数学（天津卷02）（全解全析）

2025年高考押题猜测卷数学（天津卷02）·全解全析留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【学问点】交集的概念及运算【分析】先求出集合B，再利用集合的交运算即可求得结果.【详解】易知，所以，故选：A．2．使不等式成立的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．【答案】D【学问点】推断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义推断结论.【详解】解不等式，可得，所以不等式成立的一个充分不必要条件必需为的非空真子集，所以可以排解选项A，B，C，由于由可推得，由不能推得，所以使不等式成立的一个充分不必要条件为．故选：D．3．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【学问点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与推断【分析】接受排解法进行推断，先依据函数的奇偶性进行排解，再结合特殊点的函数值进行选择.【详解】首先：，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排解CD.又，故排解B.故选：A4．设，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【学问点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较正弦值的大小、比较对数式的大小【分析】利用换底公式即可化简；利用对数函数的性质；利用正弦函数的值域即可.【详解】；；，则故选：A5．下列结论中，错误的是（

）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6B．若随机变量，则C．已知阅历回归方程为，且，则D．依据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可推断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【答案】D【学问点】独立性检验的概念及辨析、总体百分位数的估量、指定区间的概率、依据样本中心点求参数【分析】A选项，将数据排序后，依据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出；D选项，由得到D错误.【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确；B选项，由于，依据对称性可知，故，B正确；C选项，已知阅历回归方程为，且，则，解得，C正确；D选项，，故不能得到此结论，D错误故选：D6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【学问点】依据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类争辩结合三角函数的性质即可得得出答案.【详解】由题意可得：，由于在区间上单调递增，由于，，所以，解得：，又在区间上有且仅有1个零点，所以，，结合，所以，所以这个零点可能为或或，当时，，，解得：，当时，，，解得：，当时，无解，综上：的取值范围为.故选：A.7．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【学问点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析【分析】先依据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出，最终利用余弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解.【详解】如图，连接，设与交于点M.由，可设，则，其中，由椭圆的定义，得，从而，又由于，所以，在中，设，则为锐角，所以，即，由余弦定理，得，即，解得.故选：C.8．已知正四周体（四个面都是正三角形），其内切球（与四周体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四周体的最小正方体的体积为，正四周体的外接球（四周体各顶点都在球的表面上）体积为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【学问点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题【分析】设正四周体的棱长为，设正四周体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四周体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四周体的最小正方体，即可求出，设正四周体的外接球的半径，依据正方体和正四周体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案．【详解】设正四周体的棱长为，则正四周体的表面积为，由题设底面的外接圆半径，则所以正四周体的高为，其体积为，设正四周体内切球球心为，半径为，解得：，所以，解得：，将该正四周体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四周体的最小正方体，正四周体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以，体积为，设正四周体的外接球半径为，则正方体的外接球，也即正四周体的外接球的半径为，所以，所以外接球的体积为，.故选：A.9．函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【学问点】依据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】由已知可得为方程的一个根，则当时，直线与函数仅有一个交点，作出的图象，结合图象求解即可.【详解】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，当时，由，得，由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，设，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取到最大值，当时，，作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点，则，或，或故选：A【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数与导数的综合问题，解题的关键是依据函数解析式画出函数图象，结合图象可求得结果，考查数形结合的思想，属于较难题.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．i是虚数单位，则复数．【答案】【学问点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算【分析】直接利用复数的四则运算求解即可.【详解】.故答案为：11．在的开放式中，常数项为.（用数字作答）【答案】【学问点】求二项开放式、求指定项的系数【分析】依据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项.【详解】由的开放式的通项为，令，，则，即在的开放式中，常数项为，故答案为：.12．已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为．【答案】【学问点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数【分析】先求得圆面积最小时圆的半径，然后依据点到直线的距离等于半径列方程求得.【详解】依题意，圆的方程为，所以，所以圆心为，半径为，所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为，此时圆心到直线的距离为或（舍去）.故答案为：13．第十五届中国国际航空航天博览会在2025年11月12日至17日在广东珠海进行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功进行，珠海某商场打算在航展期间进行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规章如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，其次次抽奖中奖的概率为.【答案】/【学问点】计算条件概率、独立大事的乘法公式【分析】依据相互独立大事的乘法公式和条件概率的计算公式求解.【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为，设顾客第一次抽奖没有中奖为大事，其次次抽奖中奖为大事，则，，，该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，其次次抽奖中奖的概率为.故答案为：，.14．已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为；若，均与圆相切，则的最小值为.【答案】【学问点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径、抛物线方程的四种形式与位置特征【分析】求圆的圆心坐标和半径，设，利用表示并求其最小值，再结合向量运算法则求的最小值，设，依据数量积的定义及二倍角公式利用表示，结合对勾函数性质求最小值即可.【详解】圆的圆心为，半径，设，则，，（时取等号）.所以，当为圆的一条直径时，，，所以，当且仅当点的坐标为时等号成立，所以的最小值为.

