压轴题型07 立体几何解答题罕见压轴难题（教师版）

压轴题型07立体几何解答题罕见压轴难题命题猜测空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．高频考法（1）格外规空间几何体为载体（2）立体几何探究性问题（3）立体几何折叠问题（4）利用传统方法找几何关系建系01格外规空间几何体为载体找清楚几何关系再用空间向量法解决.【典例1-1】（2025·高三·江苏淮安·期中）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

(1)证明：平面：(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）连接，由于是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又由于，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，由于，所以三角形为正三角形，所以，所以，由于是半球面上一点，是半球的直径，所以，由于，平面，所以平面．（2）由于点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，为正三角形，所以，所以底面，由于四边形是菱形，所以，即两两相互垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．【典例1-2】（2025·四川泸州·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．

(1)求的值；(2)若，求多面体的体积．【解析】（1）连接，由题意，与的交点即为点，连接，由于底面是正方形，所以,又由于面，面，所以面，由于平面平面，面，所以，又为中点，所以，所以，又由于且，所以且，所以，由于是中点，所以.（2）连接，，所以多面体的体积为由于，是中点，所以，，又由于平面平面，平面平面，平面，所以面，所以，由于为中点，所以，由（1）可知，所以，所以多面体的体积为.【变式1-1】（2025·高三·全国·专题练习）很多次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄重金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星灿烂！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心憧憬之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且(1)写出三条正六棱台的结构特征.(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽视墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）(3)“小模糊”站在“六角楼”下，沉醉在歌声里.“大聪慧”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的观赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多奇特!”“小模糊”：“.....”友爱的同学们，快来帮“小模糊”求一下的最大值吧.【解析】（1）类似于上下底面平行，相像，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等.（2）在中，可求，所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为，所以，所以.（3）法1.四元均值不等式.当且仅当，即时取等号.所以最大值为.法2.琴生不等式法，当且仅当，即取等号.所以最大值为.法3.二元均值不等式推广，，当且仅当时取等号.所以最大值为.法4.柯西不等式，依据二次函数学问可知当取得最大值，所以；柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当.所以最大值为.02立体几何探究性问题（1）解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行规律推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．（2）在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理，利用向量相等，所求点坐标用表示，再依据条件代入，留意的范围．（3）利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．【典例2-1】（2025·高三·山东·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面．

(1)求证：；(2)当AC与平面所成的角为，在线段上是否存在点E，使平面ABE与平面BCE的夹角为?说明理由．【解析】（1）证明：连接交于点，因侧面是正方形，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以.三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故.（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，且设，，得所以，设平面的一个法向量，由，得：，取,由（1）知平面，所以平面的一个法向量,所以，解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.【典例2-2】（2025·高三·北京海淀·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.【解析】（1）点在底面上的射影是与的交点，平面，平面，，四边形为菱形，，，平面，平面，平面，；（2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，，，，，设点到平面的距离为，由得，即，解得.故点到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，，到平面的距离即为到平面的距离.过作垂线平面交于点，则，此时，要使最大，则需使最小，此时.由题意可知：，，平面，且，，，在中，由余弦定理可得：，，由面积相等，即，解得：，，，即点在线段上靠近点的4分点处，此时，.【变式2-1】（2025·高三·安徽六安·阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点.(1)求证：；(2)棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，恳求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，∵，且，∴为等边三角形，得，∵四边形为正方形，且、分别是、的中点，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴；（2）∵平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，平面，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，则，，，，，设为平面的一个法向量，由，取，得；假设棱上（除端点外）存在点满足题意，令，得，设为平面的一个法向量，则由，取，得.由，解得或，经检验或时，二面角的平面角均为锐角，综上，的值为或.03立体几何折叠问题立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面开放问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.【典例3-1】（2025·山东潍坊·模拟猜测）如图，三棱锥的平面开放图中，，，，，为的中点．(1)在三棱锥中，证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【解析】（1）由，得，且为的中点，所以，

取中点为，连接，，可得，在中，，

在中，，

所以，所以

由于，，平面，所以平面，由于平面，所以；（2）如图，过点作，交于点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．则，，，，在中，可得点到距离为，故可得，

