购买力强人群购买力弱人群合计青少年组10020120中老年组602080合计16040200提出假设：是否属“购买力强人群”与年龄无关．依据列联表中的数据，可以求得，所以没有99%的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关．29．（2025·浙江台州·二模）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，方案加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

444.81040.31.61219.58.06现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?(2)依据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并猜测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同