当，均与圆相切时，则，设，则，所以，由于函数在上单调递增，，所以当时，即点的坐标为时，取最小值，最小值为.

故答案为：；.15．已知正实数m，n，满足，则的最小值为.【答案】【学问点】依据函数的单调性求参数值、基本不等式求和的最小值、用导数推断或证明已知函数的单调性【分析】，利用函数单调性可得，又留意到，后由基本不等式可得答案.【详解】，构造函数，则，即在上单调递增，则.则，当且仅当，即时取等号.故答案为：.三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（本小题满分14分）在中，内角，，的对边分别为，，，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)若的面积为，求的值.【答案】(1)；(2)；(3)4.【学问点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用【分析】（1）应用正弦边角关系得，结合已知及余弦定理得，再由平方关系求；（2）应用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函数值；（3）由三角形面积公式得，结合、即可求边长.【详解】（1）由于，所以，而，，，；（2）由（1），，；（3）由（1），则，又，则，又，则.17．（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的大小；(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)(3)点为靠近的四等分点【学问点】由异面直线所成的角求其他量、面面角的向量求法、证明线面平行【分析】（1）依据平行四边形的性质，结合线面平行的判定，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；（3）由（2）的空间直角坐标系，表示出直线的方向向量，利用线线角的向量公式，建立方程，可得答案.【详解】（1）取的中点为，连接，如下图：由于为的中点，所以，由，则，由于，所以四边形是平行四边形，则，且，由于在正方形中，且，即且，所以四边形为平行四边形，则，由于平面，平面，所以平面.（2）由，则，在正方形中，，所以两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：则，可得，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量；设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，设平面与平面的所成角为，则，由，则.（3）由题意作图如下：设，则，可得，设异面直线与所成角为，则，整理可得，解得，即，由，则，即，故点为靠近的四等分点.18．（本小题满分15分）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．(1)求的方程；(2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率．【答案】(1)；(2).【学问点】依据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、依据椭圆过的点求标准方程【分析】（1）依据椭圆所过的点求参数，即可得方程；（2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理，再由直线，直线求交点坐标，依据面积关系得，进而求得，即可得.【详解】（1）设的方程为且，将两点代入得，解得，故的方程为．（2）依题意，设直线，联立，消去整理得，则，即，且．直线，直线，令，则，令，则，由，得，即，整理得，由于，所以，解得，所以直线的斜率为．19．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)已知，求数列的前项和；(3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．【答案】(1)，(2)(3)【学问点】错位相减法求和、数列不等式能成立（有解）问题、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和【分析】（1）依据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，依据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式；（2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出；（3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行争辩，推出冲突，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式.【详解】（1）由于数列为等差数列，所以，该数列的公差为，所以，，设等比数列的公比为，由可得，解得，则.（2）当为奇数时，，设数列奇数项的和为，则.当为偶数时，，设数列的偶数项的和为，则，可得，上述两个等式作差得，整理可得，所以，.（3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，若，则，与已知冲突；若，则，与已