，，设平面与平面的一个法向量分别为，，平面与平面的夹角为，由,取，所以，

由,取，所以，所以所以两平面的夹角的余弦值为.【典例3-2】（2025·高三·上海·阶段练习）如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【解析】（1）由于ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）证明：由于，面，面，所以面，又由于面面，所以.（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角．设，则．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，当且时，，则，可得在上单调递减，当，即时，最大为，最大值为．【变式3-1】（2025·湖北·模拟猜测）如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上.(1)求二面角的正切值；(2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）如图，过点作于点，连接，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，.为二面角的平面角.∵，，∴为等边三角形，，又中，，，，.又，，，H为线段的中点.，，中，，，所以二面角的正切值为.（2）连接，为等边三角形，H为线段的中点，，又平面，则，，两两垂直，以H为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，，令，可得.假设棱上存在满足要求的点Q，设，，.，由于直线与平面所成的角为，，整理得：，解得或（舍去）.所以，则.所以当时，与平面所成的角为.04利用传统方法找几何关系建系用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．【典例4-1】（2025·高三·广东·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.(1)若，求证：平面平面；(2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：若，则平面､平面为同一个平面.连接、，则是中点，是中点，所以平面与平面重合，平面与平面重合，由正方体性质可知平面，由于、平面，所以，，，为二面角的平面角，由于，，则，同理可得，所以，所以，平面平面（2）假设存在，使得直线平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，故、，设平面的法向量为，则，取，得是平面的一个法向量，取的中点，的中点，连接、，则，由于，则，同理可知，，由于，，，则四边形为矩形，所以，，于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，是二面角的平面角.于是，由于，，，由于，则，所以，由于，，，、平面，所以，平面，且，故，同理，所以，由于，，所以，若直线平面，是平面的一个法向量，则，即存在，使得，则，由于，可得，故方程组无解，所以不存在，使得直线平面.【典例4-2】（2025·高三·云南大理·期末）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面分别是棱的中点．(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；(2)求平面截四棱锥所得的截面与交于点，求的值．【解析】（1）作，以为原点建立空间直角坐标系，易知，，，，，，，连接，易证是的中点，故与重合，，故，，设面的法向量，可得，，令，故，设面法向量，，，可得，，令，故，设二面角为，则，故平面与平面所成二面角的余弦值为.（2）连接找中点，连接并延长交延长线于，连接并延长交于，连接，依据平面的基本性质易知：共面，即多边形是所求截面多边形，若是中点，连接，又为中点，所以，则是中点，即，又，，可得，故，所以.【变式4-1】（2025·高三·上海·期末）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．(1)求证：当为的中点时，平面(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．(3)求三棱锥的体积的最大值．【解析】（1）由题设，长轴长，短轴长，则，所以分别是中点，而柱体中为矩形，连接，由，故四边形为平行四边形，则，当为的中点时，则，故，面，面，故平面.（2）由题设，令，则，又，所以，，则，所以，依据椭圆性质知，故.（3）由，要使三棱锥的体积最大，只需面积和到面距离之和都最大，，令且，则，所以，明显时，有最大；构建如上图直角坐标系且，椭圆方程为，设，联立椭圆得，且，所以，，而，所以，令，则，由对勾函数性质知在上递增，故；综上，.1．如图，四周体中，．

(1)求证：平面平面；(2)若，①若直线与平面所成角为30°，求的值；②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．【解析】（1）取的中点，连接，由于，则，所以，所以，所以，又由于所以，则，又由于，所以，又由于，平面，所以平面，又由于平面，所以平面平面；（2）①由于两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，设，由于，所以由可得：，所以，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，由于直线与平面所成角为30°，所以则，化简可得：，解得：或（舍去）.②由（1）知，平面，又平面所以，在上，由于，所以，，所以，即，所以，所以，三棱锥体积为：，由于，当时，三棱锥体积最大为，此时分别为，的中点，所以，设，设，由于，所以，所以，由于在平面上，所以设，所以，所以，解得：，所以，所以.2．如图，四棱锥中，二面角的大小为，，，是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值.【解析】（1）由，得，则，所以，即.由二面角的大小为，知平面平面，即平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）过作的垂线，交延长线于点H，连接AH，由平面平面，平面平面，平面，，所以平面，则为在底面内的射影，所以为直线与底面所成的角，即.由，知且为钝角三角形，设，得，，在中，，在中，，由余弦定理得，有，所以，过作，则底面，所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系，，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，则，所以，则，故所求二面角的余弦值为.3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．(1)求证：平面；(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）由于平面平面，所以，由于与平面所成的角为平面，所以，且，所以，又为的中点，所以，由于四边形为正方形，所以，又平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面．（2）由于底面为正方形，为的内心，所以在对角线上．如图，设正方形的对角线的交点为，所以，所以，所以，所以，又由于，所以．由题意知两两垂直，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．所以，由（1）知，所以，所以．又由于平面，所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则．4．如图1，已知在正方形中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示．(1)证明：平面平面；(2)设是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值．【解析】（1）由于四边形是正方形，，分别是边，的中点，所以是直角，且平行且等于，即四边形是矩形，进一步有，由于平面平面，平面平面，且平面，，所以平面，由于平面，所以．易知，则，所以．由于，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）解法一：由（1）可知，，，三条直线两两垂直，故可以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，从而，．由题设，则，又，则．设平面的法向量为，则，得，取，则，，得．由（1）知，是平面的一个法向量，所以，解得，故．解法二：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．由于平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，即平面，又平面，则，又，，，平面，所以平面，又平面，则，所以为二面角的平面角．由（1）知平面，平面，所以平面平面，所以二面角为直二面角，所以二面角的正弦值等于二面角的余弦值，所以，所以.由题可设，则，，所以在中，，解得，故.5．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．【解析】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又由于平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．由于平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．以为正交基底，建立空间直角坐标系．由于四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．法1：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得（舍负），因此，．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．法2：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．法3：在平面中，作，垂足为H．由于平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．由于，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．由于，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．由于二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过作，垂足为.（i）证明:直线过定点；（ii）求的最大值.【解析】（1）由椭圆定义可知，，所以的周长为，所以，又由于椭圆离心率为，所以，所以，又，所以椭圆的方程：，所以椭圆的焦点为，，当点为椭圆的上顶点时，，所以直线的方程为：，由解得，，由对称性知，以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴的正半轴所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，设直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为.（2）（i）设点，，，，则直线的方程为，则，由得，，所以，由于，所以，所以，故，又，同理，，，由三点共线，得，所以，直线的方程为，由对称性可知，假如直线过定点，则该定点在轴上，令得，，故直线过定点.（ii）由题意知点，点的轨迹为以，为直径的圆（除外），圆心为，半径为，故.7．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足.(1)若，求证：直线平面；(2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？假如有恳求出的值，否则请说明理由；(3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值.【解析】（1）取的中点，连接，由于，所以M是线段上的中点，因此有，由于是矩形，N是线段上的中点，所以，因此有，所以四边形是平行四边形，所以有，而平面，平面，所以直线平面；（2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线，由于四边形是矩形，所以，即，而平面，所以平面，由于是矩形，所以，由于平面，平面，所以，而平面，所以平面，因此，明显不行能，所以假设不成立，因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线；（3）当时，由（2）可知：，所以是直线与直线所成角，设，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，当时，有最小值，最小值为，此时有最大值.则直线与直线所成最大角的余弦值为.8．如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.

(1)求四边形的面积；(2)证明：平面；(3)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）连接，由于是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又由于，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，则到边的距离为，所以四边形的面积为.（2）记与的交点为，连接，由于四边形是菱形，则为和的中点，由于，所以为正三角形，所以，则，而在等边中，易知，即，所以，由于是半球面上一点，是半球的直径，所以，又，平面，所以平面.（3）由于点在底面圆内的射影恰在上，由（2）知，即为点在底面圆内的射影，所以底面，由于四边形是菱形，所以，即两两相互垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．9．如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.

(1)证明平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（1）如图，连接DC1，由于四边形为菱形，，所以，所以，由于，所以，所以，又平面，所以平面，所以，由于四边形为菱形，且，所以，由于为棱的中点，所以，又，所以，由于平面，所以平面.（2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.易知，所以，，所以，，设，则，由于平面BDF，所以存在唯一的，使得.所以，解得，所以，设平面的法向量为，则，所以，取，则，故，设平面的法向量为，则，所以，取，则，故，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面BDF夹角的余弦值为.10．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.(1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四周体的内切球半径为，证明：.【解析】（1）由题意知，而，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，在平面内作的垂直作为轴，所以轴，如图以E为坐标原点，分别以分别为轴正半轴建立空间直角坐标系：由于，设，所以，，，，，则，，所以，，，，.设平面的法向量，由得，取，，解得.设平面的法向量，由得，取，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是.（2）是四周体的表面积，，令与面所成角为，，，由于是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，（取不到等号，），，.11．如图，已知直角的直角边，，点是从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆所在的平面垂直平面，且其左右顶点为，左右焦点为，点在上.

(1)求三棱锥体积的最大值；(2)证明：二面角的大小小于.【解析】（1）取中点，在上取一点使得，易知为中点，由椭圆所在的平面⊥平面，且两面交线为，所以底面，且底面，以为坐标原点，为正方向，的中垂线的方向向量为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．设点，椭圆的方程为．由题意，易知，，则，，解得，所以．，故三棱锥体积的最大值是．（2）易知，，，明显当P在横轴上时，二面角的大小为，符合题意；当P不在横轴时，不妨设，则，，设平面的一个法向量，则令，则，，所以平面的一个法向量，同理可求得平面的一个法向量，令，则化简后得:，（I）当时，则，所以，令，，由于，所以，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时；（II）当时，令，，令，则，所以单调递减，所以，即单调递减，，综上，对成立，即，即，故二面角的大小小于得证．12．如图所示，已知在四棱柱中，全部的棱长均为2，侧面底面为的中点，为棱上的动点（含端点），过三点的截面记为平面.

(1)是否存在点使得底面？请说明理由；(2)当平面与平面所成二面角的余弦值为时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）.【解析】（1）连接，取中点为，连接，由于，故三角形为等边三角形，则；由于面面，面面面，故面；又面，故；在三角形中，由于，三角形为等边三角形，则；综上两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：又，故，设，，则，即；由于面，故取平面的法向量为；又，设平面的法向量为，则，则，取，则；故平面的法向量为；若存在点使得底面，则，即，解得；故存在点，当其与重合时，平面底面.（2）设平面与平面所成二面角为，由题可得，即，整理得：，解得（舍去）或.故当为上靠近的三等分点时，平面与平面所成二面角的余弦值为；此时，取上靠近点的三等分点为，取上靠近点的三等分点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为中点，故//，又////，且，故四边形为平行四边形，则////，则平面与平面是同一个平面；又；，，由（1）知，，面，故面，则棱台的高为，则，两部分体积分别为和，故体积之比为.13．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.

(1)若，求证：平面；(2)若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.【解析】（1）设，由于底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD平分，又为棱的中点，所以,在中，依据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.（2）平面，且平面，，由于，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.由于P在底面的投影H为线段EC的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，，由于二面角是一个锐角，所以二面角的余弦值为.14．如图，四周体中，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面；(2)设，，点在上；①点为中点，求与所成角的余弦值；②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【解析】（1）∵，为的中点，∴，在和中，∴，∴，又为的中点，∴，又平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）①取的中点，的中点，连接，则，，∴（或其补角）为与所成的角，由且，∴是等边三角形，则，由且，为的中点，∴在等腰直角中，，在中，，所以，即，又，∴，在中，由余弦定理得，即，∴，在中，，由余弦定理得，在中，，即，∴，故，在中，，，，故，∴与所成角的余弦值为．②连接，由（1）知，平面，平面，∴，则，当时最小，即的面积最小．∵平面，平面，∴，又∵平面，平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面，过点作于（或交延长线），∵平面平面，平面，∴平面，∴（或其补角）为与平面所成的角，由知，∴，在直角中，，所以，在直角中，，∴，在等腰中，，，∴，∴，∴与平面所成的角的正弦值为．15．如图，在三棱柱中，平面平面，点为的中点，点在线段上，且.(1)求平面与平面的夹角的余弦值；(2)点在上，若直线在平面内，求线段的长.【解析】（1）分别取的中点，连接，由于，所以为等边三角形，所以，由于平面平面，平面平面，平面，所以平面，由于，分别为的中点，所以四边形为矩形，所以，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，易得为平面的一个法向量.设，由于，所以.所以，即，因此，设，由于，所以，所以，即，由于，，所以，设平面的法向量为，所以，即，取，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为；（2）设，则，由于直线在平面内，所以共面，所以存在唯一实数对，使得，即，则，解得，此时为的中点，所以.16．如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点．(1)若分别是棱的中点，，求棱和平面所成角的余弦值；(2)求的最小值与最大值．【解析】（1）以正方体的中心为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意，，，，，，则，，，设平面的一个法向量，则有，令，则，，所以，所以所以棱和平面所成角的余弦值为．（2）由条件，可设，，，记，，，则（）（其中）记，先求的最小值：由①及均值不等式，所以所以所以当时，可取到最小值.再求的最大值：由①知所以由柯西不等式，，即，故当时，可取到最大值．综上所述，的最小值为，最大值为．17．如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，．(1)证明：；(2)若且的面积为，求与平面所成角的正弦值．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，解得，又，即，得，又由于平面平面，平面平面，平面ACFD，所以平面ABC，而平面ABC，则，又，，平面BDH，平面BDH，所以平面BDH，而平面，则，由于，所以；（2）在中，，，，所以，，所以，又，所以，则，由（1）知，平面ABC，所以可以H为原点，为y轴，为z轴，建系如图所示，设平面ABD法向量为，则，即，取，则，得平面的一个法向量为，设CF与平面ABD所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值18．在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为．(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）由于平面平面，所以,又平面，平面，所以平面,又平面，且平面与平面的交线为，所以，所以平面.（2）设，取的中点O，由于，所以，由于为中点，所以到平面的距离为，由于平面，平面，所以平面平面，且平面平面，平面，所以平面，，，又即，解得，，当且仅当，即时取等号，所以当最大时,如图建立空间直角坐标系，则,设，则，，设平面的一个法向量，由于，所以，令，则，即，设直线与平面所成角为，所以，令，则，令，则，所以，函数y在上为增函数，在上为减函数，所以当时，即，故直线与平面所成角的正弦值的最大值.19．如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．(1)求证：平面平面；(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．【解析】（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又，平面平面，平面，则平面，又平面，即得，四边形为矩形，≌，则,即，平面，于是平面，平面，所以平面平面；（2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故，以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，∵，，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则，设平面的法向量为，则，即，则，由图可知二面角为锐二面角，从而有，而，则，,所以.20．如图，在四棱锥中，为的中点，且满足平面，

(1)证明：；(2)若平面，点在四棱锥的底面内，且在以为焦点，并满足的椭圆弧上.若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值.【解析】（1）证明：取中点为，连接，在中，为中位线，所以，且由于，所以，所以四点共面又由于平面面，且平面平面，所以所以四边形为平行四边形，所以，所以.（2）如图，平面，取中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点且垂直于所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由于，所以点的轨迹是以为焦距的椭圆（在梯形内的部分），，所以椭圆的轨迹方程为，设点，则（在梯形内的部分）①设平面的一个法向量为，则由于轴平面，其一个法向量，设二面角的平面角为，则，得，整理得②联立①②，解得或另作且，则平面平面平面为，二面角为，当时，二面角的平面角为钝角，不符题意，舍去，所以此时，经检验，在梯形内，平面直线与平面所成角为，在中，，故所求线面角正切值为.21．如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．(1)求三棱锥的体积的最大值；(2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置．【解析】（1）由垂直于平面，且为直三棱柱，故平面，故为三棱锥的高，设，则，由，故，则，故，故时，三棱锥的体积有最大值；（2）由垂直于平面，、平面，故、，又，故、、两两垂直，设，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、、、，故、、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，即，，令，，可得、，、，故，，故，令，，则，由，故当时，，当时，，故，故，由为锐角时，随的增大而减小，故当最小时，有最大，即此时，此时，即点在中点.22．如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点为线段的中点时，求证：；(2)当点在线段上时（包含端点），